Đến nội dung

vo van duc nội dung

Có 17 mục bởi vo van duc (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#742465 Tìm ma trận giao hoán với $\begin{bmatrix} 2&-1 &0 \...

Đã gửi bởi vo van duc on 11-12-2023 - 00:52 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Tìm tất cả các ma trận giao hoán với ma trận A (Ma trận X được gọi là giao hoán với ma trận A nếu XA=AX)

A= $\begin{bmatrix} 2&-1 &0 \\ -1&2 &-1 \\ 0& -1& 2 \end{bmatrix}$

Giả sử $X=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$ là ma trận cần tìm.

 

Thực hiện tính toán $AX$ và $XA$. Từ $AX=XA$ ta suy ra ma trận cần tìm có dạng: $$X=\begin{pmatrix} \gamma & \alpha & \beta \\ \alpha & \beta+\gamma & \alpha \\ \beta & \alpha & \gamma \end{pmatrix}$$ với $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là các số thực tuỳ ý.




#742275 Mục lục các bài toán về định thức

Đã gửi bởi vo van duc on 28-11-2023 - 07:53 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Mỗi bài có đường link. Em hãy tham gia thảo luận.



#742211 $$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2...

Đã gửi bởi vo van duc on 24-11-2023 - 21:35 trong Tích phân - Nguyên hàm

 

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện: 
 
$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.
 
Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

 

 

Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?




#742210 CMR: $a+b+c \geq ab + bc + ac$.

Đã gửi bởi vo van duc on 24-11-2023 - 21:17 trong Bất đẳng thức và cực trị

Theo nguyên lí Đi-rich-lê thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ phải có hai số cùng dấu; giả sử là $a-1$ và $b-1$. Khi đó

\[c(a-1)(b-1)\ge 0\implies c\ge ac+bc-abc\implies a+b+c\ge a+b-abc+ac+bc.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[a+b-abc+ac+bc\ge ab+bc+ca\iff a+b\ge ab(c+1).\]

Mặt khác theo giả thiết thì $c\le \frac{4-ab}{a+b+ab}$ (ở đây đang xét $a^2+b^2\neq 0$), do đó ta cần chứng tỏ

\[a+b\ge ab\left(\frac{4-ab}{a+b+ab}+1\right)\iff \frac{(a-b)^2}{a+b+ab}\ge 0.\]

 

Với giả thiết bài toán thì mệnh đề "trong ba số $a-1$, $b-1$, $c-1$ phải có hai số cùng dấu" là chưa chặt. Vì nếu $a=b=1$ thì $a-1=b-1=0$, mà $0$ là số không âm, cũng không dương nên không thể nói $a-1$ và $b-1$ cùng dấu.

 

Thiết nghĩ, có thể xét 3 trường hợp:

TH1: $a=b=c=1$.

TH2: Trong ba số $a$, $b$, $c$ có hai số bằng 1, giả sử $a=b=1$.

TH3: Cả ba số $a$, $b$, $c$ đều khác 1.

TH1, TH2 thì dễ thấy đpcm; TH3 thì lời giải của bạn là trọn vẹn.




#741995 $lim\frac{n}{3^{n}-1}$

Đã gửi bởi vo van duc on 03-11-2023 - 21:39 trong Dãy số - Giới hạn

$lim\frac{n}{3^{n}-1}$

 

Em hãy thử với hướng đi dùng định lý kẹp.




#741924 Tìm giới hạn bằng vô cùng bé tương đương

Đã gửi bởi vo van duc on 30-10-2023 - 09:32 trong Giải tích

Cho e hỏi bài này với ạ
Tìm  $\underset{x\to 0}{\lim}\frac{e^{2x}-1}{x(x+2)}$.
E cảm ơn

 

$\underset{x\to 0}{\lim}\frac{e^{2x}-1}{x(x+2)}=\underset{x\to 0}{\lim}\frac{e^{2x}-1}{x^2+2x}=\underset{x\to 0}{\lim}\frac{2x}{2x}=1$

 

Trên tử thức, ta thay vô cùng bé tương đương; còn dưới mẫu thức, ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao $x^2$.




#741878 Tìm $m$ để vectơ $u=( 1, - 7 , 10, m)$ là tổ hợp tuyến tí...

Đã gửi bởi vo van duc on 28-10-2023 - 07:10 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

3. Tìm $m$ để vectơ $u=( 1, - 7 , 10, m)$ là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ $u_1, u_2$ với

$u_1 =( 1, - 3, 2, 1 ); u_2 = (- 3, 5, 2, 3)$

 

Xét tổ hợp tuyến tính: $$\begin{align*}u=\alpha_1u_1+\alpha_2u_2 &\Leftrightarrow (1;-7;10;m)=\alpha_1(1;-3;2;1)+\alpha_2(-3;5;2;3)\\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha_1-3\alpha_2=1\\ -3\alpha_1+5\alpha_2=-7\\ 2\alpha_1+2\alpha_2=10\\ \alpha_1+3\alpha_2=m \end{matrix}\right.\quad (*)\end{align*}$$

 

$u$ là tổ hợp tuyến tính của $u_1$ và $u_2$ khi và chỉ khi phương trình $(*)$ có nghiệm.

 

Bây giờ, em thực hiện tiếp các bước giải của bài toán "Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm" thôi.




#741877 $\begin{vmatrix} x & 2 & ... & n\\ 1& x...

Đã gửi bởi vo van duc on 28-10-2023 - 06:53 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

a) $\begin{vmatrix} x & 2 & 3 & ... & n\\ 1& x & 3 & ... & n\\ 1 & 2 & x &... & n\\ ... & ... & ... & ... & \\ 1 & 2 & 3 & ... & x \end{vmatrix}$

 

Gợi ý một hướng giải:

 

$$\begin{align*} D_n=\left | \begin{matrix} x & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 1 & x & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 1 & 2 & x & \cdots & n-1 & n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x & n\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & x \end{matrix} \right |&=\left | \begin{matrix} x & 2 & 3 & \cdots & n-1 & 0\\ 1 & x & 3 & \cdots & n-1 & 0\\ 1 & 2 & x & \cdots & n-1 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x & 0\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & x-n \end{matrix} \right |+\left | \begin{matrix} x & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 1 & x & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 1 & 2 & x & \cdots & n-1 & n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x & n\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \end{matrix} \right |\\ \\ &=(x-n)D_{n-1}+\left | \begin{matrix} x-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & x-2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & x-3 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-(n-1) & 0\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \end{matrix} \right |\\ \\ &=(x-n)D_{n-1}+n(x-1)(x-2)...[x-(n-1)] \end{align*}$$

 

Tới đây ta có biểu thức truy hồi và cứ tiếp tục sẽ ra kết quả. Việc còn lại là của em thôi.



#741701 Tính định thức $D_{n}=\begin{vmatrix}n&a&...&a\...

Đã gửi bởi vo van duc on 12-10-2023 - 23:13 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài 2: Bằng cách đổi chỗ

+ hàng $1$ và hàng $n$;

+ hàng $2$ và hàng $n-1$;

+ hàng $3$ và hàng $n-2$;

+ ....

ta được định thức như bài 1.

 

Với một lần đổi chỗ hai hàng thì định thức đổi dấu một lần, do đó, định thức đã đổi dấu $\left [ \dfrac{n}{2} \right ]$ lần.

 

Vậy, $E_n=(-1)^{\left [ \frac{n}{2} \right ]}D_n=(-1)^{\left [ \frac{n}{2} \right ]}.\left [ n+(n-1)a \right ].(n-a)^{n-1}$.

 




#741699 Tính định thức $D_{n}=\begin{vmatrix}n&a&...&a\...

Đã gửi bởi vo van duc on 12-10-2023 - 22:45 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài 1:

 

$$\begin{align*} D_n &=\left | \begin{matrix} n & a & a & \cdots & a \\ a & n & a & \cdots & a \\ a & a & n & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & n \end{matrix} \right | \\ &= \left | \begin{matrix} n+(n-1)a & a & a & \cdots & a \\ n+(n-1)a & n & a & \cdots & a \\ n+(n-1)a & a & n & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n+(n-1)a & a & a & \cdots & a \end{matrix} \right | \\ &= \left [ n+(n-1)a \right ].\left | \begin{matrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 1 & n & a & \cdots & a \\ 1 & a & n & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & a & a & \cdots & a \end{matrix} \right | \\ &=\left [ n+(n-1)a \right ].\left | \begin{matrix} 1 & a & a & \cdots & a \\ 0 & n-a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & n-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-a \end{matrix} \right | \\ &=\left [ n+(n-1)a \right ].(n-a)^{n-1}. \end{align*}$$



#741688 Tính định thức

Đã gửi bởi vo van duc on 11-10-2023 - 00:07 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Với bài thứ nhất thì em tham khảo ở bài viết https://www.hvu.edu....75/so 10 p2.pdf về ma trận khối.




#741687 tính tích phân $\int_{2}^{\infty } \f...

Đã gửi bởi vo van duc on 10-10-2023 - 22:58 trong Giải tích

 $\int_{2}^{\infty } \frac{2dx}{x^{2}-1}$

giúp mình với

 

Đề bài yêu cầu gì vậy em?




#741686 Tìm $A^{-1}$ bằng phương pháp định thức

Đã gửi bởi vo van duc on 10-10-2023 - 22:48 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ a& b & c\\ bc& ac &ab \end{bmatrix}$

tìm $A^{-1}$ bằng phương pháp định thức của ma trận trên

 

Ta có:

$$\det A=\left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ bc & ac & ab \end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ a & b-a & c-a\\ bc & c(a-b) & b(a-c) \end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix} b-a & c-a\\ -c(b-a) & -b(c-a) \end{matrix} \right |=(b-a)(c-a)\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ -c & -b \end{matrix} \right |=(b-a)(c-a)(c-b)$$

$A$ khả nghịch $\Leftrightarrow \det A\neq 0 \Leftrightarrow a\neq b\neq c$.

 

Khi đó, ta có:

$$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}.\left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix} \right ]$$

Trong đó:

$A_{11}=(-1)^{1+1}\left | \begin{matrix} b & c\\ ac & ab \end{matrix} \right |=a(b^2-c^2)$

 

$A_{12}=(-1)^{1+2}\left | \begin{matrix} a & c\\ bc & ab \end{matrix} \right |=b(c^2-a^2)$

 

$A_{13}=(-1)^{1+3}\left | \begin{matrix} a & b\\ bc & ac \end{matrix} \right |=c(a^2-b^2)$

 

$A_{21}=(-1)^{2+1}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ ac & ab \end{matrix} \right |=a(c-b)$

 

$A_{22}=(-1)^{2+2}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ bc & ab \end{matrix} \right |=b(a-c)$

 

$A_{23}=(-1)^{2+3}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ bc & ac \end{matrix} \right |=c(b-a)$

 

$A_{31}=(-1)^{3+1}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ b & c \end{matrix} \right |=c-b$

 

$A_{32}=(-1)^{3+2}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ a & c \end{matrix} \right |=a-c$

 

$A_{33}=(-1)^{3+3}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ a & b \end{matrix} \right |=b-c$

 

Suy ra:

$$A^{-1}=\frac{1}{(b-a)(c-a)(c-b)}\left [ \begin{matrix} a(b^2-c^2) & a(c-b) & c-b\\ b(c^2-a^2) & b(a-c) & a-c\\ c(a^2-b^2) & c(b-a) & b-a \end{matrix} \right ]$$

......................................................

Với bài toán này ta chỉ cần áp dụng theo quy tắc tính thôi nên không khó. Tuy nhiên, khối lượng phép tính khá lớn nên tôi tính có thể sẽ sai sót. Bạn nhớ kiểm tra lại cho kỹ càng.




#741648 Cho hàm số y = $x^{3}-3x^{2}+(3-2m)x+1+2m$ cắt...

Đã gửi bởi vo van duc on 07-10-2023 - 09:45 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cho hàm số y = $x^{3}-3x^{2}+(3-2m)x+1+2m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < 1 < x_{2} < 2< x_{3}$.

 

Trước tiên, tôi phải nhắc em Seren về cách diễn đạt bài toán. Toán cần sự chính xác, logic. Bài viết em đưa ra ở đây không phải là một đề bài, xét về ngữ pháp, nó chỉ là một giả thiết.

 

Đây là bài toán không quá lạ lẫm nên tôi hiểu đề bài như thế này:

"Cho hàm số $y=x^3-3x^2+(3-2m)x+1+2m$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1$, $x_2$, $x_3$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$."

và gợi ý cho em về cách giải.

 

Bài toán có thể tách ra làm 2 vấn đề cần được giải tuần tự:

1. Tìm tham số $m$ để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm $x_1$, $x_2$, $x_3$.

2. Tìm $m$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$.

 

Bước giải 1: Với bài toán tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 2 hướng đi:

 

Hướng 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm $y=0$.

 

Hướng này được dùng khi chúng ta biết trước một nghiệm (dùng các dấu hiệu như "Tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có nghiệm $x=1$"...) rồi dùng định lý Bezout để biến đổi thành phương trình tích (1 phương trình bậc một, 1 phương trình bậc hai).

 

Ở bài toán này, ta không nhẩm được nghiệm nào nên bỏ qua hướng đi này.

 

Hướng 2: Dùng kết quả "Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ hàm số có 2 điểm cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau".

 

Bước giải 2: Tìm $m$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$.

 

Ta phát thảo đồ thị hàm số thoả các yêu cầu của đề bài để tìm điều kiện ràng buộc.

ABC.png

 

Theo đó, ta có thể thấy điều kiện là $\left\{\begin{matrix} y(1)>0\\y(2)<0\end{matrix}\right.$

............................................................................

Như vậy, hệ điều kiện cuối cùng (cho cả 2 bước giải) là $\left\{\begin{matrix} y'=0\;\text{có 2 nghiệm phân biệt}\\y(1)>0\\y(2)<0 \end{matrix}\right.$

Tất nhiên, khi trình bày lời giải phải có hình vẽ minh hoạ để ra hệ điều kiện như trên.




#741612 tìm $m$ để hàm số $y= x^3-3mx^2+3(m^2-1)+m+2$ đồng biến t...

Đã gửi bởi vo van duc on 04-10-2023 - 21:46 trong Hàm số - Đạo hàm

tìm $m$ để hàm số $y= x^3-3mx^2+3(m^2-1)+m+2$ đồng biến trên $(2;+\infty)$·

 

Có lẽ hàm số là $y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x+m+2$ và khi đó ta có bài toán khá hay.

 

Ta có: 

$$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3(x^2-2mx+m^2-1)=3\left[(x-m)^2-1)\right]=3(x-m-1)(x-m+1)$$

Do đó: $$y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=m-1\\ x=m+1\end{matrix}\right.$$

Bảng biến thiên:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & m-1 & & m+1 & & +\infty \\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \\ y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \\ \end{array}$$

Khi đó, hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$ khi và chỉ khi $m+1\leq 2 \Leftrightarrow m\leq 1$.




#741605 CM $I + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A^2$

Đã gửi bởi vo van duc on 04-10-2023 - 07:00 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n \ge 2$ thỏa mãn $A^3 = 0$.
(a.) Chứng minh : $I + A + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A + A^2$
(b.) Chứng minh : $I + A^2$ khả nghịch và hãy tìm nghịch đảo của $I + A^2$

 

Làm rõ hơn ý tưởng của bạn @phuc_90.

 

a) Ta có: $$A^3=0 \Rightarrow I_n-A^3=I_n \Rightarrow (I_n-A)(I_n+A+A^2)=I_n$$

Điều đó chứng tỏ $I_n+A+A^2$ khả nghịch, và $(I_n+A+A^2)^{-1}=I_n-A$.

 

b) Ta có: $A^3=0 \Rightarrow A^4=0$ và áp dụng hằng đẳng thức ta cũng có hướng đi tương tự.




#741604 Cho A, B ∈ Mn(R). Chứng minh rằng, nếu AB khả nghịch thì A và B cùng khả nghịch.

Đã gửi bởi vo van duc on 04-10-2023 - 06:46 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho A, B ∈ Mn(R). Chứng minh rằng, nếu AB khả nghịch thì A và B cùng khả nghịch.

Với $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ thì $\det(AB)=\det A.\det B\neq 0$ (vì $AB$ khả nghịch).

 

Suy ra, $\det A\neq 0$ và $\det B\neq 0$. Tức là, $A$ và $B$ cùng khả nghịch.