Trong vành Noether thì mọi ideal đều có phân tích nguyên sơ. Thế nhưng một vành bất kì thì thế nào? Có tiêu chuẩn gì để kiểm tra xem một vành cho trước có phân tích nguyên sơ hay không? Có ai biết thì giúp mình với, cám ơn nhiều.
À, nhân tiện cho mình hỏi có ai có quyển Commutative Algebra của O.Zariski (http://www.amazon.co...s/dp/0387900896 ) không , cho mình xin với, mình search toàn ra quyển của Atiyah thôi.

Em chưa đọc tới Artin, nhưng thấy có định lí nói vành Artin thì Noetherian?

vd1: lấy vành A=C[0,1], M là tập các hàm thuộc A triệt tiêu tại 0. Ta có A là modul trên chính nó nên hh sinh ; dễ thấy M là modul con của A nhưng M ko hh sinh.

Hoặc:

vd2:Lấy $A=K[x_1,x_2,..]$. M=<x_1,x_2,..> A cũng cho kq tương tự.

Hiện mình ko biết vd nào bớt tầm thường hơn vì ko biết nhiều vd về vành ko Noether, ai có thể cho mình một vài vd về vành ko Noether không?

ủa, hình như bác kidkg ghi nhầm; X/M~=(X/N)/(M/N) mới đúng chứ?

một đẳng thức cũng có hình thức giống t/c phân số nữa mà ai cũng biết, đó là trong mở rộng trường hữu hạn [L:N]=[L:M][M:N] nhưng lần này nó ko liên quan gì tới phân số vì ko có đ/l nào "giống" đ/l Lagrange |X|=|A||X/A| để hỗ trợ. Nhưng rõ ràng, những công thức có hình thức giống trong toán sơ cấp như vậy, theo quan điểm cá nhân của mình thì nó Đẹp!

Bai nay co the chung minh truc tiep bang dinh nghia: neu xy \in P_i^m, va` y \notin P_i (=r(P_i^n)), thi` x \in P_i^m.

Dieu nay co the thay bang cach xet da thuc co tong degree (tu` 1 toi' i) nho nhat trong x va` trong y.
Vi` y \notin P_i, tong degree nay phai = 0, va` do ddo' trong x phai >= m (vi` xy \in P_i^m) --> x \in P_i^m.

ý tường thật hay! Xét đơn thức thay vì toàn bộ đa thức. Càm ơn bác madness.
Hình như bác madness nhầm 1 chút, em hiểu thế này không biết phải ko: $y \notin P_i^m$ chứ ko phải $P_i$, do đó tổng degree phải <=m-1, từ đó trong x >=1 , dẫn đến x^m thuộc $P_i^m$.

Đề bài thế này: Cho K là trường, Chứng minh rằng trong vành đa thức $K[X_1,X_2,..,X_n]$, nếu đặt $P_i=(X_1,X_2,..,X_i)$, i=1..n thì lũy thừa của $P_i$ là $P_i$-primary (nguyên sơ).

$P_i$ nguyên tố thì dễ dàng rồi, lũy thừa của $P_i$ primary trong vành $K[X_1,X_2,..,X_i]$ cũng dễ dàng, nhưng em không biết làm sao đẩy nó lên vành lớn được (mà em thấy coi bộ hướng này ko ổn?). Các bác giúp em với!

Cảm ơn các bác nhiều!