Câu 1 (2 điểm) . Cho biểu thức
$P = \left( {\frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} + \sqrt {a - b} }} + \frac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} - a + b}}} \right).\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}$
với a>b>0.
a) Rút gọn P.
b) Biết $a-b=1$. Tìm GTNN của P.

Câu 2 (2 điểm). Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B về A, Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô tô.

Câu 3 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabo $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-m-2$ (m là tham số).
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$.
b) Tìm m để $|x_1-x_2|=\sqrt{20}$.

Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC. Đường tròn $(\omega )$ có tâm O và tiếp xúc với các đoạn thằng AB, AC tương ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn $(\omega )$ tại điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt các đường thằng AL, AK tương ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM tại P vằ cắt ON tại Q.
a) Chứng minh $\widehat{MON} = {90^0} - \frac{1}{2}\widehat{BAC}$.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua 1 điểm.
c) Chứng minh KQ.PL=EM.EN.

Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$. Tìm GTNN của biểu thức $P=x+y$.
__
Tải đề ở đây (nguồn Mathscope)

Cho hàm số
$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}arctan\frac{1}{x},x \ne 0 \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0\, \\\end{array} \right.$
Chứng minh $f'(x)$ liên tục với mọi x.

Tính $\int\limits_1^2 {{{{\rm{(arccot}}\sqrt {x - 1} )}^2}dx}$

Tính $\int {\frac{{x\ln (1 + 3x)dx}}{{{e^{3x}}}}} $

Bài toán: Xét sự hội tụ của tích phân: $$I=\int_{0}^{1}\dfrac{ln\left ( 1+\sqrt[3]{x} \right )}{e^{sinx}-1}dx$$

Tích phân có 1 điểm bất thường là x=0. Khi $ x \to 0^+ $, ta có
$\begin{array}{l}\ln (1 + \sqrt[3]{x})\ \sim\sqrt[3]{x} \\{e^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - 1\ \sim \sin x\ \sim x \\\end{array}$
Do đó $\dfrac{{\ln (1 + \sqrt[3]{x})}}{{{e^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - 1}}\ \sim {\left( {\dfrac{1}{x}}\right)^{\dfrac{2}{3}}}$
Ở đây, vì $\alpha = \dfrac{2}{3} < 1 $ nên I hội tụ.

Ta có $I = \int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {\dfrac{{2{{\ln }^3}x}}{x}dx} $
Xét $\int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx } $
Đặt $u = {\ln ^4}x \Rightarrow du = 4\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}dx$
$dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2}}}{2}$
Do đó
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}l{n^4}x}}{2}} \right|_1^e - \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2{{\ln }^3}xd(\ln x)}$
$ = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \left. {\dfrac{{{{\ln }^4}x}}{2}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{1}{2}.$

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{lnx}}{{sin\left( {cos\left( {x - 1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)}} \\
\mathop = \limits^{L'} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{-x\sin \left( {x - 1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos \left( {cos\left( {x - 1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)}} = -1. \\
\end{array}$

vì chúng là hai vô cùng bé tương đương khi x dần đến + vông cùng

Chưa hiểu ý bạn lắm, bạn có thể giải thích kĩ hơn ko ?

Trong một số bài toán về tích phân suy rộng, mình gặp phải lời giải có phần suy luận như sau nhưng lại chưa rõ tại sao lại có được điều đó. Mong được mọi người giải thích thêm. ^^
1) Khi $x \to + \infty$ thì $\dfrac{arctanx}{x^\alpha} \sim \dfrac{1}{x^\alpha}$.

2) Khi $x \to + \infty$ thì $\dfrac{ln^\alpha(2+3x)}{1+2x} \sim \dfrac{3}{2}.\dfrac{ln^\alpha(2+3x)}{2+3x}$.

Ví dụ cho một bất phương trình $ x^2+(m+3)x-5>0$ có 2 nghiệm phân biệt thoả
a/$x_1<x_2<10$ b/$x_1<5<x_2$ Nếu không cho xài định lý đảo dấu tam thức bậc 2
Trong trường hợp x1<x2<3 thì mình đã có hướng giải quyết là chuyển trục toạ độ bằng cách đặt X=x+3, rồi chỉ cần tìm m cho phương trình mới có 2 nghiệm dương thôi
Còn trường hợp x1<5<x2 sử dụng định lý đảo dấu của tam thức bậc 2 cho af(5)<0 là quá dễ, nhưng mà nếu không cho xài thì phải giải quyết thế nào ạ, nếu phải tính 2 nghiệm rồi giải bất phương trình thì nếu gặp bài nghiệm quá xấu sẽ không giải quyết được

Ý bạn là giải pt ?
Mình nhớ trong cuốn "NC và PT toán 9" có đề cập đến cách đặt ẩn để áp dụng định lí Vi-et cho những bài toán như thế này

Chẳng hạn tìm m để pt $ x^2+(m+3)x-5=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1<x_2<10\,\,\,\,\,\,(1)$ thì ta đặt
$y=x-10 => x=y+10$
Khi đó pt đã cho trở thành $y^2+(m+23)y+10m+125=0$
Do đó để pt ẩn x có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn (1) thì phương trình ẩn y phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $y_1<y_2<0$, tức là pt ẩn y phải có 2 nghiệm phân biệt cùng âm. Điều đó tương đương với
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {(m + 23)^2} - 4(10m + 125) > 0\,\\S = - (m + 23) > 0\\P = 10m + 125 < 0\end{array} \right.$

Tương tự cho trường hợp $x_1<5<x_2$ ta đổi biến $y=x-5$ để đưa đk về $y_1<0<y_2$, tức là pt ẩn y phải có 2 nghiệm trái dấu.

p/s: Có thể sự giải thích ở trên chưa thực sự giải đáp được thắc mắc của bạn, mong được bạn trao đổi thêm.

Đây là cách của mình, mọi người thử check lại xem đã đúng chưa.

Giải phương trình
$3{\sin ^4}x + 2{\cos ^2}3x + \cos 3x = 3{\cos ^4}x - \cos x + 1$

$ \Leftrightarrow (2{\cos ^2}3x - 1) + (\cos 3x + \cos x) = 3({\cos ^2}x - si{n^2}x)({\cos ^2}x + si{n^2}x)$

$ \Leftrightarrow \cos 6x + 2\cos 2x\cos x = 3\cos 2x$

$ \Leftrightarrow \cos 6x - \cos 2x + 2\cos 2x\cos x = 2\cos 2x$

$ \Leftrightarrow - 2\sin 4x\sin 2x + 2\cos 2x\cos x = 2\cos 2x$

$ \Leftrightarrow - 4{\sin ^2}2xcos2x + 2\cos 2x\cos x = 2\cos 2x$

$ \Leftrightarrow 2\cos 2x( - 2{\sin ^2}2x + cosx - 1) = 0$

• $\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z.$
  
• $ - 2{\sin ^2}2x + cosx - 1 = 0$
  $ \Leftrightarrow - 8(1 - {\cos ^2}x)co{s^2}x + \cos x - 1 = 0$
  
  $ \Leftrightarrow 8(\cos x - 1)(\cos x + 1){\cos ^2}x + (\cos x - 1) = 0$
  
  $ \Leftrightarrow (\cos x - 1)[8{\cos ^2}x(cosx + 1) + 1] = 0$
  
• $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in Z.$
• $8{\cos ^2}x(cosx + 1) + 1 = 0$
  Dễ thấy phương trình trên vô nghiệm.

Từ các điều trên, phương trình ban đầu có các nghiệm là $x = k2\pi$ , $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$ với $k \in Z $.

Giải phương trình
$3{\sin ^4}x + 2{\cos ^2}3x + \cos 3x = 3{\cos ^4}x - \cos x + 1$

9/Giải phương trình: $4x^2-8x+\sqrt{2x+3}=1 (x \in R)$

1) Ebooks toán có thể tìm thấy ở
http://library.nu/
http://avaxhome.ws/

Ebooks toán của anh Phạm Đạt (sư pham)
http://datsp.tk/

Kho sách toán olympic hay
http://www.4shared.c...e/math_problems

Tài liệu toán tiếng Anh của ĐHQG TP.HCM
http://www.math.hcmu...ailieutoan.html

Sách hình học Euclid
http://aleph0.clarku...ements/toc.html

2) Bài giảng, lý thuyết, toán học vui,....

http://mathworld.wolfram.com/

Trang toán của thấy Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa
http://saosangsong.com.vn/

Trang toán có những lời giải thích về toán học khá hay
http://www.mathsisfun.com/

Giới thiệu giải tích bằng flash
http://archives.math...isual.calculus/

http://olympiads.win.../imo/index.html

THÔNG TIN TOÁN HỌC của Hội Toán học VN
http://www.vms.org.vn/ttth/ttth.htm

Web khá hay (Nick's Mathematical Miscellany)
http://www.qbyte.org/

Đố vui toán học
http://www.mathpuzzl.../26Feb2006.html

3) Các kì thi toán
International Mathematics Competitionfor University Students
http://www.imc-math.org/

WISCONSIN MATHEMATICS, ENGINEERING AND SCIENCE TALENT SEARCH
http://www.math.wisc...t/problems.html

Asian Pacific Mathematics Olympiad
http://www.kms.or.kr...petitions/apmo/

Canadian Mathematical Olympiad
http://cms.math.ca/Competitions/

International Mathematical Talent Search
http://www.cms.math....petitions/IMTS/

High School Mathematics Contest
http://mcis.jsu.edu/mathcontest/

Estonian Math Competitions
http://www.math.olym...php?id=national

USA Mathematical Talent Search
http://www.usamts.or.../U_Problems.php

4) Báo toán
Báo Crux
http://journals.cms.math.ca/CRUX/

Crux ( vol 1-33 )
http://www.mediafire...58d09b89aa37c71

Báo hình học quốc tế
http://forumgeom.fau.edu/

Báo toán Hong Kong
http://www.math.ust.hk/excalibur/

Báo toán Nam Tư
http://elib.mi.sanu....ation.php?db=tm

Toán tuổi thơ 2
http://toantuoitho.v....aspx?tabid=152

Journal of Integer Sequences
http://www.cs.uwater.../JIS/index.html

Cho số A= n.(n.n +1)(n.n +4)
a) Chứng minh A chia hết cho 5 với mọi n thuộc N
b) Tìm đieu kiện n đẻ A chia hết 120

a) Ta có
$n \equiv 0,1;2,3,4(\bmod 5);$
${n^2} \equiv 0,1,4,4,1(\bmod 5);$
${n^2} + 1 \equiv 1,2,0,0,2(\bmod 5);$
${n^2} + 4 \equiv 4,0,3,3,0(\bmod 5 ).$
Vậy $A=n(n^2+1)(n^2+4)$ luôn có 1 nhân tử chia hết cho 5 với $\forall n \in N$. Do đó suy ra đpcm.

b) Vì $120=5.24$ và $(5,24)=1$ nên để $A \vdots 120$ thì $A \vdots 24$, mà $24=8.3$ và $(8,3)=1$ nên ta phải tìm n sao cho $A \vdots 8$ và $A \vdots 3$.

• $A \vdots 8$
  Nếu n là số tự nhiên lẻ thì $n$ và $n^2+4$ lẻ nên để $A \vdots 8$ thì $ n^2+1 $ phải chia hết cho 8, xét đồng dư của n theo mod 8 thì dễ thấy không có giá trị nào của n thỏa mãn.
  Nếu n là số tự nhiên chắn thì tích $n(n^2+4)$ chia hết cho 8 nên $A \vdots 8$ .(1)
• $A \vdots 3$.
  Ta có
  $n \equiv 0,1,2(\bmod 3);$
  ${n^2} \equiv 0,1,1(\bmod 3);$
  ${n^2} + 1 \equiv 1,2,2(\bmod 3);$
  ${n^2} + 4 \equiv 1,2,2(\bmod 3).$
  Do đó chỉ có n chia hết cho 3 mới thỏa mãn $A \vdots 3$. (2)

Từ (1) và (2) và $(3,2)=1$ nên n thỏa mãn ycbt là $n=6k (k \in N)$.

${\lim _{x \to 2}}\dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} - 3}} $ thay 2 vào thì =0 mà bạn?

Cái này mình dùng liên hợp ra rồi, thanks bạn nhiều! :-P

Ý tưởng của Lê Xuân Trường Giang đúng nhưng nên tách như thế này thì hợp lí hơn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 1} - 3 - 3(x - 2)}}{{x - 2}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\dfrac{{2({x^2} - 4)}}{{(x - 2)(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3)}} - 3} \right]$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\dfrac{{2(x + 2)}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3}} - 3} \right] = - \dfrac{5}{3}.$
p/s: Bạn nên tìm đọc cuốn "Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 11" của Nguyễn Huy Đoan, phân giới hạn hàm số trong đó khá hay và cơ bản.

Thế bên đó nếu ta gửi bài viết thì có giống như diễn đàn ở VMF không ?

Bên đó thì bạn chú ý ko viết 1 chủ đề ở nhiều nơi trong diễn đàn. Công thức toán kẹp giữa $ $ và trao đổi dựa trên tinh thần tôn trọng lẫn nhau là được.

Khi đăng kí có lẽ bạn nên chọn phần "Before 05 May 1998" thì sẽ không gặp phải tình huống này nữa.

Theo mình thì khi $\Delta$ là một số thực dương thì nó có 2 căn bậc 2 là $\pm\sqrt{\Delta}$.
Còn khi $\Delta=a+bi (a,b \in R)$ là một số phức thì thì kí hiệu $\sqrt{a+bi}$ là không có ý nghĩa (hay nói cách khác là không có kí hiệu $\sqrt{a+bi}$ hoặc nếu có thì không được xét trong chương trình PT).
Tóm lại là không được dùng kí hiệu $\Delta$ khi giải phương trình trên tập số phức trong kì thi ĐH.

Hai cái đầu hình như không tải được thì phải!
Bạn có thể đưa cái cuối về dạng pdf không?

http://www.mediafire...aybwz33evqv0io3
http://www.mediafire.com/?emxhndhnhqy
Rất tiếc là cái cuối không có bản pdf.

Thế sao bây giờ Việt Nam ta không xuất bản lại các cuốn sách giáo dục của G.Polya thầy nhỉ, chúng có ích thế mà!

Hôm trước mình có ra mấy cửa hàng sách thì thấy các cuốn sách của Polya đã được tái bản lại.

bài 2)a)cho đường tròn ©:(x-2)^2 +(y-3)^2=2
viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến qua M(3;2)
b)viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến xuất phát M(4;7)
moi ngươi chỉ cần hương dẫn em làm thôi em cam ơn moi ngươi nhiều

2)
a) Vì tọa độ M thỏa mãn pt đường tròn nên $M \in (C )$. Do đó pt tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng qua M và nhận $\overrightarrow {OM} $ với O là tâm đường tròn (C ) làm vectơ pháp tuyến.
b) Giả sử pt đường thẳng cần tìm là: $\Delta: ax+by+c=0$ với $a^2+b^2>0$.
Vì đường thẳng trên qua M nên ta có $4a+7b+c=0$ hay $c=-4a-7b$. Do đó đường thẳng $\Delta$ có thể viết lại là $Delta: ax+by-4a-7b=0.$ (1)
Để đường thẳng trên là tiếp tuyến thì $d(O;\Delta)=R$, tức là
$\dfrac{|2a+8b-4a-7b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}$
Từ đó tìm được $b=-7a$ hoặc $a=-b$ thay vào (1)ta được pt $\Delta$.

bài 1)cho tam giac ABC co phuong trinh canh BC:(x-1)/(-1)=(y-3)/2.Phuong trinh trung tuyến BM và CN lần lượt là:3x+y-7=0 và x+y-5=0.viêt phương trình các cạnh AB,AC

Từ phương trình đường thẳng BC và 2 đường trung tuyến ta tìm được B(2;1) và C(0;5). Giả sử $A(x_0;y_0)$, khi đó $M(\dfrac{x_0}{2};\dfrac{y_0+5}{2})$ và $N(\dfrac{x_0+2}{2};\dfrac{y_0+1}{2})$. Thay tọa độ N, M vào pt 2 trung tuyến ta được hệ 2 pt để tìm $x_0,y_0$.

 An_Introduction_to_Diophantine_Equations_A_Problem_Based_Approach.pdf   1.74MB   7590 Số lần tải
 Number_Theory_Structures__Examples__and_Problems.pdf   1.83MB   507 Số lần tải
 an_introduction_to_number_theory_G.hardy.djvu   5.75MB   71 Số lần tải

1) Toán:

• Giải tích: Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 11 của Nguyễn Huy Đoan (hay nhất phần giới hạn), ebooks xác định công thức tổng quát của dãy số (http://www.mediafire...a140hjvz6h8gon2).
• Hình học: Giải toán hình học 11 của Trần Thành Minh.

2) Lí
Giải toán vật lí của Bùi Quang Hân (2 tập).

3) Hóa
Sách hóa của Ngô Ngọc An, Quan Hán Thành, Nguyễn Thanh Khuyến + bài tập trắc nghiệm có thể tìm trên mạng.