Lời giải này cũng sai

Sai ở đoạn nào nhỉ? ah, ở đây f(u) khảo sát sau khi tách số 1 ra rồi

Câu 9: http://www.upsieutoc...0704_112946.jpg

Đề thi chọn đội tuyển Olimpic DH Mỏ Địa Chất HN, môn giải tích (Vòng 1 - 2013)

Trần Hiệp Anh - DH Mỏ - Địa Chất Hà Nội:

Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

Bài 2: ($3$ điểm): Tính giới hạn sau: $\underset{n\rightarrow +\infty}{Lim}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^n})$

Bài 3: ($3$ điểm): Tìm tất cả các giá trị của $a \in \mathbb{R}$ để hàm số: $f(x)=\left | x-1 \right |.(a^3x^2+2ax-3)$ khả vi tại $x=1$

Bài 4: ($4$ điểm): Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ , khả vi trên $(0,1)$ có $f(1)=0$ chứng minh rằng:

Tồn tại $x_0\in (0,1)$ để: $f'(x_0).x_0 + 1 = e^{-f(x_0)}$.

Bài 5: ($3$ điểm): Chứng minh hàm $f(x)$ xác định trên $R$ thỏa mãn: $f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x)$ là một hàm tuần hoàn và tìm một chu kì của nó.

Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$.

a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$.

b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$

 

 

 

 

Môn Đại số: 

 

Câu 1: Cho $a_0$, $d\in R$ và $a_1=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau:

 

 

 

$\Delta = \begin{vmatrix}

\end{vmatrix}$

 

Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$.

 

 

Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$.

Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$.

a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$..

 

b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$.

 

Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$

 

Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$.

 

Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$

Bài 50: Cho $f:[0,1]\rightarrow R$, liên tục, thỏa mãn:
$\int_{0}^{1}xf(x)=0$ Chứng minh tồn tại $c\epsilon [0,1]$ để:
$f( c ) = c.\int_{0}^{1}f(x)dx$

Đề kiểm tra đội tuyển OLP sinh viên Học viện Tài Chính, môn giải tích

Bùi Khắc Dương - HVTC

Câu 1: Cho dãy $(x_n)$ thỏa mãn:
$$x_1=2013 , x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+3x_n+16}{x_n^2-x_n+11}$$

Tìm: $\lim_{n \to +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^2+7}$

Câu 2: Tìm tất cả các số $d\in (0,1)$ có tính chất: Nếu $f(x)$ là hàm tùy ý liên tục, xác định với $x\in [0,1]$ , ngoài ra: $f(0)=f(1)$ thì tồn tại các số $x_0\in[0,1-d]$ sao cho: $f(x_0)=f(x_0+d)$

Câu 3: Cho hàm $f(x)$ liên tục, khả vi trên $[0,+\infty)$ thỏa mãn: $f(0)=0$, $f'(0)>0$ và: $f"(x)> f(x)$ với $\forall x>0$.

Chứng minh: $f(x)>0$ với: $\forall x>0$

Câu 4: Cho hàm $f(x)$ khả vi, thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$ với $\forall x\in [0,1]$

Chứng minh: tồn tại $c\in (0,1)$ để $f'( c )=6$

Câu 5: Cho $f,g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $g'(x)=f(g(x))$.

Chứng minh: Nếu $\lim_{x \to +\infty}g(x)=c$ thì $f( c )=0$.

Ta chứng minh được bất đẳng thức sau
$\int\limits_x^1 {{f^2}(t)dt} \ge \int\limits_x^1 {f(t)tdt} \ge \int\limits_x^1 {{t^2}dt} $ với mọi $x \in \left[ {0,1} \right]$.

Nếu như không nhầm thì đây là đề thi năm 2003 hay 2005 thì phải

Bài 12:

Xét hàm số $g(x)=\frac{f^{2}(x)}{2}+f'(x)$

Ta có $g(0)=0$

$g'(x)=f(x)f'(x)+f"(x)$ nên theo ĐLý Rolle thì cần chứng minh tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $g(x_0)=0$


Xét $h(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{f(x)}$

$h(0)=h(1)$ nên theo ĐLý Rolle có tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $h'(x_0)=0=\frac{g(x_0)}{f^2(x_0)}$ hay $g(x_0)=0$


Nên ta có ĐPCM.

Bài này bạn giải thiếu TH $f(x)=0$

Bài 49: $f(x)$ khả vi trên $[0,3]$ thỏa mãn: $f(0)=2, f(3)=1$ và $\left | f'(x) \right |\leq 1$
Chứng minh: $\int_{0}^{3}f(x)dx\geq \frac{5}{2}$

Việc chứng minh $f(x) \ge x$ là một sai lầm trong tư duy, bạn nên xem lại

Anh nói rõ hơn được không?
Hoặc cho một phản ví dụ chẳng hạn.

Đã sửa lại đề chuẩn nhé

Bài 47: Cho $f(x))$ liên tục trên $[a,b]$ và $f(x)$ không tuyến tính, khả vi trên $(a,b)$, dùng hình học, chứng minh rằng:
Tồn tại $\alpha \epsilon (a,b)$ để: $\left | f'(\alpha ) \right |>\left | \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right |$.
p/s: Chỉ được dùng hình học và các tính chất của tiếp tuyến nhé

https://www.dropbox....vum0/vv407H-pq2

Trích: Lê Phúc Lữ bên MS!

Bài này và bài 14 trong cùng topic này tương tự nhau , lời giải cho bài 14 đã có ở đây

http://diendantoanho...2013-giải-tich/

Về cơ bản là cùng dạng nhưng ở bài 14 thì $a,b$ cận thay đổi trong $[0,2]$ nên việc chứng mình $f^2(x)\leq x^2$ mình nghĩ nó hơi khác.
Vì đang nghĩ đến khà năng chỉ tồn tại lân cận dưới của 1 là dương.

Bài 46: Cho $f(x)$ là một hàm liên tục trên $[0,1]$ sao co với mỗi $x\epsilon [0,1]$ thì $\int_{x}^{1}f(t)dt\geq \frac{1-x^2}{2}$
Chứng minh: $\int_{0}^{1}f^2(t)dt\geq \frac{1}{3}$

Sr: Nhầm đề tý, đã sửa rồi, thiếu cái mũ 2

Bài 2: cho $f,g$ là 2 hàm khả vi trên $R$.thỏa:

$\frac{f'}{g'}=e^{f-g} $
và: $f(0)=g(2012)=1$
Tìm hằng số $c_{max}$ để: $f(2012)>c$, mọi hàm thỏa mãn DK trên!

Bài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$

Mặc dù đã có topic ôn thi giải tích, thế nhưng để thuận tiện cho các bạn trao đổi và thảo luận cũng như dễ tìm kiếm các dạng thì mình sẽ tách thành các topic, theo các chuyên đề. Các bạn ôn thi, có bài trao đổi có thể post lên đây!
Lưu ý: Không SPAM!

Năm nay ban tỏ chức làm chán quá! Sai sót quá nhiều!

Exercise 6. Find al function $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ satisfies
$f(x+y)\geq f(x).f(y)\geq e^{x+y}$ for all $x,y\in \mathbb{R}$.


Đặt $g(x)=\frac{f(x)}{e^x}$

Exercise 3. Let $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ be a integrable function such that $\int_0^1xf(x)dx=0$. Prove that
$\int_0^1f^2(x)dx\geq 4(\int_0^1f(x)dx)^2$.



Xét $g(x)=6x-4$ rồi xét $(f(x)+\alpha\g(x))^2\geq 0$ với $\alpha=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Mình Dương HV Tài Chính, thi giải tích!

Đề:
Cho $f(x)$ liên tục trên $[a,b]$ khả vi trên $(a,b)$, $f(x)$ không tuyến tính, CMR:
Tồn tại $\xi \epsilon (a,b)$ để $\left |f'(\xi ) \right |>\left | \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right |$,
Bài này nếu giải theo đáp án thì không nói làm gì nhưng mà liệu có thể dùng lagrange và dùng BĐT giá trị tuyệt đối khi phản chứ không nhỉ?

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Bài này trước anh Luật ĐHV đã nêu trên math.vn và có lời giải sơ cấp nhưng tranh cãi nhiều và khá phức tạp1

Bài toán 2: Cho $f$ là một hàm liên tục và đơn ánh trên $(a,b)$. Chứng minh rằng $f$ là một hàm đơn điệu ngặt trên $(a,b)$.

P/s: Bài này đơn giản nên mọi người tham gia thảo luận nhé.

chọn 2 số $x_1,x_2$ tùy ý sao cho : $a<x_1<x_2<b$. giả sử xáy ra $f(x_1)<f(x_2)$, ta chứng minh $f(x)$ đồng biến.
Giả suwe ngược lại tồn tại 2 điểm $\alpha,\beta$ sao cho $a<\alpha<\beta<b$ nhưng $f(\alpha)\geq f(\beta)$.
Do $f(x)$ đơn ánh nên $f(\alpha)>f(\beta)$.

Xét hàm:
$G(t)= f(x_1+ t(\alpha - x_1)) - f(x_2+ t(\beta-x_2))$ với $t \epsilon [0,1]$

Khi đó $G(t)$ liên tục trên $[0,1]$
$G(0)= f(x_1)-f(x_2)<0, G(1) = f(\alpha )- f(\beta)>0$

suy ra:
Tồn tại $t_0 \epsilon (0,1)$ để $G(t_0)=0$
$\Leftrightarrow f(x_1+t_0(\alpha -x_1)) = f(x_2 + t_0(\beta-x_2))$

Mặt khác $f(x)$ đơn ánh nên $x_1+t_0(\alpha - x_1) = x_2 + t_0(\beta - x_2)$
Biến đổi ta được

$x_1=x_2$, $\alpha=\beta$
Mâu thuẫn, vậy ta có ĐPCm

Bài 5: Giả sử $f: R\rightarrow R$ là một hàm khả vi thỏa: $f(x)+f'(x)<1 (\forall x\epsilon R)$ và $f(0)=0$
CMR: $f(1)\leq \frac{e-1}{e}$ và tìm một hàm để xảy ra đẳng thức.

Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:

$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$

Với mỗi $x_0\neq x_i, i=1...n$, đặt $g(x)=f(x)-f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$].
Ta có $g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$ và phương trình $g(x)=0$ có $n$ nghiệm phân biệt nên tồn tại $c\in[a,b]$ sao cho $g^{(n)}( c )=0$
Hay $f^{(n)}( c )=\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$], suy ra $|f(x_0)|=\frac{|f^{(n)}( c )|}{n!}(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)\leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $

Bởi vì $|x_0-x_i|\leq |a-b|$