Ta có $u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}=n(u_{n-1}-u_{n-2}). $
Nếu đặt $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}$ thì ta được $v_n=nv_{n-1} .$
Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_2-u_1=2$ và $q=n.$
Cấp số nhân thì $q$ phải là hằng số bạn nhé.
Từ $v_n=nv_{n-1}, \forall n \geq 1$ ta suy ra $v_n=n!, \forall n \geq 1$. Khi đó
$$u_n-u_{n-1}=v_{n}=n!\Leftrightarrow u_n=u_{n-1}+n!, \forall n \geq 2$$
Do đó
$$\begin{align*} u_1&=1 \\ u_2 &= u_1 + 2! \\ u_3 &= u_2 + 3! \\ ... & ... \\ u_n &= u_{n-1} + n! \end{align*}$$
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được $u_n= \sum_{k=1}^{n} k!, \forall n \geq 1$.
Rất tiếc là không thể biểu diễn $u_n$ qua các hàm số sơ cấp.
$$\sum_{k=0}^{n}k!=\dfrac{i\pi}{e}+\dfrac{Ei (1)}{e}-\dfrac{(-1)^n \Gamma [n+2]\Gamma [-n-1,-1]}{e},$$
với
$$Ei(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t dt, \quad \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}dt; \quad \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}dt$$