$2x+\frac{x-1}{x} = \sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Giải pt:

 

$13\sqrt{2x^2-x^4} + 9\sqrt{2x^2+x^4}=32$

Chứng minh:

$C_{2013}^{0}.C_{2013}^{1000}-C_{2013}^1.C_{2013}^{999} + C_{2013}^2.C_{2013}^{998} -...+ C_{2013}^{1000}.C_{2013}^0 = C_{2013}^{500}$

Cho tam thức $f(x) = x^2 - 2(m-1)x + 1$. 

 Tìm m để $f(x) > 0, \forall x > 1$

 

Tính:

$tan \ 20^o.tan \ 80^o + tan \ 80^o.tan \ 140^o + tan \ 140^o.tan20^o$

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rắng:

 

$\frac{a}{a^3 + b^2 + c}+\frac{b}{b^3 + c^2+a}+\frac{c}{c^3 + a^2 + b} \leq 1$

Cho 2 mệnh đề:
P: "Tam giác ABC đều cạnh a"
Q: "Chiều cao của ABC là $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$"
Xét tính đúng sai của mệnh đề Q => P
@tramy : Sửa tiêu đề ngay nếu không tôi sẽ khóa topic này.

Chứng minh rằng nếu số nguyên dương n ko pải là số chính phương thì $ \sqrt{n} $ là số vô tỷ.

Cho $a,b,c \ \epsilon (0;1)$. CM ít nhất 1 trong 3 mệnh đề sau sai:
$a(1-b)<\frac{1}{4}$

$b(1-c)<\frac{1}{4}$

$c(1-a)<\frac{1}{4}$

Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Hãy tìm GTNN của biểu thức:
$A = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z}$

Tìm GTNN của: $2x+\frac{1}{x^2}$ với x dương.

Đâu có:
$ 4xy +(x-y)^{2}=4xy+x^2-2xy+y^2=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$

ko phải mình nói cái này, chỗ từ bất đẳng thức suy ra ấy.

5 : $2\sqrt{4xy}(x+y)$ $\leq 4xy +(x-y)^{2} $
----> (x+y) $\geq$ 4 .

phải là x +y chứ sao lại x - y

5 : 4(x+y) = $2\sqrt{4xy}(x+y)$ $\leq 4xy +(x-y)^{2} = (x+y)^{2}$

Cái này phải là $2\sqrt{4xy}(x+y)$ $\leq 4xy +(x+y)^{2}$ chứ nhể???

Rút gọn biểu thức

$\dfrac{{\sqrt{4+{\sqrt{15}}}+\sqrt{5-{\sqrt{21}}}}}{\sqrt{6+{\sqrt{35}}}}+1$

Lần đầu gửi bài có gì MOD thông cảm
______________________________________________________
hxthanh@: Bạn quên mất không chặn 2 đầu công thức bởi cái dấu $

Nhân tử và mẫu cho căn 2:
$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}+1$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+1 = 1+1 = 2$

Tìm tất cả các giá trị của a (a thuộc R) để phương trình:
$2x^2 - (4a+\frac{11}{2})x+4a^2+ 7 = 0$ có nghiệm nguyên.

Từ điểm P nằm ngoài (O;R), kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuốn đường kính BC.
a) CMR PC cắt AH tại trung điểm E của AH.
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.

Cho a, b, c > 0 và $a + b + c \leq 1$
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2 + 2ab}\geq 9$

Cho x, y (quên điều kiện ) thỏa mãn:
$\frac{x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}=1$
Chứng minh: $8xy^2 \leq 1$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y+z+\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{51}{4}& & & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} =\frac{771}{16}& & & & & \end{matrix}\right.$

Nhờ MOD sửa lại cái chủ đề cái

Đặt $a = x + \frac{1}{x}; \ b = y+\frac{1}{y}; \ c = z+\frac{1}{z}$
$\Rightarrow a^2 = (\frac{1}{x}+x)^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2 \Leftrightarrow a^2 - 2 = x^2+\frac{1}{x^2}$
Tương tự:
$b^2-2=y^2+\frac{1}{y^2}; \ c^2 - 2 = z^2+\frac{1}{z^2}$
=> hệ đã cho có dạng:
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=\frac{51}{4} \\ a^2+b^2+c^2=\frac{867}{16} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2601}{16}=(\frac{51}{4})^2=(a+b+c)^2$
Ta lại có:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c \ and \ a+b+c=\frac{51}{4}$
$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{17}{4}(tmdk)$
$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow 4x^2-17x+4=0 \Leftrightarrow x = 4 \ hoac \ x = \frac{1}{4}$
Tương tự tìm ra y, z.
Hệ phương trình có 8 nghiệm...

3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$

Cách khác ngắn hơn:
$(a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)(a+b+\frac{1}{2})=(a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})$
Áp dụng bđt Cô-si, ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab};$
$a+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}a} = \sqrt{a}; \ b+\frac{1}{4}\geq \sqrt{b}$
$\Rightarrow (a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a} (dpcm)$

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$

Hôm đi thi làm thế này ko bít đúng ko, mọi người ai có cách ngắn hơn thì post lên lun.
ĐK : $x \geq -1$
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=(x+1)^2-7(x+1)+20$
Đặt $x+1 =t$, ta có:
$16t = (t^2 - 7t +20)^2 $
$\Leftrightarrow t^4 - 14t^3+89t^2-269t+400 = 0 $
$\Leftrightarrow (t^4-4t^3)-(10t^3 - 40t)+(49t^2-196t)-(100t-400) = 0 $
$\Leftrightarrow (t-4)(t^3-10t^2+49t-100)=0 $
$\Leftrightarrow (t-4)^2(t^2-6t+25) = 0$
Vì $(t^2-6t+25) > 0 \Rightarrow t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 3 (tmdk)$

Lời giải. a) $6x+3y+2xy=18$
Ta có $1 \le 6x \le 18 \implies 1 \le x \le 3$

• $x=3 \implies 3y+6y=0 \implies y=0$, loại.
• $x=2 \implies 3y+4y=6 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
• $x=1 \implies 3y+5y=12 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Xin lỗi nhầm đề tí: $6x + 5y + 18 = 2xy$
$6x + 5y + 18 = 2xy $
$\Leftrightarrow (6x - 2xy) -15 + 5y = -33 $
$\Leftrightarrow (3-y)(2x -5) = -33 = -1.33=-33.1=-11.3=-3.11$

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'

Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N:
$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh:
$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$

Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm C trên đoạn OB, kẻ CN vuông góc với AM tại N. Tia phân giác của góc MAB cắt CN tại I, cắt (O) tại P. Tia MI cắt đường tròn (O) tại Q.
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng.
b) Khi AM = BC, chứng minh tia MI đi qua trung điểm của AC.

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC} = \widehat{FDB} = 90^o$. Chứng minh rằng: EF // BC.

Giải hệ phương trình:
$a)\left\{\begin{matrix} 2x - |y| = -3 \\ -5|x| + y = 3 \end{matrix}\right.$

$b)\left\{\begin{matrix} \frac{x_1 - a_1}{m_1} = \frac{x_2 - a_2}{m_2}=...=\frac{x_k-a_k}{m_k}\\ x_1 +x_2+x_3+...+x_k = a \end{matrix}\right.$
với a1, a2....a_k; m1, m2,...,m_k là các tham số.

1/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AD và phân giác BE vuông góc với nhau tại F. Biết $S_{EFD} = 1$. Tính $S_{BAC}$
2/ Cho góc xAy và 1 điểm O nằm trong góc đó. Hãy dựng qua O một đường thẳng cắt 2 cạnh Ox, Oy 2 điểm tương ứng B, C sao cho $S_{BAC}$ bé nhất.