Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác chứng minh:
$\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{bc}{a(a+b)}+\dfrac{ca}{b(b+a)} \ge \dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c} $

là $\dfrac{ca}{b(b+a)$ hay $ \dfrac{ca}{b(b+c) $

De y: $z+xy=(z+x)(z+y) \Rightarrow \dfrac{xy}{\sqrt{z+xy}} \leq \dfrac{1}{2}( \dfrac{xy}{z+x}+ \dfrac{xy}{z+y})$
Cong 3 cai lai duoc $LHS \leq \dfrac{x+y+z}{2}= \dfrac{1}{2}$
Minh tuong ban bao bai nay: $\sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$

Lời giải của mình cho bài bạn nói đến :
Đặt $S=\sum \dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}=\dfrac{xy}{\sqrt{2y(x+z)}}\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{2}+\dfrac{xy}{x+z})$
rồi tương tự với các số hạng khác ta có:
$ \dfrac{1}{\sqrt{2}}S\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{x}{2}+\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{yz}{y+x}+\dfrac{z}{2}+\dfrac{zx}{z+y})$
mặt khác có:
$\dfrac{xy}{z+x}+\dfrac{yz}{y+x}+\dfrac{zx}{z+y}\leq\dfrac{(x+y+z)(y+z+x)}{2(x+y+z)}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $ S_{max}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}.$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm max của
$ \dfrac{xy}{\sqrt{z+xy}}+\dfrac{yz}{\sqrt{x+yz}}+\dfrac{zx}{\sqrt{y+zx}}$
abstract làm được chứ?

bạn làm giúp mình bài khác nhé"
Cho $ a,b,c,d >0 $thỏa mãn : $ a^{3} +b^{3}+c^{3}+d^{3} = 4$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$A= \Sigma_{cyc}(3a^{4}+14b^{2}-16c)$

Bạn thử xem cách làm của tôi nhé:
với mọi $0<\alpha<1$ ta có bất đảng thức sau:
$a^{2}+b^{2} \geq 2ab+ \alpha (a-b)^{2}$
1) chọn $\alpha=\dfrac{2c+3}{4}$
2) chọn $\alpha=\dfrac{c^{2}+\dfrac{7}{4}}{2}$
rồi lần lượt với các biến khác, cộng theo vế, biến đỏi rồi sẽ ra.
cám ơn bạn vì lời giải!

bạn có thể làm mà không dùng schur được không? côsi chẳng hạn??

xin lỗi một chút, bài toán phải là:
Cho$0<x,y,z<\dfrac{1}{2}$ thỏa mãn: $x+y+z=1$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$ B=xy(10-3z)+yz(10-3x)+zx(10-3y)$
$ C=xy(xy-z^{2}+\dfrac{3}{4})+yz(yz-x^{2}+\dfrac{3}{4})+zx(zx-y^{2}+\dfrac{3}{4})$

----thân---

Cho $0 < x,y,z < \dfrac {1}{2}$ thỏa mãn $ x + y + z = 1.$
TÌm giá trị lớn nhất của:
$A = xy(4 - 3z) + yz(4 - 3x) + zx(4 - 3y)$
$ B=xy(10-3z)+yz(10-3x)+zx(10-3y)$
$ C=xy(xy-z^{2}+\dfrac{3}{4})+yz(yz-x^{2}+\dfrac{3}{4})+zx(zx-y^{2}+\dfrac{3}{4})$

Gọi $H,O$ là lần lượt trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC $.
Kí hiệu $ R,m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,và độ dài các đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của$ \triangle ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=(\dfrac{OH}{R})^{2}+\dfrac{2}{R}(m_{a}+m_{b}+m_{c})$

Cho $ a,b,c,d >0 $thỏa mãn : $ a^{3} +b^{3}+c^{3}+d^{3} = 4$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$A= \Sigma(3a^{4}+14b^{2}-16c)$