Mấy đề sau tối nay em post, thời gian làm thì cho đến hết ngày mai!

Câu 1 nè:
Đầu tiên ta tìm quỹ tích của trung điểm BC. Theo phép vị tự ta dễ có đó là hình tròn tiếp xúc trong với (ABC), tạm gọi là đường tròn (I)
Lấy M' là TĐ của AB. Khi đó MM' song song AC tức là MM' vuông góc với MH.
Do M' là điểm cố định nên MH sẽ đi qua điểm T sao cho M'T là đg kính của (I).

huh, đề còn viết là nội tiếp cơ mà....!!!Nhưng nếu là bàng tiép thì mình phải nghĩ xíu!

Còn bài 1 tùi thế là quá đúng rồi.
Nếu tổng quát thì lấy điểm P thuộc AB sao cho BP/AP=k/q
Khi đó ta cũng kéo dài NP cắt cung nhỏ AB tại Q, và cũng có $k.QA=q.QB.$

Bây h lại dùng ptoleme

$AM.BQ+BM.AQ=AB.MQ.
<=> AM.BQ+BM. \dfrac{q}{k}.BQ =AB.MQ
<=> (AM+BM. \dfrac{q}{k}).BQ=AB.MQ$

Nhân 2 vế với k.
$<=> k.AM+q.BM= \dfrac{AB.MQ.k}{BQ}$

Nhận xét là AB,BQ cố định nên $k.AM+q.BM max = \dfrac{AB.k.2R}{BQ}$ khi MQ là đường kính.

Bài 2 thì để đi học về giải nốt nhé, bb.

Tìm số nguyên dương n để đẳng thức sau thỏa mãn và tính các góc của tam giác ABC.
$
\sqrt[2000]{tg^nA} + \sqrt[2000]{tg^nB} + \sqrt[2000]{tg^nC} = \dfrac{n(3 \sqrt{3}-1)+6000 }{2000}$

Okie, lâu lắm rồi mới lên Diễn đàn... Giải thử tí coi!!!

Bài 1:
Bài này khá quen...
Để cho dễ viết, mình sẽ lấy với trường hợp đặc biệt là MA+2MB chẳng hạn. Rồi sau đó tương tự dễ thôi...!!
Lấy N là trung điểm cung lớn AB. P là điểm thuộc đoạn AB sao cho AP=2BP.
Kéo dài NP cắt cung nhỏ AB tại điểm Q.
Khi đó theo tính chất đg PG thì QA=2QB.
Sau đó dùng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp AMBQ.
$AM.BQ+BM.AQ=AB.MQ
<=>(AM+2BM).BQ=AB.MQ$
Dễ thấy Q cố định nên AM+2BM lớn nhất khi MQ lớn nhất tức là MQ là đg kính....!

Đối với bài tổng quát chỉ cần thay tỉ số 1:2=k:q là giải đc...!

Bài 2:
Cái này là hệ thức Euler, CM dễ thôi, chỉ cần dùng phương tích. Nhanh hơn nữa thì dùng lượng giác.
Bài này sẽ nảy ra 1 hệ quả là với mọi tam giác $R \geq 2r$.
Cứ tự CM đi, ko hề khó đâu...!

Bây h là hai bài toán mở rộng mà rid? nghĩ ra từ 2 bài trên...hehehe!!Khó hơn nhiều đấy!

Bài 1: Cho (O) và 2 điểm cố định A,B. M chuyển động trên cung lớn AB. E là tâm đường tròn chín điểm Euler của tam giác MAB.
Tìm max: EA+EM+EB.
Lưu ý: Bài toán này còn đúng với E là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, và còn mấy điểm nữa rid đang thử tìm max.

Bài 2: CMR:Trong một tam giác bất kì, bình phương khoảng cách từ tâm đg tròn nội tiếp tam giác tớ trọng tâm tam giác luôn bằng:
$\dfrac{1}{9} (p^2+5r^2-16Rr)$ với p là nửa chu vi.

Good luck!

Cứ làm phát screenshot rồi upload lên

Bài 2:Sử dụng BĐT:
Ta có:Hạ AH,CK vuông góc với CD,AB
$8^2=(AB+CD+AC)^2 \geq 4(AB+DC)AC=4.AB.AH+4.CD.CK \geq 8S(ABCD)=64$
Dấu"=" xảy ra khi AH=CK=AC, AB+CD=AC=4.Hay tứ giác ABCD là hình thang
Đến đây dễ dàng tính đg chéo BD còn lại.

Bài 1 nè:
Để ý rằng
$S(AOB)=1/2.OA.OB.sin \widehat{AOB} $
Tương tự ta có tích 4 diện tích là
$OA.OA.OB.OB.OC.OC.OD.OD.sin^2 \widehat{AOB}.sin^2 \widehat{AOC}.1/16 =(1/4.OA.OB.OC.OD.sin \widehat{AOB}.sin \widehat{AOC})^2$là số CP

Câu 2 hình như phải là góc EIF mới tính được, bạn thử kiểm tra lại..!

Thực ra nếu chỉ dùng compa và biết đoạn thẳng có độ dài a cho trước ta có thể biết đoạn có độ dài $\sqrt{n}a$ với n là số tự nhiên >1.
Cả nhà CM thử.

Anh ơi, em hổng down đc, click vô hiện lên một đống dấu ? gì gì đó...!
Chắc tại DĐ đang bị đơ...!

Bên MnF có down đc không ạ? Cho em cái link

Rid? không hiểu memath CM EF song song MN kỉu chi???

Một câu đố nho nhỏ:
Năm 4582 có bao nhiêu ngày???

Ta sẽ làm bài toán "thoáng" hơn 1 chút như sau:
+Để "xử lí" đoạn AM, ta sẽ nghĩ tới 1 đoạn thẳng khác cũng vuông góc với AM và CM nó phải song song với PQ.
+Từ ý nghĩ trên, ta nhớ tới bài toán sau:
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, Phía ngoài dựng 2 tam giác vuông cân ABX và ACY vuông cân tại A.Khi đó AM sẽ vuông góc với XY.
CM bài trên chỉ sdg kiến thức lớp 7.
+Áp dụng trở lại bài toán, ta dựng hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABX và ACY, cần phải CM XY song song với PQ.
Dễ thấy tam giác APB và AQC đồng dạng nên đưa tới tỉ số:
$AP/AB=AQ/AC$
=>AP/AX=AQ/AY=> XY song song PQ theo Thales đảo. Vì vậy ta có đpcm!!!

Tất nhiên bài toán có nhiều cách giải quyết khác nhưng cách này theo rid là đẹp trong cách suy nghĩ nhất vì nó rất tự nhiên!!!

Bài này dễ thôi mà!
$S(BMN)=S(BMD)=a^2$
Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên $BD/DC=a/b$
Khi đó ta tính đc S(ABC)

Nếu để là$ S(BMN)=a^2; S(CDM)=b^2$ thì vẫn giải đc nhưng sẽ khó hơn!

Thế thì làm đc đấy, bây h không có thời gian, anh cứ post hướng trước, để em tự nghĩ nốt thì tốt hơn. Có gì không hiểu thì hỏi sau.
Để "xử lí" đồng thời đk BM=CN và đk G là trọng tâm tam giác BMN, ta sẽ kéo dài BG cắt AC tại K. Khi đó BNKM là hbh. Tức là G là điểm thuộc đoạc BK sao cho BG bằng nửa GK.
Đến đây thì dễ rồi...!

Khoan đã nào, thế này thì đề nhầm, bởi nếu vậy khi KN chuyển động song song với BC thì các góc của tam giác thay đổi...!!!

Anh tưởng đpcm tiếng anh kí hiệu là 3 dấu chấm thành hình tam giác chứ...???
Bài tiếp luôn nè, khá khó vì khá quái:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác AD(D thuộc BC). Một đường tròn qua A,D cắt AB,AC tại M,N.
a)CMR:BM=CN( câu này nếu lớp 8 biết đôi chút là giải được)
*b)Tìm quỹ tích TĐ MN khi đường tròn thay đổi.( Dùng 1 bổ đề lớp 8)

Dễ thôi mà, chỉ cần tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác BCD.
Ở câu a) BG max khi BM max với M là TĐ CD. Quỹ tích của điểm M là đg tròn đk AO nên dễ tìm đc max.
Ở câu b), ta chuyển về bài toán sau:
Cho đường tròn đk AO với AB là dây cung cố định.M chđg trên đg tròn. G là điểm thuộc BM sao cho GM bẳng nửa GB.
Đến đây tìm đc quỹ tích G và làm tương tự câu a)

Giải thử xem sao:
Hạ MH vuông góc với BC. Hạ BK vuông góc AC.
Gọi BK bằng A. Ta tính đc MH,BM theo a. và so sánh thấy $\sqrt{2}MH=BM $ nên góc MBH bằng 1v.

Bài này đúng với tiết diện tròn bất kì.

M,N phải có đk gì chứ, với cả điểm G để làm gì???

Câu C chắc là M chuyển động sao cho tam giác MAB vuông tại M đấy.
Bài này cơ bản thôi, bạn tự nghĩ tiếp nhé...!

Em học tứ giác nội tiếp chưa nhỉ???
nếu có biết qua rồi thì bài này dễ lắm, chỉ cộng góc là được.
+Tứ giác AKDB nội tiếp được=> $\widehat{AKB} = \widehat{ADB}$
+Tứ giác ATHD nội tiếp được=> $\widehat{BTH} = \widehat{ADB}$
Từ 2 điều trên ta suy ra điều phải CM.

a)Dùng tứ giác nội tiếp rồi cộng góc là được...!!!
b)Khó wé...!!! Nghĩ mãi mới ra...!!!
Đây là hướng suy nghĩ của em, các bác xem thử:
+Dự đoán: Xét với đường kính đi qua A,B,C, ta suy ra đường tròn phải tìm đi qua 3 chân đường vuông góc của tam giác ABC.=>Đó là đg tròn 9 điểm Euler.
+Ta sẽ CM điểm I thuộc đường tròn 9 điểm Euler của tam giác ABC.
Trước tiên ta sẽ sử dụng 2 bổ đề.
1.Đường thẳng Simson của điểm M đi qua TĐ đoạn HM với H là trực tâm tam giác ABC.(Cái này CM dễ nhưng em quên rồi...!)
2.Trung điểm đoạn OH chính là tâm đường tròn 9 điểm Euler.

Ta nhận xét:
Theo bổ đề 1, I sẽ thuộc đg tròn Euler nếu đường trung bình EF của tam giác HMN là đường kính của đg tròn Euler(Với E,F là TĐ HM,HN)
Từ đây ta đi CM È là đg kính của đg tròn.Nhưng TĐ của EF chính là TĐ của HO theo Thales, nên theo bổ đề 2 ta có đpcm!!!

Hai trung tuyến vuông góc khi mà $a^2+b^2=5c^2$

Em chả hiểu bác khongtu đưa cái link đấy để làm gì có lời giải đâu em text vào cái link dưới nó bắt đăng nhập
Mà sao lại có tứ giác lõm ở đây.SGK 8 nói rõ là : "Từ nay về sau nếu không nói gì thêm thì hiểu là tứ giác lồi" cơ mà

Nhưng lúc Đirichlet xong thì chỉ có 4điểm thuộc hv.Vì vậy có thể có 2 trg hợp:
+4 điểm tạo thành tứ giác lồi.
+4 điểm tạo thành tứ giác lõm