Học tập KK mình up vở học về dẫy phổ. Đây chỉ là dẫy phổ Atiyah-Hirzebruch. Enjoy!!! 1 cái để dạng PDF, cái kia JPEG

Thôi Vegeta trả lời luôn đi, mọi người chắc chịu cả rồi, chỉ còn hy vọng Kakalotta vào đấu chưởng lại được Vegeta. Mình vốn dốt đặc đại số toán tử, vì chưa học course nào về cái này. Nhưng khi xưa suýt đi theo Topo đại số cũng tập tọe vài chiêu của đại số toán tử phần K-homology. Nhiều hơn thì ko biết đâu. Chỉ biết có connection giữa đại số toán tử và Spin manifolds, spin bundles.

Mình ko hiểu câu hỏi của TLCT, thứ nhất $\zeta$ là gì vậy? Thứ 2 wat do you mean by phương trình cấu trúc? Hơn nữa câu hỏi của TLCT liên quan tới Blow-up chắc chỉ là local problem.

Chính xác Y phải là spectrum. Cái này xem trong sách của Adam generalized homology and stable homotopy.

đề nghị các member của ddth tham gia chiến trận, đặc biệt mời các cao thủ trong lãnh vực số học đại số và số học giải tích như noproof, leoteo... Về hình học ko giao hoán chúng ta đã có KK, về kỳ dị thì có Doreamon, về phương trình đạo hàm riêng, hệ động lực thì chúng ta có TLCT, Xuong Rong, Doan Chi, Mọt... , về hình học phức có pizza, hình học đại số có anh CXR, đại số giao hoán có anh Canhdieu và còn nhiều cao thủ khác.... nhất định tập 2 này chúng ta sẽ chiến thắng toàn phần trên toàn mặt trận.

Tuy không phải chuyên gia về spectral sequences nhưng mình cũng xin phát biểu vài câu góp vui. Về motivation behind spectral sequences của Leray thì mình ko rõ lắm, nhưng dân Topo đại số đã biến dãy phổ thành đặc sản riêng của họ rồi. Mình học dây phổ cũng rất lởm khởm, thông qua cuốn Introduction to homological algebra của Weibel, và 1 số course về local cohomology à la Grothendieck. Bên giải tích thì ứng dụng của dãy phổ vào việc tính đối đồng điều Dobeault, cái này chắc Pizza là chuyên gia ở đây rồi. Theo những gì mình học bên hình học đại số thì thực ra trong 1 số tình huống người ta không nhất thiết phải dùng dẫy phổ bởi cái này quá phức tạp về mặt kỹ thuật (đặc biệt là các chỉ số, sau 1 lúc thôi là hoa mắt loạn nhịp tim), mấy người chỗ mình bảo là dẫy phổ chẳng qua chỉ là 1 kiểu rèn luyện sức tập trung và ý chí, vậy nên thường mình bỏ qua details và công nhận các kết quả của dãy phổ ngoài ra thì mình chỉ tập trung vào các geometric objects nên các kiểu kỹ thuật khổng lồ là thừa. Hơn nữa người ta thường có cách "lèo lách" sao cho không phải đụng tới spectral sequences, còn hiển nhiên là nếu ai nghiên cứu dẫy phổ thì phải dùng dẫy phổ rồi.
KK có thể nói precise hơn về connection của dẫy phổ với phổ của toán tử được không?
Khi so sánh cuốn Hartshorne với EGA mình có vài nhận xét: Grothendieck sử dụng chỉ số thỉnh thoảng khá là loạn lúc thì $E_1$ lúc thì $E_2$, cái này chắc tại mình không theo kịp nên loạn nhịp. Còn cũng là kết quả đấy thì Hartshorne có cách đi đường vòng đỡ dùng dẫy phổ, nhưng thường kèm theo 1 số điều kiện làm bài toán đơn giản hơn ví dụ như điều kiện thường hay thấy ở sách của Hartshorne là noethrian cho các schemes. Grothendieck thì chứng minh cho quasicompact topological spaces.
Nói tóm lại dân hình học hoặc giải tích phức thì không khoái dẫy phổ lắm, chỉ có dân làm topo thôi vậy nên đề nghị vài người làm topo trên diễn đàn vào cho vài ý kiến.
Ps: Cách nhìn nhận của mình thì tất nhiên là khá hạn hẹp vì không rõ các mối quan hệ với các ngành khác như thế nào

Theo mình đoán thì $\chi(X)$ là Euler character thế còn $\chi_p(X)$ là cái gì vậy nhỉ? Ngoài ra thì mình cũng chưa đoán ra được $\cap_{i >0}p^iHX$ là gì, chắc là Filtration của Cohomology?

Chữ xấu quá cái trò chụp ảnh lại bài giảng bên chỗ mình bọn nó toàn làm vậy. Chụp nguyên si mấy cái bảng rồi rung đùi ngồi phán chỗ này thiếu chỗ kia cần bổ sung. , mình được cái suy nghĩ chậm nên phải chăm chỉ chép bài sạch sẽ cẩn thận. Nhân tiện hỏi KK có thể vẽ 1 con đường modulo detail từ geometric Langlands programm sang toán lý được không? Mình ko nắm rõ cái này, đi kể với mấy bạn làm vật lý lý thuyết sợ người ta ko tin nên tốt nhất là nhờ KK làm nhân chứng.

cho hỏi đẳng biến có phải là Equivariant không?

Bạn định học K-Theory kiểu gì? Kiểu Hình học, kiểu đại số, kiểu Topo, hay kiểu giải tích? K-Theory có đến hàng trăm loại. Về topological K-Theory (dành cho vector bundles) thì đọc Atiyah hoặc Bott là đủ, nếu thấy khó quá thì có thể hạ thấp xuống đọc Hatcher (sách ông này có đầy trên mạng). Về algebraic K-Theory thì mình ko có 1 tí hiểu biết nào hết. Hì hì, cái này chắc phải nhờ Noproof đi liên lạc với bạn Ngân bên Orsay mời Ngân tham gia diễn đàn. Ngân có lẽ là sinh viên Việt Nam đầu tiên theo lãnh vực algebraic K-Theory (học trò của Kan đấy)
Còn về K-Theory bên giải tích kiểu như K-Theory cho Operator algebra, C*-algebra, KK-Theory.... thì Tranminhlong có thể nhờ Kakalotta (TQFT) tư vấn cho.

Thực ra thì nếu đã máu rồi thì đọc hẳn Grothendieck ý, vì K-Theory là ý tưởng của Grothendieck đầu tiên.

Chịu luôn, mấy cái này đọc chả hiểu gì cả. Ở đây có TLCT chắc siêu cái này, có thể vào đi vài đường cho mọi người học tập theo với.

Ủng hộ 2 tay luôn, Alexi viết bài về Faltings đi, mình cũng thần tượng ông này.

Thôi được rồi vậy thì tôi xin góp vui đôi chút về Chern classes, đổi lại Alexi trình bầy về Cohomology đi. Như đã biết Chern class đóng vai trò quan trọng trong nhiều lãnh vực của geometry và topology, vậy nên tôi sẽ đưa ra Chern class trong nhiều viewpoint khác nhau. Trước hết là trong Topo đại số:
Ta định nghĩa connecting homomorphism $\partial : H^1 ( X , \mathcal{O}^{ \large { \star }} \rightarrow H^2 ( X , \mathbb{Z} ) $ như là the first Chern class, it assigns to the equivalence class of complex line bundle L its first Chern class $c_1(L) \in H^2(X,\mathbb{Z})$. Nếu E là 1 complex vector bundle of rank r, vậy ta có 1 projective fibration $p : \mathbb{P}(E) \rightarrow X$ cũng như universal quotient bundle $p^{\large{\star}}E \rightarrow \mathcal{O}_E (1)$. Pullback của cohomology $p^{\large{\star}}: H^{\large{\star}}(X, \mathbb{Z}) \rightarrow H^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E) , \mathbb{Z}) $ định nghĩa cho ta 1 mở rộng vành hữu hạn ( Extension of rings ). Gọi $c_1(\mathcal{O}_E (-1)) = \xi$, then we have $H^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E),\mathbb{Z}) = \Bigoplus_{k=0}^{r-1} \xi^k \cup p^{\large{\star}}H^{\large{\star}}(X , \mathbb{Z})$. Do đó tồn tại các classes $c_i(E) \in H^{\large{\star}}(X ,\mathbb{Z})$ thỏa mãn $\xi^r + p^{\large{\star}}c_1(E) \xi^{r-1} + ... + p^{\large{\star}}c_r (E) = 0$ và ta gọi $c_i(E) \in H^{2i}(X, \mathbb{Z})$ là Chern classes của vector bundle E.
Trong hình học đại số:
Chúng ta hãy định nghĩa Chern classes trong Chow ring như sau: Với $D \in Div(X)$ ta gọi Line bundle $L = \mathcal{O}_X(D)$ và đặt $c_1(L) = [D] \in CH^{1}(X)$, với $CH^1(X)$ là the first Chow group. Xét projection fibration như trên we get finite ring homomorphism $p^{\large{\star}} : CH^{\large{\star}}(X) \rightarrow CH^{\large{\star}}(\mathbb{P}(E))$. Ta định nghĩa Chern classes thông qua Segre classes như sau: đặt $\xi = c_1(\mathcal{O}_E(1))$ và Segre class $s_k(E) = (-1)^k p_{\large{\star}}\xi^{r-1+k} \in CH^{k}(X)$. So we get the total Segre class $s(E) = \Bigsum_{k \geq 0} s_k(E) $, then set the total Chern class như là $c(E) = \dfrac{1}{s(E)}$, do đó $c_k(E)$ không gì khác hơn là homogenous part của total Chern class.
And in the viewpoint of complex geometry thì:
Nếu gọi $A^k(E)$ là không gian vector phức của các k-forms lấy giá trị trong E, ta chọn 1 connection (liên thông) $\nabla : A^k(E) \rightarrow A^{k+1}(E) $ thỏa mãn Leibniz rule: $\nabla(\alpha . e ) = d \alpha . e + (-1)^k \alpha . \nabla(e) $, với $\alpha$ là k-form, còn e là section. Điều này dẫn tới ta có 1 $A^0$-Module homomorphism $\nabla^2 : A^0(E) \rightarrow A^2(E)$ và exterior map $\wedge^k(\nabla^2) : A^0(E) \rightarrow A^{2k}(E). $, so we can define the Chern class as the cohomology classes in the complex De Rham Cohomology: $c_k(E) := [ (\dfrac{i}{2 \pi})^k Trace( \wedge^k(\nabla^2))] \in H^{2k}_{DeR}(X , \mathbb{C}) $

Sau đây xin nhường các cao thủ về Kähler Geometry vào làm vài đường về Chern class trong Dobeault Cohomology, kỹ thuật dòng, SUSY, Einstein Manifolds cho QC được lãnh giáo.
Ps: To Alexi: Nếu được xin mời Alexi làm 1 đường về Intersection Forms, Intersection theory plz!!!

em lại phải vào đây để hỏi vài người chuyên ngành đại số giao hoán 1 ít về cái Deligne Isomorphism trong local cohomology. Trước hết hãy nói classical đã, Deligne Formula cho noetherian ring A nói rằng $ \Gamma ( U , \widetilde{M} ) \simeq Hom_A ( a^n , M ) $ ( see Ex 3.7 Chap III Hartshorne ). Em có tra chứng minh trong Local Cohomology của Brodmann tuy nhiên không hiểu lắm (phần phụ lục Link with Sheaf cohomology). Ai có thể trình bầy lại cặn kẽ được không? Xin cám ơn!!!

TLCT có thể nói rõ thêm về Cartier Divisors ko? Mối quan hệ giữa Cartier and Weil Divisors, vài equivalence relation (rational, nummerical, homological relation). Quan hệ giữa Pic ( invertible sheaves or line bundles if you want) <--> Div. Define then the first Chern class as delta-functor. Việc định nghĩa lớp Chern ở higher dimension ko khó, using splitting principle splitt and some basic well-known differential geometry về connection and symmetric polynomials.

Nhưng trước khi TLCT schematically làm như vậy có thể TLCT nói lại explicite dùm phần Cohomology of Sheaves, vì nếu ko discuss cái này thì việc define Chern class maybe make no sense. Chẳng hạn TLCT dùng loại cohomology nào? (Derived functor hay Cech hay local hay gì?) Tất nhiên nếu ta dùng ko gian đủ tốt (noetherian hay quasi-compact) thì luôn tồn tại đẳng cấu giữa mấy cái Cech và Sheaf cohomology này hoặc thậm chí chỉ cần ko gian topo, nơi mà cohomology vanishing trên từng intersection vậy thì h(X) = h_cech (X) (see Ex 4.11 Chap III Hartshorne). TLCT ngoài ra có thể giải thích thêm cho mọi người hiểu rõ cụ thể hơn "Cohomology" ko? Chẳng hạn việc định nghĩa cohomology hay chasing diagramm ko thể thực hiện tùy ý trong mọi categories được, nếu tốt TLCT nêu lại Abelian Categories, Imbedding theorem của Freyd-Mitchell để suy ra Category của Sheaves Moduln, (quasi)-coherent sheaves and so on... có đủ injective objects và do đó cohomology make sense. Đây là phần algebraic.

Ở trên TLCT có trình bầy analytical, tuy nhiên ko thấy mention gì về các geometric objects, vậy có phải TLCT làm cho cả complex spaces ko? Tôi ko nghĩ complex spaces lại có thể trình bầy 1 cách đơn giản như ở trên được, cho nên tôi đoán TLCT trình bầy cho analytical varieties or complex manifolds? Bởi vì đối với 1 số complex spaces in general thì ord ko còn well-defined nữa, bởi complex spaces có thể non-irreducible và có "very wild" component. Chẳng hạn dimension ko thể định nghĩa global cho complex spaces ( in general sense), cần phải có good complex spaces, thậm chí có những không gian tệ tới mức các vành của mầm hàm ko còn là local rings and so on...

và cuối cùng thì can you say something about comparison between algbraic and analytical geometry?

Nói chung thì Whitney-Stiefel classes không interesting lắm đối với tôi, TLCT có thể beginn với Chern classes thì hay hơn. Ngoài ra thì Pontryagin classes cũng có lẽ là thú vị với vài topologist hay mathematical physicist ở diễn đàn này.

Có mấy cuốn của Knapp chắc cũng được, đặc biệt dành cho ai khoái món biểu diễn của semi simple lie groups.

vậy thì khởi động với characteristic classes đi.

Bài trên Alexi chứng minh sai rồi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathcal{L}(E) không phải là direct image của bó trọc trời http://dientuvietnam...mimetex.cgi?k_P, mà là direct image. Do đó phải sử dụng dãy khớp

để tính Euler characteristic. Ngoài ra Alexi có thể nói rõ thêm tại sao được không?

híc bác Cellist này tự dưng chửi mình. QC nói rồi, QC KO discuss với những người mà chỉ thích nói lờ mờ chung chung. Vấn đề cụ thể cứ trình bầy ra đây. QC đã nói ở trên là QC ko hiểu những điều Cellist hỏi, vì QC được học về lý thuyết độ đo bình thường như bao trường đại học dậy. Cellist ko thích thảo luận cụ thể thì thôi, có gì mà phải nói là "bao nhiêu nhà giải tích lờ đi", hay là "Các chú học biết là chính". Cellist học ở Đức biết rồi, bao giờ Cellist chưa formulate được điều mà Cellist muốn thảo luận thì ko 1 nhà toán học nào nói chuyện với Cellist đâu.
Nên nhớ rằng: Muốn nói chuyện với 1 nhà toán học thì phải phát biểu toán học, chứ cellist chỉ nói linh tinh rồi thì bảo là ko muốn thảo luận đường ai nấy đi thì e rằng cellist ko bao giờ đc giáo sư ở Đức chấp nhận đâu. Điều này QC nhận xét Cellist đừng tự ái. Nhưng QC xem bao nhiêu bài viết của Cellist rồi, thấy Cellist còn phải học kiến thức cơ bản lại nhiều, đừng vì nỗi tự ái riêng mà nói QC này nọ, tội nghiệp lắm. QC cũng phải học kiến thức cơ bản như mọi người thôi mà. Ko có kiến thức cơ bản thì Cellist có nói gì về hhds cũng như là vẹt nhắc lại bài thôi mà. QC cũng thế thôi. Nhưng QC khác Cellist vì QC thích discuss cơ bản còn Cellist thích đặt những câu hỏi mà Cellist cho là "hay" (có thể vì Cellist chưa hiểu bài), còn QC thì thấy no sense. QC thích discuss những phần cơ bản mà QC chưa hiểu và có thể áp dụng cho phần mà QC làm. Cellist có thể thấy những phần QC thảo luận luôn cụ thể toán học, còn Cellist thì rất chung chung.

QC chưa bao giờ chủ quan, những bài học cay đắng ở Đức QC đã thuộc làu, cho nên Cellist bảo QC chủ quan có lẽ là do suy nghĩ của Cellist. Có lẽ Cellist còn xa mới tới được cái đích Diplom. Cellist thích thảo luận Analysis 3 hay đúng hơn Analysis -1, tuy nhiên được khoác dưới cái vỏ bọc độ đo, còn QC nói rồi, cái này Cellist nên tự học thì tốt hơn, đấy lấy mấy cuốn Forster cũng được. Hay Cellist mở topic về Analysis -1 đi ở box giải tích ý, còn thì ở đây đang là Index theory, Cellist tự dưng mang mấy cái Cellist đang học vào nghe buồn cười quá.

Các Mod chú ý cho cái nhé, kể cả bài của QC, đã là tranh cãi ngoài mục Index thì chuyển ra ngoài giùm cái. Chán lắm rồi.

Ps: QC ko đánh giá câu hỏi trivial, mà chỉ đánh giá mức độ học. Also, Cellist tham gia topic tích phân Lebes của Mọt mở đi, điều này có lẽ giúp đỡ Cellist phần nào trong Studium chăng?

Buồn cười nhỉ, chả nhẽ cái box hình học topo có mỗi cái topic index theory thôi à??? còn các topic khác về sheaf, hình học đại số (vào đây luyện chưởng), elementary homological algebra... Còn xem các box khác mà xem, giải tích hay đại số ý. Còn nhiều topic vớ vẩn kém chất lượng hơn bên hình học topo nhiều. Tùy chú NL giải quyết, anh thì chỉ suy nghĩ là box hinh hoc topo là box mạnh nhất ở cái diễn đàn này, không có nó thì việc tham gia diễn đàn cũng là vô nghĩa đối với anh.

Hình học và topo không phải là vip thì mới là lạ??!!?? Mà hiện nay đang có nhiều hot topic ở đó.

Láo quá, box hình học topo đang active mà, 1 số người tham gia ở đó tương đối nhiều. Thật đúng là chả ra cái thể thống gì.

chú nào đóng mất box hình học topo thế hả? Vớ vẩn hết chỗ nói.

Thế là topic lại biến thành topic hổ lốn rồi, thôi không sao kệ. Đang Index thì lại có độ đo, với cả analysis -2, híc híc.
to toanhoc: Ok. Mình sẽ post.
to pizza: Chính xác ra thì có thể gọi là Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch. "Hiển nhiên" là liên quan rồi, nhưng liên quan thế nào mới là câu chuyện thú vị. Nói ra ý tưởng của định lý hay phát biểu định lý thì chỉ cần 2 dòng, nhưng chứng minh định lý mới là quan trọng. Và cũng xin thú nhận mình cũng đang phải nghiền cái chứng minh. Toán tử không xuất hiện trong chỉ số topo mà xuất hiện trong chỉ số analytical.
To Cellist: Cellist có thể tự cầm sách giải tích ôn luyện được cơ mà, sao lại mang lên topic này? Nếu Cellist muốn thảo luận toán học thì phải nói rõ và chính xác, measure là measure, còn measurable set và Lebesgue Integral là measurble set và Lebesgue Integral. Còn discuss chung chung thì nói rõ là discuss chung chung, khi discuss về toán thì QC chỉ muốn discuss về 1 object được formulate 1 cách nghiêm túc, không thì thôi. Còn những chuyện râu ria như Quantum Mechanics, Einstein,... and so on blah blah không đúng trọng tâm của vấn đề thì đối với QC make no sense.
Also, Cellist muốn discuss về Messbare Menge, hay là Mass, hay là sao? Lebesguesches Integral?!!?! Vậy thì trước hết Cellist trả lời Was ist eine messbare Menge! Dann diskutieren wir weiter.