Bài 1:
Chia hình đã cho thành 16 hình vuông nhỏ cạnh 5 thì có ít nhất 6 điểm cùng thuộc 1 hình vuông nhỏ, hình vg nhỏ có đường chéo bằng $ \sqrt{50} $ <8 nên thuộc đường tròn bán kính 4
Bài 2:
Có 1 ng` A quen 67 người khác
Ta cần CM trong 67 ngừoi này(Giờ ta sẽ chỉ xét trong 67 người đó) có ít nhất 3 ngừoi đôi 1 quen nhau với mỗi ngừoi quen ít nhất 67-32-1=34 ngừoi
Thật vậy giả sử B là người quen ít nhât trong 67 n` đó
C là một trong số những người B quen , C lại quen ít nhât 33 người khác B nên phải có ngừoi C và B cùng quen
là D
Vậy bộ ABCD là 4 ngừoi cần tìm!

hehe mình khai trương phiếu đầu cho Toán rời rạc đây !Mình thik làm toán rời rạc vì nó khá đa dạng, logic nhiều và còn có nhiều mẹo vặt nữa!

Ta thấy ngũ giác đều thỏa mãn. Các đường chéo kẻ từ mỗi đỉnh là 2
Giả sử đa giác có >5 đỉnh.=>có ít nhất 3 đường chéo kẻ từ 1 đỉnh bất kỳ tới các đỉnh còn lại không kề nó
Giả sử có 3 đường chéo là AB,AC,AD bằng nhau( AC nằm giữa tia AB và AD)
=> BD cũng là 1 đường chéo => BD=AB=AD=AC
=>tam giác ABD đều
Lại có AB=AC, nếu BC cũng là 1 đường chéo thì tam giác ABC đều
=> loại
Vậy BC chỉ là 1 cạnh
=> đa giác thỏa mãn có < 7 đỉnh
Nếu đa giác tm có 6 đỉnh ta CM dc đa giác đó là lục giác đều nhưng ở đây lại có AC không bằng AB nên loại
Vậy có nhiều nhất 5 đỉnh!

Bài 2
Ta có để A nguyên thì 12$ n^{2}+1=(2k+1)^{2} $(do lẻ)
<=> $3n^{2}= k^{2}+k$
<=>$ n^{2}= \dfrac{k(k+1)}{3} $
Nếu k=3a với a tự nhiên thì =>$ n^{2}=a(3a+1) $
Mà a và 3a+1 ng tố cùng nhau =>3a+1 là scp
Khi đó A=2+2(6a+1)=12a+4=4(3a+1) là scp
Nếu k= 3a-1 thì ta cũng làm tương tự => A là scp !

Bài 10 luôn nè:
$ 3^{n} +427= a^{2} $.Có 427=61.7=427.1
Nếu n chẵn=2k
=> $427=(a-3^{k})(a+3^{k}) $
Vì (427-1)/2 ko là lũy thừa của 3 =>loại
Có (61-7)/2 = 27 nên $ 3^{k} =3^{3}, n=6$ thỏa mãn
Nếu n lẻ thì $ 3^{n}$ chia 4 dư 3=> $ 3^{n} +427 $chia 4 dư 2 nên ko là scp
Vậy ta tìm được n=6!

Bài 7
Ta cần CM A=2d-1, B=5d-1, C=13d-1 không cùng là scp!
Xét số dư khi chia cho 9. Giả sử d=9k+r (r<9)
Một scp chia 9 dư 0,1, hoặc 4
=>2r-1 chia 9 dư 0,1 hoặc 4
Vì r<9 nên r thuộc 5, 1, 7
Nếu r =5 thì 5d-1 chia 9 dư 3 loại
Nếu r=1 thì 13d-1 chia 9 dư 3 loại
Nếu r=7 thì 5d-1 chia 9 du7 loại
Vậy ta có đpcm!

Không biết là đúng hay sai nữa !!
Bài 4 :
b, Ta có M có dạng 4k + 3 . Giả sử $ M = a^2 + b^2$
Do số chính phương luôn có dạng 4n hoặc 4n + 1 nên ta xét các trường hợp .
Với a = 4m , b = 4n + 1
$ \Rightarrow M = 4( m + n ) + 1 \neq 4k + 3$
Với a = 4m , b = 4m
Dễ thấy M chia hết cho 4 , do vậy không có số nào thỏa mãn
Với a = 4m + 1 , b = 4n + 1 .
Dễ thấy khi đó M chia hết cho 2 , ta cũng không có số nào thỏa mãn !!!!
Vậy M không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương .

Bạn nhìn nhầm đề rùi, 7! mà!
M chia hết cho 4 đấy!

Bài này đơn giản anh làm rồi !
1.Giải hệ PT $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x{y^2} = 40y \\ {y^3} + {x^2}y = 10x \\ \end{array} \right.$

hệ <=> $\left\{ \begin{array}{l} {y^2}+x^{2}) = 40y \\ ({y^2} + {x^2})y = 10x \\ \end{array} \right.$
<=>$\dfrac{40y}{x} = \dfrac{10x}{y} ={y^2}+x^{2} $
=> $ \dfrac{4y}{x} = \dfrac{x}{y} $ => $ \dfrac{x}{y} $=2 hoặc -2
Thế vào rồi giải như pt một ẩn!

với cái dạng bài này bạn hãy đưa về cùng hệ số rồi viết x theo y rồi thế vào 1 trong hai PT của hệ!
VD1:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0\\2x^{2}+2y^{2}+x-5y=0\end{array}\right.$
nhân cả hai vế của PT thứ nhất với 2 sau đs trừ cho PT thứ nhất cho PT thứ hai ta được:
$11y-5x+3=0$ sau đó viết x theo y hoặc y theo x rồi thế vào 1 trong hai PT của hệ!
VD2: tương tự!

vd2 mà làm vay. thì khó lem!

Tổng hệ số của cả 2 pt đều bằng 0. Có nghĩa là chắc chắn hệ có nghiệm (1,1)
Bạn hãy phân tích ra các thừa số chứa (x-1) và (y-1) và (x-1) hoặc (x-y) là bài toán được giải quyết thôi mà

minh cung~ nghi~ vay. rui` nhung ban. cong. hai pt ntn tao. ra pt phan tích dc mói khó! néu dc thì phièn ban. giải luon giùm minh vs, dg`huong là vay. n làm lai. là chuyen. khác daý!
dù sao cung~ cám on moi. ng`!

Các hạ làm sok quá tại hạ chả hỉu cái mô tê gì hết trơn! Cái suy ngược cuối cùng ấy, hem đỡ được!
(_ _!)

Có một số hpt mà trong đó các hệ số mỗi pt tổng bằng 0!
VD1:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0\\2x^{2}+2y^{2}+x-5y=0\end{array}\right.$
VD2:
$ \left\{\begin{array}{l}2x^{2}-15xy+4y^{2}-12x+45y-24=0\\x^{2}-2y+3y^{2}-3x+xy=0\end{array}\right.$
Ai biết giúp em nha. Tks!

Bài 9:
Đặt A là số cần tìm Ta có:
A=$ 5 m^{5} = 3. n^{3}=2.p^{2} $
Như vậy A có các ước nguyên tố 5,3,2. Mà A là số bé nhất thỏa mãn nên ta có A=$ 5^{a}.3^{b}.2^{c} $
Xét nhân tử $ 5^{a} $, vì A/3=$ n^{3} $, A/2$ p^{2}$ nên $ n^{3} $,$ p^{2}$ chứa nhân tử $ 5^{a} $=> a phải chia hết cho 2,3
Mặt khác $ A=5.m^{5}$ nên a chia 5 dư 1.
=>a nhỏ nhất là 6
Tương tự ta có b chia hết cho 2,5, chia 3 dư 1 nên b nhỏ nhất là 10
c chia hết cho 5,3 chia 2 dư 1 nên c nhỏ nhất là 15
Vậy A nhỏ nhất là $5^{6}.3^{10}.2^{15} $ Thử lại thỏa mãn.

HIc.sao hem ai giúp mình hết vậy T.T! ?

Bài 5 nè:
Tổng đã cho bằng
$ 4^{p} + 4^{q} $
Giả sử p>q
Đặt nhân tử chung =$ 4^{p} (1 + 4^{p-q}) $ => ta cần CM $ 4^{p-q} +1 $ không là scp với mọi kp,qthuộc N
Mà $ 4^{p-q} $ là scp khác 0, nên cộng 1 không thể là scp ( vì nếu thế 1 là hiệu 2 scp khác 0 hay 1=(a+b)(a-b) vô lý )
Như vậy ta có đpcm.

Bài 1 nè:
Ta có bài toán cho điẻm M,N ngoài đường thẳng d , tìm đường ngắn nhất đi từ M tới d rồi về N
Bài trên ta lấy đối xứng của M qua d là M', M'n cắt d ở P=> áp dụng bđt tam giác có MPN là đường ngắn nhất!
Ở bài này ta giả sử M thuộc AB đường ngắn nhất có đi qua điểm N thuộc CD thì ta tìm được giao điềm của đường đi và hai cạnh còn lại bằng cách SD bài toán trên.(Lấy M1 là điểm đối xứng với M qua BC,
M2 '' DA.)
thì ta có đường ngắn nhất có đi qua M và N thỏa mãn bài ra bằng chu vi tam giác M1NM2 mà cạnh M1M2 không đổi =2AB, chiều cao cố định nên P nhỏ nhất khi N thuộc đường trung trực M1M2. Vậy đã tìm được đường ngắn nhất rùi

rat cam on ban đa giup minh!!
minh ko biet cach lam, lam theo cach cua ban thi phan b) chua chinh xac.
a=1;b=9 => ta co : 9cb1=1bc9.9=> 9000+100c+10b+1=9000+900b+90c+81=> 10c=890b + 80 => c= 89b +8
do c =9 hoac <9 => c=8 => b=0
ta co abcd = 1089 va dcba = 9801 thoa man ma!!
( neu giup dc minh bai nao thi lam tiep nhe! dạng này minh ko biet cach lam, cung ko hieu lam)
Van thanks ban

Thks, mình nhầm chỗ xét a=1 b=9, mình nghĩ bc là số có 2 chữ số nên b>0 thiếu TH
Bạn xét như mình thì được b phải =0 từ đó thay vào bc.9+8=cb
<=>c.9+8=c.10 =>c=8 Thử lại thỏa mãn thì có 1089 là số cần tìm!

Mình đọc làm được luôn bài 1 trước nhé, mấy bài sau về nghĩ tiếp
a.Nhận thấy n! nếu n>5 thì chia hết cho 5
1!+2!+3!+4!=33 chia 5 dư 3
=>khồng là scp
Để thỏa mãn n phải <5 và thử chọn ta có n=1,3 thỏa mãn

b.Suy ra thương của dcba cho abcd là 1 ,4 hoặc 9
Xét là` 1=> a=b=c=d=>ko tìm được (chắc thế ^^)
Xét là 4, thì a phải chẵn, lại là tận cùng của 1 scp nên thuộc 4,6 loại vì như thế abcd nhân 4 sẽ có 5 chữ số
Xét là 9 thì a bằng 1 =>d bằng 9, bc .9+8=cb =>b<2, b=1 =>c>=9 vậy c=9 thử lại ko tm
Vậy không tìm được số nào!

Gọi 1993 số đã cho sắp theo thứ tự tăng dần là A1,A2,A3,..,A1993
Xét 1992 tổng S(n)=A1+A2+A3+..+An với n chạy từ 1 tới 1992
và tổng S*=A1+A2+..+A1992+A1
Nhận thấy vì A1<A1993, không có số nào >1993 nên S* không bằng 1993 hay 3986, lại bé hơn 3986=>không chia hết cho 1993
Nếu 1 trong 1993 tổng vừa xét có 1 tổng chia hết cho 1993, tổng đó <3986 nên bằng 1993(ok)
Nếu không có tổng nào chia hết cho 1993, thì theo ng tắc Đi rích lê có ít nhất hai tổng khi chia cho 1993 nhận cùng 1 số dư
=>Hiệu hai tổng đó là tổng của 1 số số trong 1993 số đã cho và khác không, chia hết cho 1993 lại nhỏ hơn 3986 nên=1993(ok)
=>đpcm

Trong một lớp học có 100 người tham gia và mỗi người quen ko dưới 50 người trong số người dự họp. Hỏi có thể chọn được 4 người trong 100 người đó để xếp họ ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều quen với hai người ngồi cạnh mình.

Nếu không tồn tại hai người không quen nhau =>đpcm
Nếu tồn tại hai người ko quen nhau,
Lấy A và B không quen nhau, tổng số người quen của học ít nhất là 100, ma` chỉ có 98 người học có thể quen(trừ chính họ)
=>có hai ngừoi mà A và B đều quen là C và D
Như vậy ta có cách săp xép: A_C_B_D_A

Bài 2: CMR một đa giác bất kỳ có chu vi bằng 2a có thể phủ kín bằng một hình tròn có đường kính bằng a.

Nếu trong các đường chéo có 1 đường không nhỏ hơn 2a thì chu vi đa giác >2a Vô lý (áp dụng bổ đề: trong 1 đa giác, độ dài 1 cạnh nhỏ hơn tổng độ dài các cạnh còn lại được CM bằng quy nạp)
Như vậy tất cả các đường chéo đều <2a
=> Nếu lấy mỗi đỉnh đa giác làm tâm vẽ các đường tròn bán kính a thì các đường này có phần S chung
Lấy 1 điểm thuộc phần đó làm tâm ta có đường tròn thao mãn.

sau ngày đầu rùa đi được 1/10 quãng đường.
Sau ngày hai rùa đi được thêm 10m tức là 10/200=1/20 quãng đường
...
Như vậy ngày n sẽ đi được 1/10+1/20+..+1/(n.10) Quãng đường
Tồn tại n để biểu thức trên >1 nên rùa có thể tới đích

1/
Giả sử ta đã có n đường thẳng. Vẽ thêm đường thứ n+1.
Đường mới này khi đi qua một đường thẳng bất kỳ trong n đường đã có(gọi tạm là đường d) sẽ chia đôi 2 miền,mổi miền này nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ d
(Như vậy đồng nghĩa với việc tăng thêm 2 miền)
=> số miền sẽ tăng 2n
Nhưng tính như vậy, những miền được chia đôi nằm giữa đường d( nghĩa là những miền chỉ có 1 đoạn thẳng thuộc đường d đi qua) được tính 2 lần, chỉ có 2 miền nằm ở hai đầu đường d ( nghĩa là hai miền có cả một tia thuộc đường d cắt qua) thì tính 1 lần.
=>Thực chất chỉ tăng thêm (2n-2)/2+2 =n+1 miền
Mà một đường thẳng sẽ chia mp thành 2 miền
=>n đường sẽ chia thành 1+1+2+3+...+(n+1 ) miền!
2/
Ta không thể tô được theo yêu cầu khi và chỉ khi có ít nhất 3 miền kề nhau đôi một.
=>Vô lý
Vậy ta có thể tô được theo yêu cầu.
(Sr mọi ngừơi khả năng diễn đạt hơi kém ^^!)

hic.. sao chả hỉu đề đón ra sao vậy??

Gọi nam sinh nhảy với nhiều nữ sinh nhất là A (thằng này thật là ba chấm)
Luôn Tồn tại nữ sinh B không nhảy với A, B phải nhảy với 1 nam sinh khác là C
Vì số nữ nhảy với C ít hơn A nên tồn tại nữ sinh D nhảy với A nhưng ko với C
Vậy ABCD là nhóm cần tìm!

Bài này mình nghĩ ra đề để kỉ niệm ngày sinh nhật của Thầy giáo (ngày 18/12) , đáp số là 1812 mọi người giải dùm mình với!

Tìm 3 chữ số $a,b,c$ phân biệt thỏa mãn
Gọi A là số có 4 chữ số $\overline{abac}$
$x$ là số có 2 chữ số $\overline{ab}$
$y$ là số có 2 chữ số $\overline{ac}$ thì:
$A : y=p_1$
$p_1-y^2=p_2$
$x^2-p_1=p_3$ với $p_1,p_2,p_3$ nguyên tố.