Cho $ a\neq 0$ sao cho phương trình $ax^n+x+1$ có đủ $n$ nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm $ \in [-2; 2]$

1)Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn: $(z,y)=(z;3)=1; y \in P$ và $x^3-y^3=z^2$
2)Giả sử x,y là các số nguyên dương sao cho $A= \dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$ là số nguyên.CMR A là lập phương đúng.

Bài 1$x^3-y^3=z^2 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=z^2 \Rightarrow $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\x^2+xy+y^2=z^2\end{array}\right.$
Hoặc $ \left\{\begin{array}{l}x-y=z\\x^2+xy+y^2=z\end{array}\right.$ (do $x-y \leq x^2+xy+y^2$)
(Bài này thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm nay )
Bài 2 Trong quyển của Thầy Phạm Minh Phương như bạn nói, tương tự IMO 1982 thì phải?

Tìm hàm $f:R->R$ sao cho:
$f( x^{2})= [f(x)]^{2}$
$f(x+1)=f(x)+1$

Bài này trong Functional equations and how to solve them
Download tại đây

Nếu dễ thì làm cũng không mệt lắm đau anh ạ, để mọi người xem thôi!
Thay mặt phongthan, xin phép đưa ra lời giải để mọi người xem luôn:
Bài 1: Như bạn Pirates, đặt ẩn đưa về $(2x-a)(b-1)=0$
Bài 2: Phép thế xem ra không hiệu quả, có thể đặt $x=ky$hoặc giải như sau:
Hệ tương đương:
$ \left\{ \begin{matrix} x^2+y^2=2x+y \\ 2y+2x=3x^2 \end{matrix} \right.$ rồi nhân vế với vế, đưa về phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc 3
Sau đó xét $y=0 \Rightarrow x=0$
nếu $y \neq 0 $thì chia 2 vế phương trình cho $y^3$, đặt ẩn phụ mới $\dfrac{x}{y}$, đến đây không còn gì phải nói!
Bài 3:
1, Sử dụng định lí Te-let, $N$ là tâm vị tự ngoài 2 đường tròn
2, $I$ thuộc đường tròn đường kính $O_1O_2$
3, Có khá nhiều cách giải, đơn giản là tính toán dùng tam giác đồng dạng hoặc $(O_1O_2MN)$ là Hàng điểm điều hòa, hoặc sử dụng Phương tích...đều được!!
Có thể làm mạnh hơn một chút kết quả này, đó là $NE, NF$ là tiếp tuyến với cả 3 đường tròn, chứng minh cũng không có gì phức tạp, mọi người xem thử!
Bài 4
Cộng thêm 1 vào 2 vế rồi xét dãy nghịch đảo là xong, bài toán thuộc dạng cơ bản
Bài 5: Đã có lời giải ở trên
Bài 6: Hướng giải như Apollo_1994, nhưng đáp số đúng phải là $ \dfrac{10^{2010}-1}{2} $, lí luận như sau: Với mỗi số a cần tìm luôn có một số b nữa coi là "cái bóng" của a cũng thỏa mãn bài toán, mà $a+b=999...99$ nên a luôn khác b, do đó số các số lập được luôn là số chẵn.
Gọi $x_1, x_2,... x_{2k}$ là các số lập được, khi đó $\dfrac{x_1, x_2,... x_{2k}}{2k}= \dfrac{999..99k}{2k}$ xong!

Bài này đặt ẩn phụ: $\sqrt{x + 3} = a , \sqrt{x - 1} = b$

Chỉ dừng lại ở Bài 1 và Bài BDT thôi sao mọi người. Dân 11 vượt cấp, 12 các tỉnh đâu hết rồi nhỉ
Cả các men của diendantoanhoc nữa chứ???

Chính xác đấy! Thi HSG ở các tỉnh chỉ dành cho lớp 12 thôi Janienguyen! Chắc ở HN nên bạn cũng chưa rõ điều này.
Bài BDT có khá nhiều cách giải, Schwarz cũng là một cách hay, ngoài ra có thể dùng Schur hoặc AM-GM!
Dùng AM-GM như sau:
$<=>\sum \dfrac{4(x^3+y^3)}{4xy+36} \ge \sum \dfrac{(x+y)^3}{(x+y)^2+36}=\sum x+y-\sum \dfrac{36(x+y)}{(x+y)^2+36}=18-\sum \dfrac{36(x+y)}{(x+y)^2+36} \ge 18-3.3=9$
Hoặc Schur bậc 3 $a^3+b^3+c^3 \geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ sau đó cho một biến bằng $3$ rồi đánh giá tiếp là ổn!
Còn mấy bài khác, mọi người thử sức!!!

Mong mọi người tham trao đổi, nhất là những bạn cũng dự thi HSG ở các tỉnh!!
Có ai thử sức với Hệ phương trình chưa?

mình đang gặp khó khan trong cách tìm số mũ . vd 2^n = 4906, tìm n

Bạn có sách Giải tích 12 chứ? Đây là dạng phương trình mũ và lôgarit cơ bản của SGK.
nếu $2^n=4906$ thì $n=log_2 4906$, đơn giản thế thôi!

Cho bài toán sau
Chứng mình với mọi số tự nhiên n thì
$(1 + \dfrac{1}{n})^n < 3 $ ( 1)

Bài Giải

Rõ ràng là ta không thể quy nạp trực tiếp theo n mà cần tìm một cách giải quyết thích hợp
BDT đúng với n =1 . n= 2 ,
Bây giờ ta xét $ n \geq 3 $ va chứng mình rằng với mọi số nguyên dương k thỏa mãn đk
$ 1 \leq k \leq n $
Thì
$( 1+ \dfrac{1}{n})^n < 1 + \dfrac{k}{n} + \dfrac{k^2}{n^2} $ (2)

PS : AI giải thích tại sao lại ra lại ra BDT 2 được không , minh chưa hiểu pp nào lại đưa ra như vậy

Cái này liên quan đến vấn đề giới hạn lim$(1 + \dfrac{1}{n})^n =e$, số e là lôgarit tự nhiên.Trong quá trình tìm giới hạn này người ta tìm ra bất đẳng thức (2), chứ không có phương pháp nào cả!

Câu 1: Giải phương trình:
$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x-1}=2x+\sqrt{x^2+2x-3}$
Câu 2: Giải hệ phương trình:
$ \left\{ \begin{matrix} x^2+y^2-2x-y=0 \\ 2y=3x^2-2x \end{matrix} \right.$
Câu 3: Cho hai đường tròn $(O_1,R_1)$ và $(O_2,R_2)$ trong đó $R_1<R_2$ và tiếp xúc ngoài tại $M$.
Điểm $A$ di động trên đường tròn $(O_1,R_1)$, điểm $B$ di động trên đường tròn $(O_2,R_2)$ sao cho $MA$ vuông góc với $MB$.
1) Chứng minh đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm cố định $N.$
2) Chứng minh trung điểm $I$ của đoạn $AB$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định $C$
3) Đường thẳng vuông góc với $O_1O_2$ tại $M$ cắt đường tròn $C$ tại $E,F$.
Chứng minh $NE, NF$ là các tiếp tuyến của $C$
Câu 4: Cho dãy số $(U_n)$:$ \left\{ \begin{matrix} U_1=5 \\ U_{n+1}=\dfrac{5U_n+4}{U_n+2} \end{matrix} ,n\in N* \right.$
1) Chứng minh rằng $U_n>4 , \foral n\in N*$
2) Tìm số hạng tổng quát của $U_n$
Câu 5: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=9$.
Chứng minh rằng: $\dfrac{x^3+y^3}{xy+9}+\dfrac{y^3+z^3}{yz+9}+\dfrac{z^3+x^3}{zx+9} \geq 9 $
Câu 6: Tính trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n$ có $2010$ chữ số mà các chữ số đều thuộc tập ${1,2,3,4,5,6,7,8}$ đồng thời n chia hết cho $99999$

Qua D kẻ đường thẳng // BC cắt AB,AC tại E,F. Sau đó dùng phép vi tự biến đường tròn (O) thành đường tròn (I)
Đây từng là đè thi vô địch mỹ

Bài toán này mang tên định lí Lyness

Thế thì chú thử bài này nhé
Tìm tất cả các hàm số $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}f(x^2)=f^2(x)\\f(x+1)=f(x)+1\end{array}\right.$

Bài của anh Văn có trong Function eqution and how to solve them của G. Small

n cuốn đó e đoc&làm bt cũg sắp hết rồi!với cả thầy e dạy rộng wa!nhiều cái e cũg chẳg hiểu sâu sắc lắm mà k tìm đc sách!
a có biết tài liệu nào viết sâu về phần chiếu vecto k?e đag học phần đó!
e học gà wa!ngồi nghe mà cứ như "con nai vàng ngơ ngác ý!thật chán k tả nổi!

Theo đánh giá của mình thì quyển của thầy Hà như Inhtoan nói là khá hay. Các bài tập khá sâu sắc. Không cần thiết phải nhiều sách đâu bạn.Những bài trong cuốn đó có ứng dụng khá rộng. Let try!!!!!!!!!!

co the giai bai nay theo cach khong dung den phep quay hay khong?

Dùng tam giác đồng dạng bạn ạ. Đó là một trong những tiền đề của phép quay.

Cho em hỏi cộng tuyến là gì ạ?Làm mấy bài vecto có nói đến mà em ko biết

2 vecto được gọi là cộng tuyến nếu chúng cùng phương!!

mọi người ơi gõ công thức toán rồi làm sao để copy sang bài viết dc?

Bạn đặt nó trong thẻ latex và /latex là ổn thôi. Lưu ý để chữ latex trong [] nhé!

Cho$m=n=o$ được $f(0)= 2f(0)^{2}$, do đó $f(0)=0$, do tập đích là $N \Rightarrow f(m^{2})=f(m)^{2}$.
bạn giải thích đoạn này nhờ cái

$f(0)= 2f(0)^{2} \Rightarrow $ hoặc $f(0)=0$, hoặc $f(0)=$ 1/2, do $f(n) \in N$ nên loại $f(0)=$ 1/2
Từ đó chọn $m$ bất kì, $n=0$được $f(m^{2})=f(m)^{2}$.

Bài này hay đấy!
Cho$m=n=o$ được $f(0)= 2f(0)^{2}$, do đó $f(0)=0$, do tập đích là $N \Rightarrow f(m^{2})=f(m)^{2}$. Vậy có thể viết bài toán dưới dạng:
$f(m^{2}+n^{2})= f(m^{2}) + f(n^{2})$. Từ $f(1) > 0 \Rightarrow f(1)=1$
Do đó:$f(2) = (1^{2}+1^{2})= f(1)^{2}+f(1)^{2}=2, f(4)= f(2^{2})=f(2)^{2}=4, f(5)=f(1)^2+f(2)^2=5, f(8)=8$.
Hơn nữa $25= f(5)^{2}= f(3)^{2}+ f(4^{2})= f(3)^{2}+ 16 \Rightarrow f(3)=3$. Từ đó cũng tính được $f(9), f(10), f(7)$. Do $10^{2}=6^{2}+8^{2} \Rightarrow f(6)$. Như vậy ta tính được $f(n), n \leq10$. Sử dụng các đẳng thức:
$(5k+1)^{2}+2^{2}= (4k+2)^{2}+(3k+1)^{2}, (5k+2)^{2}= (4k+1)^{2}+(3k+2)^{2}, (5k+3)^{2}= (4k+3)^{2}+(3k+1)^{2}, (5k+4)^{2}= (4k+2)^{2}+(3k+4)^{2}, (5k+5)^{2}= (4k+4)^{2}+(3k+3)^{2}$
. Sử dụng các đẳng thức này cho phép tính mọi $f(n) \Rightarrow f(n)=n \forall n$

Giả sử các phần tử của $S$ là $ a_{1} , a_{2} ...$.Phản chứng nếu tồn tại, giả sử $ a_{1} $ $\leq \left<\dfrac{2n}{3} \right>$khi đó $ 2a_{1} $ và$ 3a_{1} $ đều <= 2n.
Xét tập n+1 phần tử $ 2a_{1} $, $ 3a_{1} $, $ a_{2} , a_{3} ...$. Dễ CM các số trên đều khác nhau (do UCLN của chúng <2n).
Theo nguyên lí Diriclet tồn tại hai số chia hết cho nhau, và điều này mâu thuãn với giả thiết $ \Rightarrow $ đpcm!

n=5,n=33 đều đc mà!anh thử chỉ ra lỗi sai xem nào?????

Bài này chỉ có $n$ duy nhất là 1. Bên Mathscope đã có lời giải bài này link đây
Bạn tự xem lại nhé.Chúng ta kết lại vấn đề này .Cám ơn đã trả lời topic của Quylao!!!!!!!

ai có tài liẹu về toán rời rạc có thể post lên mình tham khảo được không?
mình xin cảm ơn trước!

Bạn cụ thể cần tài liệu như thế nào?Nói rõ hơn. Quylao có thể giúp!

Bạn làm ko đúng rồi. Thử trực tiếp đáp số sẽ thấy.Let try agian!!!!!

 Dap_an_VMO2009.pdf   310.16K   2287 Số lần tải
Đáp án này bị chữ hơi mờ. Mong mọi người thông cảm!

Tìm n để $2^{n-1}\equiv-1$ (mod n)

Toàn anh em CHV nói chuyện với nhau ????