cho $0 < a \leq b \leq c$
CMR
$\dfrac{2a^2}{b+c} + \dfrac{2b^2}{a+c} + \dfrac{2c^2}{a+b} \leq \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a}$

Sao làm phức tạp vậy ? Cauchy 2 lần là ra mà.
$a^2/b+a^2/c>=2*a^2/(bc)>=4*a^2/(b+c)$
Tương tự cho 2 cái còn lại, sau đó, cộng lại 3 cái theo vế đầu và vế cuối thì suy ra điều phải chứng minh thôi.

Tìm nghiệm phương trình:
log(x+1)x=log(2008)2009

Đề không rõ ràng gì hết làm sao mà giải đây!

Cho X Q thỏa mãn:

1\2 X và x X thì 1\(x+1) ;x\(x+1) đều thuộc tập X

Chứng minh:X chứa tất cả các số hữa tỷ [0;1]

em mới viết bài lần đầu
mong anh cị giải cách lớp 10 cho dễ hiểu

Bài này dùng lim là ra mà, cho x tiến đến cộng vô cùng và trừ vô cùng sẽ ra mà.

giải pt
$ 2x( \dfrac{x}{1975^2}+1)+ \dfrac{x^4}{1975^3}+1=( \dfrac{x^4}{1975^3}+ \dfrac{2x^2}{1975^2}+x+ \dfrac{1976}{1975}) 2008^{x- \dfrac{1}{1975} } +(x- \dfrac{1}{1975})2008^{ \dfrac{x^4}{1975^3}+ \dfrac{2x^2}{1975^2}+x+ \dfrac{1976}{1975} } $
p/s: chuẩn ko cần chỉnh.....

Bài này đặt
$ a=( \dfrac{x^4}{1975^3}+ \dfrac{2x^2}{1975^2}+x+ \dfrac{1976}{1975})
b=x- \dfrac{1}{1975} $
Khi đó, pt trở thành:
$ a+b=a*2008^b+b*2008^a $
Nhận xét, hệ pt có 1 hệ nghiệm a=b=0.
Thay ngược lại suy ra x.
Sau đó chứng minh chỉ có 1 nghiệm với mọi a,b.
Chứng minh $ ( \dfrac{x^4}{1975^3}+ \dfrac{2x^2}{1975^2}+x+ \dfrac{1976}{1975}) >0 $ với mọi x thì ta chỉ cần khảo sát cái b trên R nữa là chứng minh xong.
Hoặc các bạn có thể dùng bất đẳng thức của hàm số mũ hay log gì đó, hok nhớ rõ.
Còn một phương pháp nữa là khảo sát hàm nhiều ẩn (ở đại học mới được học mới được học)

cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều các điểm A, B, C

a/ Xác định và tính chiều cao lăng trụ

b/ Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ

Vì ABC là tam giác đều và A' cách đều A,B,C nên A' nằm trên đường thẳng vuông góc và cách đều 3 điểm A,B,C. Tức đường thẳng qua A' và vuông góc với mp (ABC) cắt mp (ABC) tại điềm G là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có I là trung điểm BC => AI=sqrt(3).a/2.
AG=2AI/3=a.sqrt(3)/3
......
Hình như bài này thiếu dữ kiện vì nếu chỉ cho đề như vậy thì không xác định được độ dài A'G. Nếu đề cho lăng trụ đều hay góc của AA' với mp (ABC) là bao nhiêu thì mới làm được. Vì với dữ kiện trên, người ta có thể tịnh tiến A' trên đường thẳng vuông góc với mp (ABC) và cách đều A,B,C. Bài toán trở thành bài toán quỹ tích rồi.

Tiếp:
1. Cho các số thực x,y,z với $x+y+z=3$, tìm min của: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

Cả 2 bài toán này sử dụng BĐT vector ra rất đẹp.
1/ Biến đổi trong căn thành $\left(x+\dfrac{y}{2} \right)^2 + \left(\sqrt{3}{\dfrac{y}{2}} \right)^2$, tương tự cho 2 căn thức kia.
Đặt $\vec{u} =\left(x+ \dfrac{y}{2} ; \dfrac{y \sqrt{3} }{2} \right)$
Tương tự cho $\vec{v}$ và $\vec{w}$ .
Suy ra vetor tổng 3 vector.
Dùng BDT vector với độ dài tổng 3 vector lớn hơn hoặc bằng độ dài vector tổng.
=> ycdb $\ge 3 \sqrt{3}$
2/ Biến đổi điều kiện thành $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Biết đổi trong căn thành $\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}$
Tương tự như 2 căn thức kia.
Đặt $\vec{ u}=\left(\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{a} \right)$
Tương tự cho 2 vector v và w
Dùng BDT tương tự như trên ta suy ra kết quả.

Giúp đỡ mình với:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
$y=(cosx)^{ \dfrac{1}4}+\sqrt{sinx}$
Ai giải dc thanks nhìu!!

Đặt điều kiện hàm có nghĩa. Sau đó, xét hàm số trên đoạn từ 0 đến pi/2.
Lấy đạo hàm của y, sao đó cho y'=0, lập bảng biến thiên trên đoạn từ 0 đến pi/2.
Tìm khoảng tăng giảm của y => GTLN và GTNN trong khoảng đó.
lấy nghiệm đó cộng với k.2.pi thì ra kết quả. Thân.
Còn nếu ko sử dụng đạo hàm thì lên tiếng nhe. Mình sẽ giả bằng cách khác.

aj bjx làm dùm e pài này với


em ko bjx cách làm pài này pro nào giúp em với

Bất phương trình mà ko cho biết là dấu lớn hay dấu bé thì làm sao giải được, coi lại nhe.

cho mình hỏi bài này:hàm số sau có tồn tại đạo hàm ko $|x-2|^{5.cosx}$

Vì TXĐ của hàm số này là x thuộc R (tự chứng minh thử nhe) nên hàm số này có đạo hàm.
Tuy nhiên, mình không thể lấy đạo hàm của u(x)^{v(x)} nên mình giải theo cách này.
Đặt y=$|x-2|^{5.cosx}$ (1).
lấy ln 2 vế của (1) , ta có lny=ln$|x-2|^{5.cosx}$.
<=>lny=5cosxln|x-2| (2).
Lấy đạo hàm 2 vế của (2), ta có:
y'/y=[u(x).v(x)]'
=>y'=y.[u(x).v(x)]'=$|x-2|^{5.cosx}$.[u(x).v(x)]'
Hướng dẫn tới đó rồi tự tính nhe, nó tương tự như bài đạo hàm của x^x.
Lúc trước học nghe thầy nói có thể giải được tất cả các bài đạo hàm của hàm số còn tích phân thì ko dễ tí nào.

Bạn nào giải thích giùm mình với: Cho f(x) là tam thức bậc hai, tại sao bất phương trình f(x) 0 , x R { $\Delta \geq 0$và hệ số a>0} ? .Bạn chỉ cần giải thích tại sao ở delta lại thêm dấu bằng và tại sao lại không xét trường hợp delta >0. Cám ơn trước nha !
Mình hỏi câu này vì nó liên quan nhiều tới bài toán: tìm tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R.

Cái bất phương trình f(x)>=0 với mọi x thuộc R thì hình như ko phải chứng minh bằng cách đó mà phải chứng minh là delta<=0 và a>0.
Nếu a<0 thì f( )=- (tính lim của f(x) thì thấy hoặc nhớ lại dạng đồ thị của hàm bậc 2 với a<0), như vậy, với a<0 thì f(x) sẽ có khoảng âm.
Với a>0, bây giờ ta xét delta.
Nếu delta>0 thì hàm số có 2 nghiệm phân biệt là ranh giới giữa 2 khoảng âm và dương của f(x) cho nên f(x) không thể luôn dương với mọi x thuộc R (hình dung lại bảng biến thiên và đồ thị của hàm bậc 2 sẽ thấy ngay).
Nếu delta<0 thì f(x) cùng dấu với a (trong trường hợp này là luôn dương vì a>0) nên f(x)>0 với mọi x thuộc R.
Còn trường hợp delta=0 thì hàm sô có dạng (Mx+N)^2, tức là f(x)=0 tại x=-N/M và với mọi x thuộc R\{-M/N) thì f(x) luôn dương (hàm A^2 mà).
Bởi vậy, trong bài toán này nếu đề cho f(x)>=0 thì delta>=0, nếu đề cho f(x)>0 thì delta>0. Chỉ có vậy thôi.

Các bác cho em hỏi chút:
Với bài như thế này thì làm thế nào cho đúng:
$y = \dfrac{ x^{2} - mx +2m -1}{x - 2} $ nb trên đoạn có độ dài bằng 2

Đạo hàm của HS trên là 1 phân thức có tử thức là 1 tam thức bậc 2, mẫu là bình phương.
GS Tam thức bậc 2 có 2 nghiệm $x_1, x_2$ vậy thì ycbt <=>$ |x_2 -x_1| = 2$ hay
ycbt <=> $ |x2 -x1| >= 2$

Sao ko tính cái đạo hàm đó ra luôn ? Vì tam thức trên tử của y' có hệ số a=1 nên hàm đồng biến trên 2 khoảng lớn và nghịch biến trên 1 khoảng nhỏ, khoảng nghịch biến đó là x1<x<x2.
Vì mọi người đều thống nhất cho x1<x2 nên ycdb <=> x2-x1=2 (ko có trị tuyệt đối).
Tới đây thì tự giải được rồi heng.
Thân!

Giúp em con Hàm Số này với

TXĐ: D=R\{2}
y'= :frac{-1}{ (x-2)^{2} }.
M( x_{M} ; :frac{2 x_{M} -3}{ x_{M} -2} ).
I(2;2)
Gọi (d) là tiếp tuyến của © tại điểm M.
Suy ra (d) có dạng: y= y'_{M} (x- x_{M} )+ y_{M} =:frac{-1}{ ( x_{M} -2)^{2} }.(x- x_{M} )+:frac{2 x_{M} -3}{ x_{M} -2}.
Vì IAB luôn vuông tại I nên AB là đường kính IAB.
Vậy, theo đề bài => tìm AB min. Mà AB min khi d[I;(d)]min, tức là IM (d).
Tới đây giải được rồi heng.
Nếu hướng giải của mình sai thì mong mọi người chỉnh giùm heng.
ui, sao viết ko ra được vậy, huhu

Hôm qua đi học hè thấy giáo cho bài tập tình đạo hàm của $ x\sqrt{x} $. mình làm thế này bị thầy bảo sai, dưng mà hết giờ ko kịp hỏi:
$ (x\sqrt{x})'=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x} $
hàm số có đạo hàm trên I =(0, + )

Đương nhiên là sai rồi!
Với u(x).v(x) thì mới áp dụng công thức đó được.
Còn (x.sqrtx) thì tính bằng x^a.
Cụ thể: x.sqrt(x)=x^(3/2)
=>[x^(3/2)]'=(3/2).x^(3/2-1)=[3.x^(1/2)]/2=[3.sqrt(x)]/2.
Cùng kết quả nhưng áp dụng sai công thức, với lại sqrt{x} ở dưới mẫu thì không lấy chia được vì có trường hợp x=0 trong TXĐ.

Bài này chỉ cần đặt x=$\dfrac{1}{cost} $là xong

Được mà, dx=-sint/(cost)^2dt.
Trong căn là (tant)^2=> mất căn.
Tích phân có dạng -{(sint)^2/(cost)3}dt
Tử mẫu nhân cho cost, biến đổi dưới mẫu về sint sau đó đặt sint=u, ra dạng hàm hữu tỉ bậc 2/bình phương 1 tổng bậc 2.
Tới đây tự giải nhe.

Bạn dùng công thức t=tan(x/2) xem sao.
Theo mình thấy nó ra cái mẫu đến mũ 10, làm chắc lòi con mắt quá. Để chép đề lại, mai mốt xem sau.
P/S: cách của bạn gì đó giải mình hok hiểu gì hết. Mình theo chuyên ngành khác nên hok có học.

2 bài này là đề ôn mà thầy cho mình về nhà nhưng không giải, vậy đề này chưa đủ cho chương trình đại học à ??? ( thank bạn nha )

Không phải là chưa đủ, mà đề này quá thủ công, làm tốn thời gian, ít tư duy. Đề thi hiện nay theo xu hướng ngược lại, biết hướng giải hoặc xử lý khéo léo sẽ ra nhanh gọn, còn ko thì bí lù.
Ví dụ như tính tích phân sin(x-pi/4)/(sinx+cosx)^2.
Giải thử đi, đề 2007 hay 2008 đó.

Nhờ các bạn tìm hộ mình nguyên hàm của 2 bải sau :
a) { x^{2}-1 }/{( x^{2}+5x+1).( x^{2}-3x+1) }
b) { x^{6}+ x^{5}+ x^{4} +2 }/{ x^{6}+1 }

thank các bạn trước nha

Những bài toán thế này, ko nên lao theo làm gì nếu muốn thi đại học, còn muốn giải cho vui thì ok.
Câu a: Phân tích thành:
(Ax+B)/(x^2+5x+1)+(Cx+D)/(x^2-3x+1). (I)+(II)
Mẫu của (I) và (II) đều có nghiệm cho nên có thể khéo léo tách thành 4 tích phân có dạng: M/(x+N).
b/ Tách thành 3 tích phân: (x^6+1)/(x^6+1) + x^5/(x^6+1) + (x^4+1)/(x^6+1). (I)+(II)+(III).
(II) có dạng u'/u.
(III): mẫu=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=>(III)=(Ax+B)/(x^2+1)+(Cx^3+Dx^2+Ex+F)/(x^4-x^2+1). (IV)+(V).
(IV)=Ax/(mẫu)+B/(mẫu). (VI)+(VII)
(VI) có dạng u'/u.
(VII) đặt x=tant => tích phân của dt (đáp án này phải dùng arctanx, ko có học trong chương trình phổ thôi).
Cái (V) này giải ra cụ thể mới biết được, đôi khi có 1 số biến trong C,D,E,F=0 nên tùy bài mà giải.
Như tổng của x^3 và x tạo thành dạng u' => tích phân u'/u
Tổng x^2 và số thì lấy chia trên dưới cho x^2. Mẫu đưa về dạng (x+1/x)^2-H, tử có dạng 1-1/x^2 hoặc (x-1/x)^2-H và tử 1+1/x^2) tức là đưa về dạng dt/(t^2-H) hoặc dt/(t^2+H) (giải như (VII)).
Bạn làm cụ thể nhe, mình làm biếng tính cụ thể lắm.

Đề bài: Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S),viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S). Các bạn chú ý là (d) và (S) không cắt nhau.

M có tọa độ là (x;y;z) tức là có 3 ẩn lận bạn L_E giải bằng 2 pt là ko ổn.
Gọi (P) là pt mp qua I và vuông góc với đt (d). Gọi N là giao điểm của đt (d) và mp (P). Suy ra N, I, M, M' đồng phẳng (trong đó M và M' là tiếp điểm của (d) và (S) và cùng thuộc mp (P) (thực tế là vậy còn có định lý gì nói hay ko thì mình ko nhớ, cách chứng minh thì cũng ko nhớ nốt).
Vậy tìm tọa độ điểm M bằng hệ gồm: $NI^2=IM^2+MN^2 (1)$; M thuộc mặt cầu (S) (2); M thuộc mp (P) (3). Thực tế thì do sẽ tìm được luôn điểm M' trong hệ pt trên.
Từ M và đt (d) suy ra được mp cần tìm. Tương tự với M'
Nhưng làm cách này hình như hơi bị "chua" vì có 2 pt bậc 2 lận.
P/S:chẹp, vậy là mình type lại bài của L_E mà ko biết.
Bạn vampire ơi, tìm được M mà ko tìm được mp thì giống như tới vạch đích mà ko chịu chạy qua. Đây là bài toán viết pt mp chứ đt (d) và điểm M ko thuộc (d) thôi mà. Vtpt của mp cần tìm là tích có hướng của MN và vtcp của (d). Lấy thêm 1 điểm M hoặc N là viết được ptmp rồi !

Mình chỉ nêu gợi ý thôi nhe, còn tính toán chi tiết thì xiqaj tự làm thử nhe.
Câu 5: CM giao nhau thì chỉ cần giải hệ pt (E) và (P) là ra rồi. Còn CM 4 điểm nằm trên cùng 1 đtròn thì viết pt đtròn đi qua 3 điểm và CM điểm còn lại thuộc đường tròn đó là xong.
Câu 6: Tổng các bình phương độ dài là nhỏ nhất khi M nằm trên đường thẳng trung trực của tam giác ABC. Muốn viết đt này ta cần tìm I (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC). Sau đó dựng đt với vtcp là vtpt của mp(ABC) và điểm I tìm được.
Giao giữa đt này và mp (P) là điểm M cần tìm.
Lưu ý là cần phải CM tổng bình phương nhỏ nhất khi MA=MB=MC.

Trong hình học phẳng, góc tạo bởi 2 đường thẳng thì từ 0 độ đến 90 độ. Góc của 1 đường thẳng là 180 độ (tức là góc của 2 đường thẳng trùng nhau). Góc của 1 điểm là 360 độ.
Trong hình học không gian. Góc tạo bởi 2 đt hay 2 mp cũng như giữa đường thẳng và mặt phẳng là từ 0 độ đến 90 độ.
1/ Mình hỏi 1 cái là những điều mình đã nêu có đúng hay chưa? Sai chỗ nào thì chỉ giùm mình, còn nếu bạn thấy chưa rõ thì bạn có thể giải thích thêm dùm mình. Còn thắc mắc gì thì cứ nêu ra, mọi người sẽ cùng giải quyết (mình đang hỏi nên cũng ko chắc lắm.
2/ Mình thắc mắc là, trong hình học phẳng có góc của 1 đường thẳng và góc của điểm. Vậy thì góc của đường thẳng trong không gian là bao nhiêu độ? (Vì mình thấy, nếu từ 1 điểm trên đường thẳng, mình xoay theo 1 mp chứa đt thì đt đó có góc là 180 độ. Còn nếu xoay theo 1 mp vuông góc vơi đt thì góc này là 360 độ vì nó tạo thành 1 đường tròn. Vậy thì góc của đt là 180 độ hay 360 độ ?
1 câu hỏi nữa là, có tồn tại khái niệm góc của 1 điểm trong không gian hay ko? Nếu có thì bằng bao nhiêu độ ?
Ai biết help giùm mình nhe, thắc mắc lâu rồi mà hok biết hỏi ai.