Cho a,b,c>0;$\sum {{a^2}} = 3$
CM:$\sum {\dfrac{1}{a}} + \dfrac{3}{2}\sum a \ge \dfrac{{15}}{2}$

đề hay đấy nhỉ.

Mời thử sức cùng bài BDT mình vừa sáng tạo
Cho x, y, z $ \in [ \dfrac{1}{2};1] $
CMR:
$ 9 x^{3}y ^{3}z ^{3} +18 \geq (xy+yz+zx) ^{3} $

Mail của ông ấy là gì vậy? Để em hỏi cho

Chắc là [email protected]
hehehehe . đùa đấy . Mình cũng chịu

Bài 1 là bài BDT trong đề thi vòng 1 KHTN năm 2008-2009
Nài 2 là bài thi vào trườn Phan BỘi Châu.
)

1/Các số thực ko âm đôi một khác nhau và tm:$(z+x)(z+y)=1$
Tìm GTNN:$P= \dfrac{1}{(x-y)^2} + \dfrac{1}{(z+x)^2} +\dfrac{1}{(z+y)^2} $
2/Cho a,b,c dương tm $a+b+c=3$.
Tìm GTNN: $p=a^2+b^2+c^2+ \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a} $

bài 2 nhé:
ta có:
$ 3( a^{2} +b ^{2}+ c ^{2}) ^{2} \leq (a^ {2} +b ^{2}+ c^ {2}) ^{3}$
đặt $ a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =x $
và $ ab+bc+ca =y $
suy ra
$ x \geq 3 $và$ x+2y=9 $
và:
$ p \geq x+ \dfrac{ \sqrt{3}y }{x \sqrt{x} } $
Ta sẽ cm $ x+ \dfrac{ \sqrt{3}y }{x \sqrt{x} } \geq 4$ với $ x+2y=9$
thật vậy BDT trên tương đương với:
$ ( \sqrt{x}- \sqrt{3})[( x^{2}-9)+x(x-2)+ \sqrt{3x}(2x-3)] \geq 0 $
BDT trên đúng do
$ x \geq 3$
Vậy min p=4

Vui nhỉ lâu lâu không ghé qua lấy ở đâu thế ><

Oắt Nam. Anh sáng tác đấy. Chú thử giải xem được bao nhiêu cách. Càng nhìu cách càng tốt
)

Cho $x^{3}+y^{3}=1,x,y>0$
Tim max of $ 2\sqrt{2}+y$
min of $\dfrac{x}{y}+\sqrt{1+\dfrac{y}{z}}+{3}\sqrt{1+\dfrac{z}{x}}$
cai ${3}\sqrt{1+\dfrac{z}{x}}$ nghia la can bac 3 cua $1+\dfrac{z}{x}$

Viết lại đề bài cho rõ đi. z ở đâu vậy?????

bài 2 ấy ai có thể làm rõ giúp mình được không. sao mình làm hoài theo cách ấy mà vẫn không được là thế nảo nhỉ

Dùng côsi vậy:
Ta có:
$ \dfrac{a ^{3}}{b+1} + \dfrac{b+1}{4}+ \dfrac{a}{2} + \dfrac{1}{2} \geq 2a $
tương tự:
$\dfrac{b ^{3}}{a+1} + \dfrac{a+1}{4}+ \dfrac{b}{2} + \dfrac{1}{2} \geq 2b $
Cộng hai BDT trên là ok
chú ý :
$ a+b \geq 2 $

Không hiểu ở chỗ là chứng minh bài trên hay bài ở dướ . Bài trên thì sai đề rùi . Còn bài ở dưới thì có phải điều kiện vẫn là a+b+c=1 hay a+b+c+d=1 ????

Chắc đề là thế này:
Cho a, b, c, d là các số thực dương t/m a+b+c+d=1
CMR: $ a^{2}+b ^{2} +c^{2} +d ^{2} +12 \sqrt{abcd} \leq 1 $

Mình đoán vậy. Nếu đề như trên thì chẳng phải dồn biến làm quái gi cho mệt xác. Thay 1=$ (a+b+c+d) ^{2}$ phá tung tóe ra rùi dùng côsi là Ok.

Cho a, b, c là các số thực không âm và a+b+c=1. Chứng minh rằng:

Đề bài có vấn đề. Cho $ a=b=c= \dfrac{1}{3} $

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn :sqrt{xy}+ :sqrt{yz} + :sqrt{zx}=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S=x^2/(x+y)+y^2/(y+z)+z^2/(z+x)

Trong sáng tạo BDT của anh Phạm Kim Hùng có BDT này:
Cho a; b; c là các số dương và số $ k \geq \dfrac{3}{2} $thì ta có:
$ \sum \dfrac{a ^{k}}{a+b} \geq \dfrac{ \sum a^ {k-1}}{2} $

( Nếu mình nhớ không nhầm )
Cho k=2 ta có $ VT \geq \dfrac{a+b+c}{2} \geq \dfrac{1}{2} $

OK,.....x,y>0.
Ko thì bài toán sẽ là c/m $ |\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}| \geq 25 $
Ầy chữ kí bạn viết sai chính tả kìa

Vẫn không thể thế được đâu anh dehin a. Ta thay x và y như trên vẫn sai.
Chỉ có thêm điều kiên x, y dương hoặc cho tri tuyệt đối vào từng hạng tử

1) cho a,b,c thay đổi thõa mãn $ a^{2} = 1 $. tìm GTLN của :

$P = \sum ab + \dfrac{1}{2}\sum a^{2}(b - c)^{2} $

2) có thể giải bài sau mà không quy đồng được không
cho a,b>0 và ab=1 tìm GTNN của

$A = \dfrac{a^{3}}{1 + b} + \dfrac{b^{3}}{1 + a} $

3) cho a,b,c > 0 thõa $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$.c/m

$(1 - \dfrac{1}{a^{2} + 1})(1 - \dfrac{1}{b^{2} + 1})(1 - \dfrac{1}{c^{2} + 1}) > \dfrac{1}{2} $

Bài 2 nhé:
Dùng chebyshev
ta có:
A $ \geq \dfrac{1}{8}( (a+b)^{3} \dfrac{4}{ (\sqrt{a}+ \sqrt{b}) ^{2} } $
Mà $ (a+b) ^{2} \geq 4 $ và $2(a+b) \geq (\sqrt{a}+ \sqrt{b}) ^{2} $
Suy ra A $ \geq 1 $

OK,.....x,y>0.
Ko thì bài toán sẽ là c/m $ |\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}| \geq 25 $
Ầy chữ kí bạn viết sai chính tả kìa

SR anh dehin nhé. Em không bik anh lớn tuổi rùi. Hì Cho em xin lỗi nhé! Ok

chuẩn hóa abc=1 do vậy

$8\sum a^7\sqrt{a} \ge 4\sum (a^3+b^3)$

Không hỉu chỗ này

Ta có
${\left( {\sqrt {\dfrac{2}{x}} \sqrt {2x} + \sqrt {\dfrac{3}{y}} \sqrt {3y} } \right)^2} \le \left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y}} \right)\left( {2x + 3y} \right)$
$ \Rightarrow \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} \ge {(2 + 3)^2} = 25$

Cho x=1; y= $ \dfrac{-1}{3} $
x; y chưa dương $ \Rightarrow $ anh "dehin" giải sai rùi
Đề bài này thiếu điều kiện x; y $ > 0 $

bất đẳng thức trên cũng sai ( có thể thử $ a=0, b=c$), bất đẳng thức đúng là

$ \sum \sqrt{ \dfrac{a}{b+c} } \geq 2 $

Sorry nhé:
Mình post lại đề:
Cho a, b, c, k là các số thực không âm
CMR:
$ \sum (\dfrac{a}{b+c}) ^{k} \geq min (2; \dfrac{3}{ 2^{k} }) $
Cám ơn nhé

Cho a, b, c là 3 số dương. CMR:

Cho $ a= 10^{10} ;b=c= 1 $ nhé
Mình nhớ BDT này có trong Sáng tạo BDT nhưng là:
Cho a; b; c là các số dương
CMR: $ \sum \sqrt{ \dfrac{a}{b+c} } \geq \dfrac{3}{\sqrt{2} } $
Trong đấy có cả dạng tổng quát đấy tự đọc nhé

Cho a, b, c dương và abc=1. CMR:

1.
2.

Cho $a=b= 10^{-2}; c= 10^{4} $
$ \Rightarrow $ BDT sai

cho xyz =1 va x,y,z $\geq $0
tìm Min cùa

M=$\sqrt{\dfrac{{a^4+b^4}}{{1+ab}}}+\sqrt {\dfrac{{b^4+c^4 }}{{1+bc}}}+\sqrt {\dfrac{{c^4+a^4}}{{1+ca}}} $

Ta có:
$ a^{4}+ b^{4} \geq \ ab( a^{2}+ b^{2}) \geq \dfrac{1}{2}ab (a+b)^{2}$
mà 1+ab=ab(c+1)
$ \Rightarrow \sum \sqrt{ \dfrac{ (a^{4} + b^{4}) }{1+ab} } \geq \sum \dfrac{a+b}{ \sqrt{2c+2}} \geq \dfrac{4(a+b)}{2c+6} = \dfrac{2(a+b)}{c+3} $
$ \Rightarrow \ M \geq \2 \sum \dfrac{a+b}{c+3} $
Không mất tính tổng quát giả sử $ a \geq \ b \geq \ c $
$ \Rightarrow \ (a+b) \geq \ (b+c) \geq \ (c+a) $
và $ (c+3) \leq \ (b+3) \leq (a+3) $
Áp dụng BDT chebyshev ta có:
$ \ 2 \sum \dfrac{a+b}{c+3} \geq \dfrac{4}{3} (a+b+c) \sum \dfrac{1}{a+3} \geq \dfrac{4}{3} (a+b+c) \dfrac{9}{a+b+c+9} \geq \3 $
Ta có đpcm

Dám trê người ta gà ko đăng kí được nhớ .Mà sao lại viết sai chính tả như thế hả?nhưng mà phục thật .dể t thử giải được ko ?

Hinh a`. Ok cứ cho các cách giải đi. Mình lập topic để xem có bao niêu cách giải co bài toán này thôi. Có cách giải nào cứ đăng lên nhé

BDDT chặt hơn nè:
$4 \sum a^{8} (b+c) \geq (a^6+b^6+c^6)(a+b)(b+c)(c+a)$
CM: $4 \sum\dfrac{a^8}{(a+b)(a+c)} \geq a^6+b^6+c^6$....................
p/s:tới đây chắc ok, lười đánh quá

Ok thanks kiu mọi người.mời mọi người tiếp tục cho các cách giải. Cám ơn mọi người nhiều

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng :
1/(x^3+2y^3+6) + 1/(y^3+2z^3+60 + 1/(z^3+2x^3+6) <= 1

bài này trong báo toán học tuổi trẻ số 394 thì phải:
bạn viết sai đề rồi đề phải thế này:
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1
CMR: $ \sum \dfrac{1}{ x^{3}+2 y^{3}+6 } \leq \dfrac{1}{3} $

Ta có:
$ \sum \dfrac{1}{ x^{3}+2 y^{3}+6 } \leq \dfrac{1}{3xy+3y+3} $
$ VT \leq \dfrac{1}{3} \sum \dfrac{1}{xy+y+1}= \dfrac{1}{3} $
$ \Rightarrow $ đpcm

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng :
1/(x^3+2y^3+6) + 1/(y^3+2z^3+60 + 1/(z^3+2x^3+6) <= 1

bài này trong báo toán học tuổi trẻ số 394 thì phải:
bạn viết sai đề rồi đề phải thế này:
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1
CMR: $ \sum \dfrac{1}{ x^{3}+2 y^{3}+6 } \leq \dfrac{1}{3} $
Ta có bài toán quen thuộc sau
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1
CMR: $ \sum \dfrac{1}{xy+y+1} =1 $
( Bài này dễ không cm )

Ta có:
$ \sum \dfrac{1}{ x^{3}+2 y^{3}+6 } \leq \dfrac{1}{3xy+3y+3} $
$ VT \leq \dfrac{1}{3} \sum \dfrac{1}{xy+y+1}= \dfrac{1}{3} $
$ \Rightarrow $ đpcm

Mình lập topic xem có bao nhiêu cách cm BDT này nhé mong mọi người cho nhiều cách giải
Cho a,b, c là các số thực dương
CMR:
$ 4 \sum a^{8} (b+c) \geq 3 a^{2} b^{2} c^{2}(a+b)(b+c)(c+a) $