Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


vo van duc nội dung

Có 30 mục bởi vo van duc (Tìm giới hạn từ 16-09-2015)



Sắp theo                Sắp xếp  

#706577 Tính lũy thừa ma trận cấp 2 có các phần tử là hàm lượng giác

Đã gửi bởi vo van duc on 21-04-2018 - 10:43 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Em không hiểu lắm về đoạn này, lúc khai triển ra đâu có được $B^{2}=I$ $B^{3}=B$  đâu ạ??

Bạn hãy đặt bút tính đi! Rồi sẽ tự ngộ ra thôi. :D




#692657 Tìm giới hạn bằng vô cùng bé tương đương

Đã gửi bởi vo van duc on 08-09-2017 - 22:49 trong Giải tích

Anh ơi, em nghĩ là không được thay tương đuongw trong tông hiệu chứ nhỉ?

 

Việc thay VCB cho tổng hoặc hiệu là có thể làm được.

 

Tuy nhiên, phải hết sức thận trọng. Vì vậy mà có thầy nói không được thay VCB cho tổng và hiệu.

 

Cụ thể dưới đây là một số tổng kết của mình về vấn đề này rút ra từ các tài liệu chính là: Giải tích 1 - Jean Marie Monier và Phép tính vi tích phân - Phan Quốc Khánh.

 

Screenshot_2.png

Trở lại bài toán của mình thì có thể áp dụng toàn bộ bằng cách thay VCB tương đương như sau:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin 5x+x^2}{4x+\arcsin^2x+x^2}\overset{(1)}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin5x}{4x}\overset{(2)}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-5x}{4x}=-1$$

$(1)$: ta ngắt bỏ các vô cùng bé bậc cao (định lý 5.2.2 trong hình)

 

$(2)$: $x$ và $\sin5x$ là các vô cùng bé cùng bậc, không tương đương với nhau nên không vi phạm lưu ý thứ nhất trong hình, nên thay tương đương được.

 

Tất nhiên sau khi thực hiện xong bước 1 thì có thể lựa chọn cách khác (ví dụ như chia tử và mẫu cho x để đưa về giới hạn cơ bản) và không đụng chạm gì tới nội dung có phần hơi phức tạp như tôi vừa trình bày.




#661632 Phương trình ma trận

Đã gửi bởi vo van duc on 12-11-2016 - 13:19 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Đặt $A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\ 4 & -3 & 3\\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$  và $B=\begin{pmatrix} 3 & 9 & 7\\ 1 & 11 & 7\\ 7 & 5 & 7 \end{pmatrix}$. Khi đó phương trình của mình sẽ có dạng $A.X=B$    (1).

 

Nếu $A$ khả nghịch (tức là $\det A\neq 0$) thì phương trình có nghiệm $X=A^{-1}.B$. Đây là cách làm đơn giản và nhanh chóng vì $A^{-1}$ có thể bấm máy tính ra kết quả.

 

Tuy nhiên, ở bài này thì $\det A=0$ nên ta không làm vậy được. Tiếp tục tính thử $\det B$, nếu $\det B\neq 0$ thì kết luận ngay là không có ma trận $X$ thỏa phương trình vì khi đó nếu lấy định thức hai vế phương trình (1) thì $0.\det X=\det B\neq 0$ là điều vô lý.

 

Ở bài toán của mình thì $\det B=0$ nên có thể có ma trận X thỏa phương trình (1).

Ta đặt $X=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & k \end{pmatrix}$. Khi đó $$(1)\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\ 4 & -3 & 3\\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 9 & 7\\ 1 & 11 & 7\\ 7 & 5 & 7 \end{pmatrix}$$ $$ \Leftrightarrow \begin{pmatrix}3a-d+2g & 3b-e+2h & 3c-f+2k\\4a-3d+3g & 4b-3e+3h & 4c-3f+3k \\a+3d& b+3e & c+3f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 9 & 7\\ 1 & 11 & 7\\ 7 & 5 & 7 \end{pmatrix}$$ Xét hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} 3a-d+2g=3\\ 4a-3d+3g=1\\ a+3d =7 \end{matrix}\right.$$ Hệ phương trình này vô nghiệm vì $r(A)=2\neq r(\overline{A})=3$. Vậy kết luận không có ma trận X thỏa mãn phương trình (1).




#650183 Hỏi cách tính trị riêng ma trận cấp 3

Đã gửi bởi vo van duc on 18-08-2016 - 08:54 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Theo định nghĩa thì đa thức đặc trưng của ma trận $A$ được xác định bằng $p(x)=\det(A-xI)$ (ở đây tôi biểu diễn theo biến $x$ giống như bạn, trong nhiều tài liệu khác thì có thể ký hiệu theo biến khác, ví dụ như $\lambda$) và trị riêng là nghiệm của phương trình $p(x)=0$.

 

Như vậy, việc tìm đa thức đặc trưng là đi tính định thức. Em đã học cách tính định thức như thế nào thì cứ thế mà áp dụng thôi. Ở đây tôi sẽ tính cái mà em đang gặp khó khăn ở trên.

Cách 1: Khai triển theo hàng hoặc cột (ở đây tôi khai triển theo hàng 1).

$\begin{align*}p(x)&=\begin{vmatrix}1-x & -3 & 3\\ 3 & 5-x & 3\\ 5 & -6 & 4-x \end{vmatrix}\\ &=(-1)^{1+1}(1-x)\begin{vmatrix} 5-x & 3\\ -6 & 4-x\end{vmatrix}+(-1)^{1+2}(-3)\begin{vmatrix} 3 & 3\\ 5 & 4-x\end{vmatrix}+(-1)^{1+3}(3)\begin{vmatrix} 3 & 5-x\\ 5 & -6\end{vmatrix}\\ &=(1-x)\left [ (5-x)(4-x)+18 \right ]+3.\left [ 3(4-x)-15 \right ]+3.\left [ -18-5(5-x)\right ]\\ &=...\end{align*}$

 

Cách 2: Áp dụng quy tắc Sarrus.

$\begin{align*}p(x)&=\begin{vmatrix}1-x & -3 & 3\\ 3 & 5-x & 3\\ 5 & -6 & 4-x \end{vmatrix}\\ &=\left [ (1-x)(5-x)(4-x)+(-3).3.5+3.3.(-6) \right ]-\left [ 3.(5-x).5+(1-x).3.(-6)+(-3).3.(4-x) \right ]\\ &=...\end{align*}$

 

Việc tiếp theo là em khai triển và rút gọn đa thức ấy ra. Tính toán cẩn thận xíu nha em!  :D




#648450 Phương trình chính tắc của elip $(E)$

Đã gửi bởi vo van duc on 07-08-2016 - 20:05 trong Dành cho giáo viên các cấp

Không biết tới hôm nay Tuấn Anh đã khẳng định điều này chưa em?




#642080 Biện luận hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn

Đã gửi bởi vo van duc on 25-06-2016 - 08:39 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x_1-2x_2+x_3+2x_4=m\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2m+1\\ x_1-7x_2-5x_3-x_4=-m \end{matrix}\right.$

Xét ma trận hệ số bổ sung

$\overline{A}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 1 & 1 & -1 & 1 & \vdots & 2m+1\\ 1 & -7 & -5 & -1 & \vdots & -m \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[h_3-h_1\rightarrow h_3]{h_2-h_1\rightarrow h_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 0 & 3 & -2 & -1 & \vdots & m+1\\ 0 & -5 & -6 & -3 & \vdots & -2m \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[\quad]{3h_3+5h_2\rightarrow h_3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 0 & 3 & -2 & -1 & \vdots & m+1\\ 0 & -5 & -6 & -3 & \vdots & -2m \end{pmatrix}$

Suy ra: $r(\overline{A})=r(A)=3<4, \forall m\in \mathbb{R}$

 

Hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$. Khi đó, hệ phương trình trở thành

 

$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & 2x_2 &+& x_3 &+& 2x_4 & =& m\\   & & 3x_2 &-& 2x_3 &-& x_4 & =& m+1\\  & & & & 28x_3 &+& 14x_4 & =& m-1\end{matrix}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} x_1 &=& -\frac{3}{2}t &+& \frac{17}{18} &+& \frac{47}{28}m\\ x_2 &=& & & \frac{3}{14} &+& \frac{5}{14}m\\ x_3 &=& -\frac{1}{2}t &-& \frac{5}{28} &+& \frac{1}{28}m \\ x_4 &=& t & & & & \end{matrix}\right. \qquad t\in \mathbb{R}$

 

PS: Chỉ là một cách trình bày khác Đạt thôi! Tôi đoán bạn không phải sinh viên ngành toán nên có thể cách trình bày của Đạt làm bạn khó khăn nên đưa ra thêm bài trình bày này. Bài thứ hai thì phương pháp cũng tương tự.




#604339 Tuyển tập Bộ 3 câu phân loại trong các đề thi thử THPT Quốc gia 2015 môn toán

Đã gửi bởi vo van duc on 21-12-2015 - 08:58 trong Thi TS ĐH

Thiệt tình là hơi bất ngờ khi VMF phát hành Tuyển tập này! :D Sách dành cho học sinh khá giỏi thì không cần quá nhiều ví dụ và lời giải cho dày ơi là dày như ngoài thị trường. Chỉ cần có tính hệ thống và ví dụ hay, điển hình, có tính sư phạm cao (em vẫn hay gọi là ví dụ kinh điển :D ) và tài liệu của mình có đáp ứng được khá nhiều phần tiêu chí ấy!

 

Hình như còn thiếu mấy phần chưa hoàn tất phải không ạ!

 

Em biết việc viết sách là rất khó và lỗi là không thể tránh được. Nên em góp ý thêm là sau này diễn đàn phát hành tài liệu thì nên nhờ hệ thống ĐHV đọc và kiểm tra lỗi trước khi phát hành. Chứ phát hành ra mà có nhiều lỗi quá thì cũng không ổn lắm và chắc hẳn những người tìm sạn (ngoại trừ các ý kiến góp ý) chắc hẳn cũng làm nhọc tâm các thầy đã dốc tâm sức cho nó!

 

PS: Thầy Hùng có thể hướng dẫn hay cho em xin cái file làm sách bằng latex không ạ! :D Muốn biên tập lại bộ bài giảng bằng latex mà khó quá!




#603111 Đề thi Olympic Toán Sinh viên cấp trường ĐH Giao thông Vận tải TP HCM năm 201...

Đã gửi bởi vo van duc on 14-12-2015 - 09:17 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

 

Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

a) Tính $A^{2015}$.

b) Chứng minh rằng tập $W=\left \{ B \in M_3[\mathbb{R}]:AB=BA \right \}$, (trong đó $M_3[\mathbb{R}]$ là tập các ma trận vuông cấp 3 với các phần tử thực) là một không gian véc tơ con của $M_3[\mathbb{R}]$. Tìm một cơ sở và số chiều của $W$.

 

Câu 3: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -a-1 & a & a+1\\ -a & a & a+1 \end{pmatrix}\in M_3[\mathbb{R}]$, với $a\in \mathbb{R}$ tùy ý.

a) Chứng tỏ rằng $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{R}$. Chỉ ra một ma trận làm chéo hóa $A$.

b) Áp dụng kết quả câu a), hãy tính $A^{100}$.

 

Câu 4: Cho $A$, $B$ là hai ma trận vuông khả nghịch trong $M_n[\mathbb{R}]$, $n \geq 2$, thỏa phương trình $AB+BA=O$.

a) Chứng minh $n$ là số nguyên chẵn.

b) Cho ví dụ cụ thể với $n=2$.

 

Câu 5: Cho ánh xạ $f:\mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ xác định bởi $$f(P(x))=(x+1)(x+3)P'(x)-xP(x)$$ với mọi $P(x)\in \mathbb{R}[x]$. Trong đó $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thực có hệ số thực.

a) Chứng minh rằng $f$ là ánh xạ tuyến tinh trên $\mathbb{R}[x]$.

b) Chứng minh rằng các véc tơ riêng của $f$ đều là các đa thức bậc 1. Từ đó hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của $f$.

 

Câu 6: Cho $K=\left \{ x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{Z}^3:i=1,...,9 \right \}$ là tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có tọa độ nguyên trong không gian Oxyz. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm $K$ có tọa độ nguyên.

 



#601847 $A^{2}+B^{2}=AB$

Đã gửi bởi vo van duc on 06-12-2015 - 03:12 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Tôi viết sai! Cảm ơn bạn đã phát hiện!



#601722 $A^{2}+B^{2}=AB$

Đã gửi bởi vo van duc on 05-12-2015 - 13:34 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

 

$$\det (S.\bar{S})=\det S.\det \bar{S}=|\det S|^2$$ chứ nhỉ?

 

Ký hiệu $|\det S|$ là mô đun của số phức $\det S$.




#599681 CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị

Đã gửi bởi vo van duc on 23-11-2015 - 12:30 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Mình dùng điện thoại nên không gõ rõ chứng mình ra được nhưng ý là thế này :
Gọi C là tập tất cả các ma trận vuông n x n mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ có đúng 1 số 1 còn lại toàn 0. Ta thấy $|C|=n!$. Bằng phép nhân ma trận thông thường, ta thấy rằng 2 phần tử thuộc $C$ nhân với nhau lại là 1 phần tử thuộc $C$. Vậy nên $\{A^{i}\}^{n^n}_{i=1}$ là tập con của $C$ nhưng $n^n>n!$ nên tồn tại 2 phần tử $A^m=A^p$ với $n^n\geq m>p\geq 0$ từ đó suy ra $(A^{m-p}-E)A^{k}=0$ (với E là ma trận đơn vị) hay $A^{m-p}=E$

 

Giải thích chỗ màu đỏ kỹ hơn được ko Đạt? :)




#598231 Tính định thức$\begin{vmatrix}3& 2 & & \\ 1...

Đã gửi bởi vo van duc on 14-11-2015 - 04:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Xin lỗi bạn @ducchang vì hôm bữa sửa tiêu đề cho chủ đề này tôi đã bỏ mất một phần câu hỏi của bạn!

Câu hỏi của bạn là "Truy toán là gì? Hãy tính định thức trên bằng truy toán".

Bạn có thể tham khảo thêm tại liên kết bên dưới!

diendantoanhoc.net/topic/84035-tinh-dịnh-thức-cấp-n-va-mẹo-lam-bai/



#597966 $A^{2}+B^{2}=AB$

Đã gửi bởi vo van duc on 12-11-2015 - 12:23 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$
Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

Đề bài ko nói rõ ma trận $A$ và $B$ là thực hay phức thì ta hiểu ngầm đó là ma trận thực Đạt à!

Sau đây, xin chia sẽ lời giải bài toán tôi sưu tầm!

Đặt $$S=A+\omega B$$ với $\omega =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $$\bar{S}=A+\bar{\omega}B$$ Ta có $$S.\bar{S}=\omega(BA-AB)$$ vì $$\bar{\omega}=-\omega-1$$.
Suy ra $$\det (S.\bar{S})=\omega ^n\det (BA-AB)$$ Mà $$\det (S.\bar{S})=\det S.\det \bar{S}=|\det S|^2$$ là một số thực và $\det (BA-AB)\neq 0$ nên $$\omega ^n=\frac{|\det S|^2}{\det (BA-AB)}$$ là một số thực.
Mặc khác $$\omega ^n=\cos \frac{2n\pi}{3}+i\sin \frac{2n\pi}{3}$$ Suy ra $n$ là bội số của 3.

Ps: Bạn vanchanh123 đã phát hiện một chỗ sai và tôi đã sửa lại.



#596217 chứng minh hệ vescto là độc lập tuyến tính

Đã gửi bởi vo van duc on 31-10-2015 - 10:50 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Ta chứng minh hai ý sau:
(1) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ độc lập tuyến tính.

Giả sử với $\lambda _1,\lambda _2,\ldots , \lambda _n\in \mathbb{R}$ ta có quan hệ tuyến tính
$$\begin{matrix} & \lambda _1v_1+\lambda _2v_2+\cdots +\lambda _nv_n=0 \\ \Leftrightarrow & \lambda _1a_{11}u_1+\lambda _2(a_{21}u_1+a_{22}u_2)+\cdots +\lambda _n(a_{n1}u_1+\cdots +a_{nn}u_n)=0 \\ \Leftrightarrow & (\lambda _1a_{11}+\cdots+\lambda _na_{n1})u_1+(\lambda _2a_{22}+\cdots +\lambda _na_{n2})u_2 +\cdots +\lambda _na_{nn}u_n=0 \end{matrix}$$ Ta có hệ các véc tơ $u_1,u_2,\ldots ,u_n$ độc lập tuyến tính, suy ra $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}\lambda _1 & + & a_{21}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n1}\lambda _n & = & 0 \\ & & a_{22}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n2}\lambda _n & = & 0 \\ & & & & \ddots & & \vdots & & \\ & & & & & & a_{nn}\lambda _n & = & 0 \end{matrix} \right.$$ Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ phương trình có định thức khác không nên có nghiệm tầm thường $\lambda _1= \lambda _2=\cdots =\lambda _n=0$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ độc lập tuyến tính.

(2) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ít nhất một số $a_{ii}=0$. Giả sử $i$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $a_{ii}=0,1\leq i\leq n$. Khi đó


$u_1$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1$
$u_2$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2$
$\ldots $
$u_{i-1}$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2,\ldots, v_{i-1}$


Vì $a_{ii}=0$ nên từ phương trình thứ $i$ của hệ điều kiện trong giả thiết ta có $$v_i= a_{i1}u_1+a_{i2}u_2+\cdots +a_{i,i-1}u_{i-1}\quad (*)$$
Thay các biểu thị tuyến tính trên vào $(*)$ ta có một biểu thị tuyến tính của $v_i$ theo các véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i-1}$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i}$ phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính nên phụ thuộc tuyến tính.

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.



#570721 Tính thể tích khối nón.

Đã gửi bởi vo van duc on 09-07-2015 - 12:50 trong Hình học không gian

Tính thể tích của một khối nón biết rằng: ta có thể xếp n hình cầu bằng nhau có bán kính R sao cho mỗi hình cầu tiếp xúc với hai hình cầu kế bên nó, tiếp xúc với mặt bên, mặt đáy của hình nón và nằm phía trong hình nón; đồng thời ta cũng có thể xếp n hình cầu bằng nhau khác có bán kính 2R với cách xếp tương tự nhưng nằm phía ngoài hình nón.




#546257 Bài tập xác suất thống kê

Đã gửi bởi vo van duc on 26-02-2015 - 08:04 trong Xác suất - Thống kê

$\textbf{Câu 1:}$

Tác giả không nói rõ là dãy ghế có bao nhiêu ghế nhưng ta có thể hiểu ngầm là ta xếp $20$ người ấy vào $20$ ghế.

Số cách sắp xếp ngẫu nhiên $20$ người vào $20$ ghế là $20!$

Số cách chọn $2$ ghế trong dãy ghế sao cho hai ghế ấy cách nhau $3$ ghế là $16$ cách (chúng ta có thể vẽ hình và đếm thủ công)

Hai người xác định ấy có thể đổi chổ cho nhau nên số cách xếp hai người này là $16.2=32$ cách

Số cách xếp $18$ người còn lại vào $18$ ghế còn lại là $18!$

Vậy, xác suất để hai người xác định cách nhau $3$ người là $$\frac{32.18!}{20!}=\frac{8}{95}$$



#545849 lập bảng phân phối xác suất của chính phẩm được lấy ra ở lần 2

Đã gửi bởi vo van duc on 24-02-2015 - 13:16 trong Xác suất - Thống kê

Bài này đã từng được giải đáp trên diễn đàn. Bạn tham khảo tại đây nha!

http://diendantoanho...-phối-xác-suất/



#544122 Tính hạng ma trận theo x.

Đã gửi bởi vo van duc on 14-02-2015 - 12:10 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

$\textbf{Viết lại đê bài:}$
Tìm hạng ma trận $A$ theo $x$ với $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x & x & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$\textbf{Nhận xét bài làm của bạn}$

1) Cần phân biệt hai ma trận bằng nhau (các phần tử ở vị trí tương ứng là bằng nhau) với hai ma trận tương đương hàng (ma trận này là kết quả của ma trân kia qua một phép biến đổi sơ cấp) để viết dấu "bằng" $(=)$ và "dấu mũi tên" $(\to)$ cho chính xác.

2) Phải phân biệt ma trận (là một bảng số) với định thức (là một số) để không viết sai dấu bằng như trong bài làm. Một ma trận không bằng một số.

3) Về phương pháp thì bạn cũng chưa có con đường rõ ràng.

Giữa hạng và định thức của ma trận vuông có quan hệ như sau: "Với ma trận $A$ vuông cấp $n$, nếu $\det A \neq 0$ thì $r(A)=n$, ngược lại nếu $\det A=0$ thì $r(A)<n$"

Như vậy, khi $\det A=0$ ta không thể xác định hạng của ma trận $A$. Phương pháp tính định thức chỉ nên áp dụng để xét tính khả nghịch.

Với bài toán xác định hạng của ma trận (vuông hay không vuông, có hay không có tham số) thì ta sử dụng phương pháp chung là biến dổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận $A$ về ma trận bậc thang.

Tôi xin viết lại lời giải của mình như sau:

Với $x=0$, dễ dàng tìm được $r(A)=4$

Với $x\neq 0$, thực hiện các phép biến đổi $L_2-L_1\to L_2$, $L_3-L_1\to L_3$, $L_4-xL_1\to L_4$ ta có $$A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 1-x \end{pmatrix}$$Với $x=1$ thì $r(A)=1$

Với $x\neq 0$, $x\neq 1$, thực hiện phép biến đổi $L_3-L_2\to L_3$ có $$A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 1-x \end{pmatrix}$$biến đổi $L_4-L_3\to L_3$ ta được $$A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{pmatrix}$$suy ra $r(A)=4$

Kết luận: với $x=1$ thì r(A)=1, với $x\neq 1$ thì $r(A)=4$
..........................
Ps: Ký hiệu $L_1$ nghĩa là dòng (hàng) 1, tôi viết vậy để đồng nhất với ký hiệu của bạn.



#544090 Khảo sát sự hội tụ $\int_0^1 \frac{1}{\ln(...

Đã gửi bởi vo van duc on 14-02-2015 - 09:14 trong Giải tích

Em quên mất quy tắc "Ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao" thôi.
Khi $x\rightarrow 0$, ta có $$ \frac{1}{\ln(x+1+\sqrt{x^2+2x})} \sim \frac{1}{x+\sqrt{x^2+2x}} \sim \frac{1}{\sqrt{2x}}$$



#544085 Chứng minh PTTuyến Tính, ĐLTuyến Tính

Đã gửi bởi vo van duc on 14-02-2015 - 07:23 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

$\textbf{Chứng minh hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính}$
$\textbf{Phương pháp:}$ Theo định nghĩa thì ta chỉ cần chỉ ra một bộ số $\alpha _1, \alpha _2,\ldots ,\alpha _n$ không đồng thời bằng không thỏa mãn đẳng thức $$\alpha _1u_1+\alpha _2u_2+\cdots +\alpha _nu_n=0$$ thì kết luận hệ $\{ u_1, u_2, \ldots , u_n\}$ phụ thuộc tuyến tính.

Cụ thể, với bài toán của bạn, để chứng minh tập $$B=\{v_1=1,v_2=\cos 4x,v_3=\sin ^2 2x\}$$ phụ thuộc tuyến tính thì ta có $$2\sin ^22x =1-\cos 4x$$ $$\Leftrightarrow \quad 1.1-1.\cos 4x-2.\sin ^22x=0$$ $$\Leftrightarrow \quad 1.v_1-1.v_2-2.v_3=0$$Đẳng thức trên cho thấy tập $B$ phụ thuộc tuyến tính.



#544079 Chứng minh PTTuyến Tính, ĐLTuyến Tính

Đã gửi bởi vo van duc on 14-02-2015 - 07:03 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

$\textbf{1) Chứng minh hệ véc tơ độc lập tuyến tính}$
$\textbf{Phương pháp:}$ Trong không gian véc tơ $\textbf{V}$ trên trường $\mathbb{K}$, để chứng minh hệ véc tơ ${ u_1, u_2,... , u_n }$ độc lập tuyến tính thì theo định nghĩa, với các số $\alpha _1,\alpha _2,...\alpha _n \in \mathbb{K}$ ta chứng minh $$\alpha _1u_1+\alpha _2u_2+\cdots +\alpha _nu_n=0 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _1=\alpha _2=\cdots =\alpha _n=0$$Trong đó, chiều nghịch là hiển nhiên nên chúng ta chỉ cần chứng minh chiều thuận, tức là giả sử có quan hệ $$\alpha _1u_1+\alpha _2u_2+\cdots +\alpha _nu_n=0$$ từ đó ta chứng minh $$\alpha _1=\alpha _2=\cdots =\alpha _n$$Trở lại bài toán của bạn, chúng ta sẽ cụ thể hóa phương pháp chung này.

$\textbf{Đề bài:}$ Trong $\textbf{C}(\mathbb{R})$, chứng minh tập $A=\{ u_1=e^x, u_2=\sin x\}$ độc lập tuyến tính.

$\textbf{Lời giải:}$
Giả sử $$\alpha _1e^x+\alpha _2 \sin x=0 \qquad \forall \alpha _1, \alpha _2 \in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}$$Đẳng thức trên đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ nên đúng với các giá trị $x$ hữu hạn.

Với $x=0$, ta có $$\alpha _1=0 \qquad (1)$$Với $x=\frac{\pi}{2}$, ta có $$\alpha _1e^{\frac{\pi}{2}}+\alpha _2=0 \quad (2)$$Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\alpha _1 =\alpha _2=0$

Kết luận, tập $A$ độc lập tuyến tính
..................



#539973 Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của tập véctơ

Đã gửi bởi vo van duc on 07-01-2015 - 15:16 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của tập véctơ sau:

$S=${${ u=x+y-2z;v=x-y-z;w=x+z}$}

 

Đề chưa rõ ràng. Đề nghị bạn viết đầy đủ đề bài.




#536252 Tổ hợp tuyến tính

Đã gửi bởi vo van duc on 05-12-2014 - 08:48 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho e hỏi bài này làm ntn với ạ!

cho a(1;y;x), tìm x,y để a là tổ hợp tuyến tính của u(1;3;1), v(1;-1;1), w(3;1;3)

 

Xét tổ hợp tuyến tính $$a=\alpha _1u+\alpha _2v+\alpha _3w\qquad (*)$$

$$\Leftrightarrow \quad (1,y,x)=\alpha _1(1,3,1)+\alpha _2(1,-1,1)+\alpha _3(3,1,3)$$

$$\Leftrightarrow \quad (1,y,x)=(\alpha _1+\alpha _2+3\alpha _1,3\alpha _1-\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+3\alpha _3)$$

$$\Leftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \alpha _1+\alpha _2+3\alpha _3=1\\ 3\alpha _1-\alpha _2+\alpha _3=y\\ \alpha _1+\alpha _2+3\alpha _3=x \end{matrix}\right.$$

Như vậy, tổ hợp tuyến tính $(*)$ tương đương với một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn số $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3$. Để $a$ là tổ hợp tuyến tính của $u,v,w$ thì hệ phương trình tuyến tính trên phải có nghiệm $(\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3)$ khác không. Bây giờ ta tìm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính ấy có nghiệm khác không.

 

Xét ma trận hệ số bổ sung $$\overline{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1\\ 3 & -1 & 1 & | & y\\ 1 & 1 & 3 & | & x \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1\\ 0 & -4 & -8 & | & y-3\\ 0 & 0 & 0 & | & x-1 \end{pmatrix}$$

Suy ra, với $x=1$ và $\forall y\in \mathbb{R}$ thì $r(A)=r(\overline{A})=2< 3$ hệ phương trình có vô số nghiệm, tức là có nghiệm khác không.

 

Vậy, $x=1$ và $\forall y\in \mathbb{R}$ là điều kiện cần tìm.




#535990 Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta...

Đã gửi bởi vo van duc on 03-12-2014 - 07:45 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Tôi thiếu mất điều kiện $A$, $B$ giao hoán để có $$\det (A+B)=\det B$$



#535850 $AB=\begin{bmatrix} 1 &1 &2 \\ 2 &1...

Đã gửi bởi vo van duc on 02-12-2014 - 12:38 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Một bài với ý toán tương tự đã được thảo luận khá kỹ trên diễn đàn ta tại đây.