Gọi $20$ số đó lần lượt là $a_1<a_2<..<a_{20}$. Phản chứng là mỗi hiệu chỉ xuất hiện tối đa $3$ lần. Khi đó xét $19$ hiệu $a_2-a_1,a_3-a_2,..,a_{20}-a_{19}$

Gọi $19$ hiệu này là $k_1 \leq k_2 \leq .. \leq k_{19}$. Khi đó $69 \geq a_{20}-a_1=k_1+..+k_{19} \geq 3(1+2+..+6)+7=70$ (vô lí)

Vậy bài toán được chứng minh

Em hiểu rồi ạ. Cám ơn anh nhiều lắm.

Cho 20 số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 70 (20 số phân biệt). Trong 20 số đó cứ hai số bất kì tạo thành một hiệu (Số lớn trừ đi số bé). Chứng tỏ rằng có ít nhất 4 hiệu bằng nhau.

Mục lục cuốn sách đó đây ạ:
Chương 1: Các định lý CEVA, MENELAUS
Chương 2: Các định lý STEWART, APOLONIUS, DESARGUES, PAPPUS
Chương 3: Các định lý thường gặp trong tứ giác: định lý PTOLÉMÉ - định lý PASCAL - định lý CARNOT - bất đẳng thức ERDOS-MODELL, các định lý về trục đẳng phương
Chương 4: Các định lý liên quan đến đường tròn: SIMON, EULER, định lý STEINER, PITHOT, BRIANCHON, MIQUEL, NEUBERG
Chương 5: Phương pháp VECTOR, phép nghịch đảo và các định lý liên quan trong một số bài thi vô địch toán về hình học phẳng
Chương 6: Một sô bài toán hình học có nhiều cách giải

Dạ đúng rồi, anh cũng có à?

Em đang sở hữu một cuốn sách khá hay "Những định lý chọn lọc trong hình học phẳng qua các kì thi Olympic" của thầy Nguyễn Văn Nho. Mặc dù mới lớp 7, đọc qua chưa hiểu gì, nhưng thấy box Olympiad của diễn đàn có ít bài quá, nên em đóng góp, mong sẽ có ích cho các anh chị.
* Định lý Ceva: Gọi E,F,G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC. Lúc đó, ba đường thẳng AE,BF,CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi:
$\dfrac{AG}{BG}.\dfrac{BE}{CE}.\dfrac{CF}{FA}$=1.
Bài tập áp dụng:
Bài 1(Thi vô địch Hàn Quốc, 1992)
Trong tam giác ABC có AB AC, gọi V là giao điểm của phân giác góc A với cạnh BC, D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu E và F tương ứng là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, hãy chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
Bài 2(Tạp chí Komal)
Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các điểm $A_1,B_1,C_1$. Các đường thẳng $A_1O,B_1O,C_1O$ tương ứng cắt các đoạn thẳng $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$ tại các điểm $A_2,B_2,C_2$.
Chứng minh rằng ba đường thẳng $AA_2,BB_2,CC_2$ đ?#8220;ng quy.
Bài 3(Olympic toán học mùa xuân - Bulgari, 1997)
Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn $\hat{DAB}=\hat{ABC}=\hat{BCD}$. Gọi H,O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng H,O,D thẳng hàng.
Bài 4(Bài đề nghị cho IMO của Estonia, 1994)
Cho nửa đường tròn (T) nằm về một phía của đường thẳng (d). C và D là các điểm trên đường tròn (T). Các tiếp tuyến của (T) tại C và D cắt (d) tại B và A tương ứng, và tâm đường tròn nằm giữa hai điểm này. Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là điểm nằm trên (d) sao cho EF vuông góc với (d). Chứng minh EF là phân giác góc CFD.
Bài 5( Bài đề nghị IMO của Anh, 2000)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm của một tam giác nhọn ABC. Chứng tỏ rằng tồn tại các điểm DEF tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho OD+DH=OE+EH=OF+FH và các đường thẳng AD,BE,CF đồng quy.
Bài 6(Bài đề nghị cho IMO của Belarusia, 2001)
Gọi $A_1$ là tâm của một hình vuông nội tiếp trong tam giác nhọn ABC với hai đỉnh của hình vuông ở trên cạnh BC. Như thế một trong của hình vuông trên cạnh AB và đỉnh kia trên cạnh AC. Các điểm $B_1,C_1$ được xác định theo cách tương tự cho các hình vuông nội tiếp với hai đỉnh lần lượt ở trên các cạnh AC và AB. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy.

Xét trường hợp: 22222...2(n chữ số 2) = $a^{2}-b^{2}$=(a-b)(a+b). Xét (a-b)(a+b) 2 (a-b)(a+b) 4. Mà 222...2(n chữ số 2) không chia hết cho 4 kô t?#8220;n tại n thỏa mãn giả thiết trên.
Xét trường hợp: 2222...2(n chữ số 2)= $a^{2}+b^{2}$ 2222...2(n chữ số 2)+2ab=$(a+b)^{2}$. Ta có $(a+b)^{2}$ 4. Lại có 222...2(n chữ số 2) 2 (mod 4) a b 1(mod 4)hoặc a b 3(mod4). Lập luận ra ta sẽ tìm được n=1 với a=b=1.

[quote name='hongthaidhv' post='194199' date='Dec 1 2008, 09:51 PM']Mấy bài này thế mà chật vật ra phết (phù...........). Từ cấy thứ nhất và 3 ta sẽ có $5x=3y-12 => x= \dfrac{3}{5}y -\dfrac{12}{5}$. thế vào cấy thứ nhất và thứ 3 sau đó ta sẽ tính đc y => x => z ( em thử lại xem anh chưa tính nếu sai để anh tính lại )[/quote]
kết quả sau khi tính là: cấy thứ nhất ra $\dfrac{3}{5}-\dfrac{12}{15y}$ và cấy thứ ba y hệt. Như vậy là sao có thể tính được y?[quote]

Tìm $x,y,z \in I$ thỏa mãn:
$\dfrac{7x-3y+12}{2y}=\dfrac{y+2z}{z-3y+2}=\dfrac{x}{y}$
Mọi người giúp em nhé, thứ 4 này em thi hs giỏi rồi.

--------------------------------------------------------------
Đây là tìm x, y,z vô tỉ à em

sorry. Em đánh lộn x,y,z là các số thực, thuộc tập R

Tìm $x,y,z \in R$ thỏa mãn:
$\dfrac{7x-3y+12}{2y}=\dfrac{y+2z}{z-3y+2}=\dfrac{x}{y}$
Mọi người giúp em nhé, thứ 4 này em thi hs giỏi rồi.

Tìm a, b N* thỏa mãn a^{2}+3b và b^{2}+3a đều là hai số chính phương.