Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


xuantrandong nội dung

Có 45 mục bởi xuantrandong (Tìm giới hạn từ 16-09-2015)



Sắp theo                Sắp xếp  

#718341 Vector vận tốc và gia tốc trong tọa độ cầu.

Đã gửi bởi xuantrandong on 11-12-2018 - 20:34 trong Các môn tự nhiên (Vật lý, Hóa học, Sinh học, Công nghệ)

Er,E(theta),E(phi) từ đâu ra vậy ạ




#694790 Hỏi công thức tính tọa độ điểm A,B,C,D trong hình vuông?

Đã gửi bởi xuantrandong on 15-10-2017 - 00:06 trong Hình học

hinh-vuonge3f01e4e28b3f599.jpg

Cho hình vuông 200x200, Cho điểm P bất kỳ nằm trong hình vuông VD: P có tọa độ x=100, y=100;

 

Hỏi công thức tính tọa độ điểm A,B,C,D của góc P.

 

(hình 1) góc = 90 độ mình có thể đoán được tọa độ của A=(100,0), B=(0,100), C=(100,200), D=(200,100)

 

Ở (hình 2) góc = 45 độ mình có thể đoán được tọa độ của A=(0,0), B=(0,200), C=(200,200), D=(200,0)

 

Ở (hình 3) góc = 75 độ không thể đoán nổi  :D

 

 

Có bạn nào biết công thức có thể giải bài toán này không chỉ mình với _thank very much.




#684944 Tuần 3 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $\angle ADO= \angle OAG...

Đã gửi bởi xuantrandong on 18-06-2017 - 21:22 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Bài 2

Hình gửi kèm

  • 1.png



#682853 Tuần 1 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $XB=XC$.

Đã gửi bởi xuantrandong on 03-06-2017 - 10:18 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Mình xin giải bài 2:

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$ tâm ngoại tiếp $O$ và 2 điểm $P,Q$ đẳng giác. $H, I, K$ là tâm ngoại tiếp của các tam giác $PBC, PCA,PAB$. $D, E, F$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $QBC, QCA, QAB$. Gọi $(O_{1}),(O_{2})$ là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $HIK, DEF$. Khi đó  $O, O_{1}, O_{2}$ thẳng hàng và đường thẳng $O_{1}O_{2}$ song song với $PQ$.

Chứng minh bổ đề: Dễ chứng minh các tứ giác $KFIE, EIHD, DHFK$ là các tứ giác nội tiếp và $O$ là tâm đẳng phương của các đường tròn  $(KFIE), (EIHD), (DHFK)$. Xét phép nghịch đảo phương tích $OH.OD=OI.OE=OF.OK$ biến đường tròn $(HIK)$ thành đường tròn $(DEF)$ nên $O, O_{1}, O_{2}$ thẳng hàng. $KI, EF$ giao nhau tại $X$, $DF, HK$ giao nhau tại $Y$. Thì $XK.XI=XE.XF$ và $YD.YF=YH.YK$ nên đường thẳng $XY$ là trục đẳng phương của  $(O_{1}),(O_{2})$ nên $XY$ vuông góc $O_{1}O_{2}$. Hơn nữa do $X, Y$ là tâm ngoại tiếp của các tam giác $APQ, BPQ$ nên $X, Y$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $PQ$ nên $XY$ vuông góc $PQ$ do đó $XY$ song song với đường thẳng qua  $O, O_{1}, O_{2}$.

Trở lại bài toán:

Gọi $I, J, K, G, H, L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PBC, PCA, PAB, QBC, QCA, QAB$. Gọi $U, V$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $IJK, GHL$. Theo bổ đề ta cần chứng minh $DX, EY, FZ, UV$ đồng quy. $UV, AD$ giao nhau tại $R$; $KJ, HL$ giao nhau tại $M$. Ta có:

$(ROUV)=X(R,O,U,V)=M(O,R,J,L)=-1$ ( áp dụng định lý $Brocard$ và chùm trực giao ). 

Do đó nếu $EY, FZ$ giao $UV$ tại $R', R''$ thì ta có $(ROUV)=(R'OUV)=(R''OUV)=-1$ nên $R, R', R''$ trùng nhau. 

Ta có điều phải chứng minh

Hình gửi kèm

  • 1.png



#682327 Tuần 5 tháng 5/2017: Chứng minh rằng bốn điểm $R,H,J,K$ cùng thuộc...

Đã gửi bởi xuantrandong on 29-05-2017 - 19:14 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Lời giải bài 2 của mình

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$, 2 điểm $P,Q$ sao cho $P$ nằm ở miền trong $\Delta ABC$ và $BPCQ$ là hình bình hành. khi đó $BP,CP$ đối song $\angle A$ khi và chỉ khi $AP,AQ$ đẳng giác $\angle A$

Chứng minh: Dựng hình bình hành $ACPR$

Giả sử $BP,CP$ đối song thì $\angle ABP=\angle ACP=\angle ARP$ khi đó $ARBP$ nội tiếp nên $\angle BAP=\angle BRP=\angle CAQ$ do đó $AP,AQ$ đẳng giác. 

Chiều ngược lại chứng minh tương tự 

Trở lại bài toán: 

Lấy $P,Q$ đối xứng với $N,M$ qua trung điểm $L$ của $BC$. Áp dụng bổ đề:

Do $BM,CM$ đối song góc $A$ nên $AM,AQ$ đẳng giác góc $A$.

Do $BP,CP$ đối song góc $A$ nên $AN,AP$ đẳng giác góc $A$. 

vậy nên $AM,AQ$ đẳng giác $\angle PAN$, áp dụng bổ đề 1 lần nữa được $PM,NM$ đối song góc $\angle PAN$.

Dựng hình bình hành $AH'MP$ được $H'AMN$ nội tiếp do $\angle AH'M=\angle APM=\angle ANM$

và $AH'$ vuông góc $BC$ nên $H$ trùng $H'$.

Vậy $AH=MP=2KL$

Hình gửi kèm

  • 1.png



#682122 a + b * a = c Biết c Tìm a hoặc b (Tìm công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 27-05-2017 - 14:20 trong Số học

Cảm ơn bạn rất nhiều.

Có công thức tính toán dễ hẳn. :D




#681744 SHARE KHO GIÁO TRÌNH SSDG CỰC LỚN HOT HOT ĐA CHỦNG LOẠI

Đã gửi bởi xuantrandong on 24-05-2017 - 00:55 trong Phần mềm hỗ trợ học tập, giảng dạy - Các trang web hay

kho ebook ssdg

http://4share.vn/d/6257575252535653




#680738 Tuần 3 tháng 5/2017: đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định...

Đã gửi bởi xuantrandong on 15-05-2017 - 03:26 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Lời giải bài $2$ của mình dài và chưa hay  

Bổ đề: Trên đường thẳng $d$, lấy các điểm $X,Y,E,F,M,N,I$ sao cho $(XYFE)=-1$, $I$ là trung điểm $EF$, $\overline{YM}.\overline{YN}=\overline{YX}.\overline{YI}$. Khi đó ta có $(MFIX)=(NEXI)$

Chứng minh bổ đề: Gọi tọa độ các điểm $X,E,F,M,N,I$ trên đường thẳng $d$ là $x,e,f,m,n,i$, chọn $Y$ làm gốc tọa độ.

Ta có (dễ thấy) :  $i=\frac{e+f}{2}$

                           $mn=x(\frac{e+f}{2})$

                           $x=\frac{2ef}{e+f}$

Biến đổi: $(MFIX)=(NEXI)\Leftrightarrow \overline{IM}.\overline{IN}.\overline{XE}.\overline{XF}=\overline{XM}.\overline{XN}.\overline{IE}.\overline{IF}\Leftrightarrow (m-\frac{e+f}{2})(n-\frac{e+f}{2})(x-e)(x-f)=-(x-m)(x-n)\frac{(e-f)^{2}}{4}\Leftrightarrow (\frac{(e+f)^{2}}{4}-\frac{(m+n)(e+f)}{2}+mn)=-(x^{2}-x(m+n)+mn)(\frac{(e-f)^{2}}{4})$

Thay  $mn=x(\frac{e+f}{2})$ vào ta có $\frac{e+f}{2}.(x-e)(x-f)=-x.\frac{(e-f)^{2}}{4}$, tiếp tục thay  $x=\frac{2ef}{e+f}$ vào ta được đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra điều phải chứng minh.

Trở lại bài toán

Gọi $K$ là trung điểm $AH$, $I$ là trung điểm $EF$, đường thẳng $EF$ giao $BC,AH$ tại $X,Y$, đường thẳng qua $K$ vuông góc $BK, CK$ giao $AC,AB$ tại $U,V$.

Dễ thấy $BKEU$ là tứ giác nội tiếp, nên $\angle KBU=\angle KEA=\angle KAE=\angle HBC\Rightarrow \angle KBE=\angle UBC$

Mà $\angle ABH=\angle OBC$ nên $\angle ABK=\angle OBU$, do đó $O,K$ đẳng giác trong $\Delta ABU$, nên $\angle OUB=\angle KUA=\angle KBE=\angle UBC$ do đó $OU$ song song $BC$. Mặt khác hai tam giác $BHA,BFE$ đồng dạng có $K,I$ là trung điểm của 2 cạnh tương ứng $HA,FE$ nên $\angle KBE=\angle IBA$ nên $\angle UBC=\angle IBA$

Chứng minh tương tự ta cũng được $\angle ICA=\angle VCB$

Do $OU,OV$ song song $BC$ nên $P,U,O,V$ thẳng hàng, nên $B(CUPV)=C(BUPV)$, xét phép đối xứng qua phân giác góc $B$ và phép chiếu xuyên tâm $B$ lên đường thẳng $EF$ thì $B(CUPV)=B(AIQC)=(FIMX)$, tương tự $C(BUPV)=C(ABQI)=(EXNI)$

Do đó $(FIMX)=(EXNI) \Rightarrow (MFIX) = (NEXI )$

Gọi đường tròn $(AMH)$ giao $EF$ tại $N'$ thì theo bổ đề ta có $(MFIX)=(N'EXI)$, vậy $N$ trùng $N'$

Dễ thấy $(XYFE)=-1$ do đó $(YXFE)=-1$, áp dụng hệ thức $Maclaurin$ thì $\overline{YI}.\overline{YX}=\overline{YE}.\overline{YF}$

Vậy $\overline{YM}.\overline{YN}=\overline{YX}.\overline{YI}=\overline{YH}.\overline{YA}$ nên $A,H,M,N$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Hình gửi kèm

  • 1.png



#679704 a + b - (c * a) = d Biết b,c,d Tìm a (Hỏi công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 06-05-2017 - 16:40 trong Số học

Nếu $c*a=c.a$ thì công thức trên đúng rồi còn kết quả trên máy tính nó tính lệch thôi, đúng đến chữ số thập phân số 9 mà. Số càng lớn thì máy tính tính càng sai số. Với lại công thức này thực sự rất dễ suy ra, chẳng qua nhóm hạng tử $a$ ra thôi.

P/s: chắc bạn chuyên lí.

:D Thank bạn, máy tính của mình nó bị sao ý 2,7 - 1 nó lại ra kết quả là 1,7000000000000002 có lẽ mấy mụ đống nát đã yểm bùa nó rồi.




#679665 a + b - (c * a) = d Biết b,c,d Tìm a (Hỏi công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 06-05-2017 - 10:42 trong Số học

(c * a) chính là (c nhân a) trên máy tính dấu * chính là dấu nhân.




#679664 a + b - (c * a) = d Biết b,c,d Tìm a (Hỏi công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 06-05-2017 - 10:39 trong Số học

b = 39445.630410252605
c = 750998.976752332
d = 155819861521.36218
a = ?
 
Tìm a sao cho a + b - (c * a) = d
 
Chỉ là một bài toán tìm a thôi mà có cần phải quan tâm tới c * a nhiều đến vậy không?



#679611 a + b - (c * a) = d Biết b,c,d Tìm a (Hỏi công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 05-05-2017 - 20:08 trong Số học

Cảm ơn bạn đã quan tâm tới bài toán của mình.
a,b,c là số ngẫu nhiên. Bài đó NHoang1608 giải được rồi. Tuy công thức của NHoang1608 giải nhiều lúc sai vài số cuối :D.
VD:
a = 207483.7826339174
b = 39445.630410252605
c = 750998.976752332
d = a + b - (c * a) = -155819861521.36218
 
a = 207483.78263391738 << Là kết quả tính a theo công thức (d-b)/(1-c) của NHoang1608
a = 207483.782633917474 << Nhưng kết quả đúng đáng nhẽ phải ra thế này



#679552 a + b * a = c Biết c Tìm a hoặc b (Tìm công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 05-05-2017 - 02:18 trong Số học

A = 300

B = 1.7

C = A + B * A;
==> C = 300 + 1.7 * 300 = 810
 
Câu hỏi 1:
C = 810
A = 300
Tìm công thức tính B?
 
Câu hỏi 2:
C = 810
B = 1.7
Tìm công thức tính A?



#679427 a = a + b - a * c (Tính a ở lần thứ ?)

Đã gửi bởi xuantrandong on 04-05-2017 - 00:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

a = a + b - a * c
cho a = 10
cho b = 100 
cho c = 50 
 
Lần thứ 1: a = a + b - a * c ==> 10 + 100 - 10 * 50 = -390
Lần thứ 2: a = a + b - a * c ==> -390 + 100 - -390 * 50 = 19210
Lần thứ 3: a = a + b - a * c ==> 19210 + 100 - 19210 * 50 = -941190
Lần thứ 4: a = a + b - a * c ==> -941190 + 100 - -941190 * 50 = 46118410
Lần thứ 5: a = a + b - a * c ==> 46118410 + 100 - 46118410 * 50 = -2259801990
Lần thứ n:.......................................
 
Bạn nào biết công thức tính a ở lần thứ vd:4 mà không cần phải tính từ lần 1 đi lên không chỉ mình với _thank.



#679341 a + b - (c * a) = d Biết b,c,d Tìm a (Hỏi công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 03-05-2017 - 16:37 trong Số học

Cảm ơn bạn nhiều nhá có công thức cái học và làm bài rễ hẳn. :D




#679338 a + b - (c * a) = d Biết b,c,d Tìm a (Hỏi công thức)

Đã gửi bởi xuantrandong on 03-05-2017 - 16:23 trong Số học

VD: a + b - (c * a) = d

a + 11 - (20 * a) = -502 Có bạn nào biết công thức để tìm a ở bài toán này không chỉ mình với _thank.




#678530 Tuần 4 tháng 4/2017: Đường tròn pedal của $A$ ứng với tam giác...

Đã gửi bởi xuantrandong on 24-04-2017 - 22:01 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Bài 1:

Gọi $D, E, F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $KL, KN, LM$, ta cần chứng minh $(DEF)$ tiếp xúc $BC$.

Gọi $AP$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ với $P$ thuộc $(ABC)$

Thấy rằng $D$ là giao điểm của đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $AC$ và đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $AB$

                 $E$ là giao điểm của đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $BC$ và đường tròn qua $A,P$ tiếp xúc $AC$

                 $F$ là giao điểm của đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $BC$ và đường tròn qua $A,P$ tiếp xúc $AB$

Sử dụng phép hợp phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AB.AC$ và phép đối xứng qua phân giác góc $\angle A$ ta được bài toán sau:

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, tiếp tuyến tại $B,C$ giao nhau tại $T$, $M$ là trung điểm BC. $H,G$ thuộc $TC,TB$ sao cho $MH // AC$ và $MG // AB$ . Chứng minh rằng $THG$ tiếp xúc $(O)$.

Chứng minh:

$AM,AT$ giao $(O)$ tại $F,I$. kẻ tiếp tuyến $Ix$ của $(O)$.

Dễ chứng minh $BMIG,CMIH,GTHI$ là các tứ giác nội tiếp

Biến đổi góc như sau ( để ý $IF//BC$)

$\angle HIx=\angle CIH-\angle CIx=\angle HMC-\angle FBT=\angle ACB-\angle FBT=\angle AFB-\angle FBT=\angle BTF=\angle HTI$

Do đó $Ix$ cũng là tiếp tuyến của $THG$, do đó $THG$ tiếp xúc $(O)$.

Hình gửi kèm

  • images.png



#678449 Tuần 4 tháng 4/2017: Đường tròn pedal của $A$ ứng với tam giác...

Đã gửi bởi xuantrandong on 23-04-2017 - 21:57 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Mình xin phép giải bài 2:

Chuyển mô hình bài toán về bài toán sau đây:

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $H$ là trực tâm. 3 đường cao $AD, BE, CF$. Đường thẳng $HO$ cắt $(FHD)$ tại $V$. $Y$ là điểm thuộc $(FHD)$ sao cho $HY$ vuông góc $FV$. Chứng minh rằng điểm đối xứng của $Y$ qua $HO$ thuộc đường tròn $(DHE)$. 

Giải:

Gọi $K, L$ đối xứng với $F, E$ qua $BE, CF$. $KL$ giao $(FHD)$ và $(EHD)$ lần lượt tại $Y', X'$. Ta sẽ chưng minh $OH$ là đường trung trực của $X'Y'$ và $HY'$ vuông góc $FV$, và từ đó ta chứng minh được $X$ trùng $X'$ và $Y$ trùng $Y'$.

Gọi $B', C'$ đối xứng với $B, C$ qua $CF, BE$. $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta HB'C'$. Theo $APMO-2010$ thì $I, H, O$ thẳng hàng. Dễ thấy theo phép đối xứng trục thì $B', H, L$ và $C', H, K$ thẳng hàng. và $\overline{HK}.\overline{HC'}=\overline{HF}.\overline{HC}=\overline{HE}.\overline{HB}=\overline{HL}.\overline{HB'}$ do đó theo phép nghịch đảo tâm $H$ phương tích $\overline{HA}.\overline{HD}$ thì $IH$ vuông góc $LK$ tức là $X'Y'$ vuông góc $OH$. Gọi $M, N$ là giao điểm $(I)$ và $AC, AB$ thì theo phép nghịch đảo tâm $H$ phương tích $\overline{HA}.\overline{HD}$ thì $CC' \leftrightarrow (FHD) $, $(I) \leftrightarrow X'Y'$ do đó $M \leftrightarrow Y'$, tương tự $N \leftrightarrow X'$. mà $\angle HC'M=\angle HCA=\angle HBA=\angle HB'N$ nên $HM = HN$. Do đó $HX'=HY'$. mà $OH$ vuông góc $X'Y'$ nên $OH$ là đường trung trực $X'Y'$.

Ta có $\angle HVF+\angle VHY'=\angle HBA+\angle IHM=\angle HC'M+\angle IHM=90$ nên $FV$ vuông góc $HY'$

Do đó $X$ trùng $X'$, $Y$ trùng $Y'$ nên ta có điều phải chứng minh

Hình gửi kèm

  • images.png



#677778 Tuần 3 tháng 4/2017: Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ đi qua điểm c...

Đã gửi bởi xuantrandong on 17-04-2017 - 21:38 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Mình xin phép giải bài 2:

Ta chuyển bài toán trên thành bài toán tương đương như sau: Cho tam giác ABC, P di động trên BC, đường thẳng qua P vuông góc AB, AC cắt các đường thẳng AC, AB tại E, F. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF thuộc một đường thẳng cố đinh.

Đường thẳng qua B và C lần lượt vuông góc AB và AC cắt AC và AB tại M, N. R, S là trung điểm AM, AN. L, K là trung điểm BM, CN. X, Y đối xứng R, S qua L, K. H, I là trung điểm PE, PF. 

Dễ thấy ACYS và ABXR là hình bình hành nên SY // BX // AC và RX // CY // AB. Theo bổ đề hình thang thì B, I, K thẳng hàng và C, H, L thẳng hàng. Qua I kẻ đường thẳng song song với AC giao XY tại O thì áp dụng liên tiếp định lý talet:

$\frac{YO}{OX}=\frac{KI}{IB}=\frac{CP}{PB}=\frac{CH}{HL}$

mà CY // LX nên HO // CY // LX // AB

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF di động trên đường thẳng XY cố định

Hình gửi kèm

  • images.png



#651998 Chứng minh đường thẳng Simson vuông góc HN

Đã gửi bởi xuantrandong on 30-08-2016 - 20:32 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Mọi người giúp mình bài toán này nhé :)

Cho $\Delta ABC$ có $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $N$ là điểm $Nagel$. Đường thẳng $ON$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng đường thẳng $Simson$ của điểm $M$ hoặc song song hoặc vuông góc với $HN$.

 

Bài này mình làm cực dở. Các bạn giúp mình nhé :)




#645125 CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

Đã gửi bởi xuantrandong on 16-07-2016 - 08:43 trong Đại số

1) Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, $a,b\neq -1$ thỏa mãn : $\frac{a^{2}-1}{b+1} + \frac{b^{2}-1}{a+1} \in \mathbb{Z}$

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

2) Xét 100 số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$  thỏa mãn : $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20$

CMR trong 100 số đó có ít nhất 2 số bằng nhau




#644887 Hai số A=$1978^{n}$ và B=$1978^{n}+2^...

Đã gửi bởi xuantrandong on 14-07-2016 - 08:41 trong Đại số

Cho hai số:

A=$1978^{n}$

B=$1978^{n}+2^{n}$

Chứng minh rằng hai số trên có cùng số chữ số ?




#637113 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 31-05-2016 - 13:35 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Mình xin đề xuất $\boxed{\text{Bài toán 18}}$

(Sưu tầm) Cho$\Delta ABC$ nhọn. $M$ là một điểm di động trên cạnh $AB$ và $N$ là trung điểm $AC$. Gọi $P,Q$ là hình chiếu của $A$ trên $MC,MN$. Chứng minh rằng khi $M$ di động trên cạnh $AB$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta PQN$ nằm trên một đường thẳng cố định.




#636982 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 31-05-2016 - 00:03 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

$\boxed{\text{Lời giải bài toán 17}}$

Gọi $X$ và $Y$ là giao điểm của $EF$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

xét phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AX^{2}=AY^{2}=AF.AB=AE.AC$ ta có đường tròn $(A;AX)$ trực giao với đường tròn đường kính $BC$ hay$P_{M,(A;AX)}=MB^{2}=MC^{2}$ 

Gọi $K$ là giao điểm $EF$ và $BC$

Gọi $U$ và $V$ là giao điểm của $MX,MY$ và  $(A;AX)$

Do $(K,D,B,C)=-1$ nên theo $Maclaurin$ ta có $KD.KM=KB.KC=KX.KY$ suy ra $XYMD$ nội tiếp $\Rightarrow \angle DXU=\angle DYV$ 

Do $(K,D,B,C)=-1$ nên theo $Newton$ ta có $MX.MU=MB^{2}=MD.MK$ suy ra $XUDK$ nội tiếp

tương tự $YVDK$ nội tiếp

ta có $\angle DKU=\angle DXU=\angle DYV=\angle DKV$ nên $K,U,V$ thẳng hàng

mà $MF^{2}=MD.MK$ nên $\angle DFM=\angle DKF=\angle DUM$ nên $DMFU$ nội tiếp tương tự $DMEV$ nội tiếp

$\Rightarrow $ đường thằng chứa $K,U,V$ chính là trục đẳng phương của đường tròn $Euler$ và   $(A;AX)$

ta có tâm đường tròn $Euler$, tâm $A'$ của $(BHC)$ và $A$ thằng hàng  nên $AA'$ vuông góc  $UV$

mà $KX.KY=KB.KC= KU.KV$ và $K$ thuộc đương thẳng $UV$ nên $(A;AX)$, đường tròn $Euler$ và đường tròn $(BHC)$ có 2 điểm chung là $U,V$

vậy  $U\equiv P,V\equiv Q$

Áp dụng định lý $Brocard$ cho tứ giác $BECF$ nội tiếp ta có $H$ là trực tâm của tam giác $AKM$, mà $A$ là tâm  $(A;AX)$  nên theo định lý $Brocard$ cho tứ giác nội tiếp $XYPQ$ thì $H$ là giao điểm $XQ,YP\Rightarrow XQ$ đi qua $H$

vậy $MP,QH,EF$ đồng quy tại $X$ ta có đpcm.

Untitled.jpg




#636005 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi xuantrandong on 27-05-2016 - 18:01 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Xin lỗi thầy và mọi người, bài toán vừa rồi mình lấy trong tài liệu 111 nice geometry problems của diễn đàn Mathscope. không ngờ lại trùng bài viết của thầy Hùng

Mình xin up lại bài khác:

$\boxed{\text{Bài toán 9}}$

Cho $\triangle ABC$ có trực tâm $H$. $P,Q$ bất kì thuộc cạnh $AB,AC$ dựng điểm M sao cho $\triangle MBC$ đồng dạng $\triangle HPQ$ và $M$ cùng phía với $A$ đối với cạnh $BC$. Chứng minh rằng $MH$ vuông góc $PQ$