Vậy điều kiện của $xy$ là gì bạn???
Do x > 0, y > 0 nên theo AM - GM $4xy=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2\sqrt{xy}(2\sqrt{xy}-1)\geq 0\Rightarrow xy\geq \frac{1}{4}$
Vậy $1\geq xy\geq\frac{1}{4}$
Có 27 mục bởi RainThunde (Tìm giới hạn từ 25-04-2020)
Đã gửi bởi RainThunde on 02-05-2014 - 02:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Vậy điều kiện của $xy$ là gì bạn???
Do x > 0, y > 0 nên theo AM - GM $4xy=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2\sqrt{xy}(2\sqrt{xy}-1)\geq 0\Rightarrow xy\geq \frac{1}{4}$
Vậy $1\geq xy\geq\frac{1}{4}$
Đã gửi bởi RainThunde on 22-04-2014 - 02:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đặt $x=b/a$, $y=c/b$, $z=a/c\Rightarrow xyz=1$. Bđt đã cho trở thành:
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$
Bạn có thể tham khảo cách chứng minh bài này ở đây: http://diendantoanho...eft-1a-right-2/
Đã gửi bởi RainThunde on 19-04-2014 - 02:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra
Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$
$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$
$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$
$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$
Đã gửi bởi RainThunde on 18-04-2014 - 03:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
$x^2+y^2=xy+3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}$. Thay vào biểu thức Q:Bài 2: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + y^2 = xy + 3$
Tìm min, Max của $Q = \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy}$
$x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2}{3}$. Thế vào biểu thức S:Bài 3: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + xy + y^2 = 3$
Tìm min, Max của $S = x^3 + y^3 - 3x - 3y$
Đã gửi bởi RainThunde on 16-04-2014 - 02:10 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cách giải hình học:
$A=\sqrt{2}\left (\sqrt{x^2+y^2-x+y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+x-y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\right )$
$=\sqrt{2}\left (\sqrt{\left (x-\frac{1}{2}\right )^2+\left (y+\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{\left (x+\frac{1}{2}\right )^2+\left (y-\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}\right )$
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right )$, $B\left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right )$, C(-1, -1). Ta cần tìm GTNN của $\sqrt{2}(MA+MB+MC)$.
Để MA + MB + MC đạt GTNN thì M phải là điểm Fermat (hay điểm Torricelli) của tam giác ABC (mình sẽ không chứng minh, các bạn có thể tham khảo Google hoặc http://en.wikipedia....ki/Fermat_point). Dễ thấy tam giác ABC nhọn nên M sẽ nằm trong tam giác. Cách dựng điểm M như sau:
- Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABC', CAB'
- Giao điểm của BB' và CC' là điểm M cần tìm.
Ta tính được
$C' = \left (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right )$, phương trình đường thẳng CC': $x-y=0$
$B' = \left (-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )$, phương trình đường thẳng BB': $\left (\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )x+\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right )y+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0$
Suy ra $M=\left (-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6}\right )$, khi đó biểu thức A đạt GTNN là $2+\sqrt{3}$
Đã gửi bởi RainThunde on 13-04-2014 - 02:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
1) Xét hàm số $f(x)=4\sqrt{x}-x^2$
$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-2x=0\Leftrightarrow x=1$
Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thu được $f(x)\leq 3$ với mọi x>0
Vậy GTLN của A là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
2) $B\leq 2(a^2+b^2+c^2)-4(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3(a^2+b^2+c^2)=A$
Vậy GTLN của B là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
3) Theo câu 2:
$C=\frac{ab+bc+ca+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{a^2+b^2+c^2+3}\leq \frac{9+3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{3}{2}$
Vậy GTLN của C là $\frac{3}{2}$, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.
Đã gửi bởi RainThunde on 13-04-2014 - 02:19 trong Bất đẳng thức - Cực trị
@solution co the noi ro hon duoc khong?
$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}\geq 4\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=4\sqrt[3]{abc}$
P/s: Bạn Solution cũng không online từ năm 2005 đến giờ. Mình nghĩ bạn nên lập chủ đề mới để hỏi, không nên gửi bài vào những chủ đề đã cũ.
Đã gửi bởi RainThunde on 11-04-2014 - 00:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Phần đặt ẩn x, y ban đầu của bạn rất hay. Cho mình hỏi với dạng bài tập như thế nào thì nên đặt như vậy.
Mình chỉ học tập kinh nghiệm từ bài này: http://diendantoanho...t-bc-right-4c2/. Theo ý kiến cá nhân mình, những bài bđt ba biến, nhưng chỉ đối xứng với hai biến (trong bài của bạn thì đối xứng với b và c) thì có thể sử dụng.
Đã gửi bởi RainThunde on 10-04-2014 - 02:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Khả năng là không tồn tại max
Cho $a=b=10^-4, c=10^8$, kết quả xấp xỉ 3333:
http://www.wolframal...2*10^8+10^(-8))
Nếu cho $a=b=10^-5, c=10^10$, kết quả xấp xỉ 33333:
Đã gửi bởi RainThunde on 10-04-2014 - 01:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$
Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$
$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$
$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$
Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$
Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.
Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$
Vậy P không tồn tại GTNN
Đã gửi bởi RainThunde on 10-04-2014 - 01:12 trong Bất đẳng thức - Cực trị
bạn ơi mình chưa hiểu tại sao
$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)$
Chứng minh:
- Nếu $x+y-z<0\Rightarrow y+z-x>2y>0$ và $z+x-y>2x>0$
$\Rightarrow xyz>0>(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$.
Tương tự cho các trường hợp $y+z-x<0$ và $z+x-y<0$
- Nếu $x+y-z\geq 0$, $y+z-x\geq 0$ và $z+x-y\geq 0$:
Theo AM-GM $\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)}\leq y$
$\sqrt{(y+z-x)(z+x-y)}\leq z$
$\sqrt{(z+x-y)(x+y-z)}\leq x$
Nhân từng vế 3BĐT trên ta được $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$
- Vậy BĐT đã cho đúng.
Nhận xét: Nếu khai triển ra thì đây là bđt Schur với n=1
$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$
Đã gửi bởi RainThunde on 08-04-2014 - 01:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này nằm trong đề thi Olympic Toán Mỹ năm 1980.
Giả sử $x\geq y\geq z$. Ta có:
$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=1$
$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$
$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}$ (1)
Mặt khác $x\geq y\geq z$
$\Rightarrow \frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}$ (2)
$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}$ (3)
Từ (1), (2), (3)
$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq 1$
Vậy GTLN của P = 1, xảy ra $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị
Đã gửi bởi RainThunde on 01-04-2014 - 01:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.
Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.
Ta có:
$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$
$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$
Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.
Lập bảng biến thiên hàm trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$
Đã gửi bởi RainThunde on 31-03-2014 - 01:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
$a^{2}+2b^{2}+2ab+a-5b$
$ = a^2+(2b+1)a+\frac{4b^2+4b+1}{4}+b^2-6b+9-\frac{37}{4}$
$ = \left(a+\frac{2b+1}{2}\right)^2+(b-3)^2-\frac{37}{4} \geq -\frac{37}{4}$
Vậy min $a^{2}+2b^{2}+2ab+a-5b = -\frac{37}{4}$ $\Leftrightarrow$ $a=-\frac{7}{2}$, $b=3$
Đã gửi bởi RainThunde on 31-03-2014 - 01:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 26-03-2014 - 17:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nếu bạn đã học khảo sát hàm số thì chỉ cần thay $y=1-x$ sau đó khảo sát vế trái là ra kết quả.
Nếu bạn chưa học khảo sát thì có thể chứng minh hai bđt sau bằng biến đổi tương đương
$3\sqrt{1+2x^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{11}$
$2\sqrt{40+9y^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(y-\frac{2}{3}\right)+4\sqrt{11}$
cộng từng vế 2 bđt trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$
Đã gửi bởi RainThunde on 01-03-2011 - 17:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 01-03-2011 - 17:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 17-02-2011 - 18:44 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 12-02-2011 - 13:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 12-02-2011 - 13:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 13-01-2011 - 19:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 13-01-2011 - 19:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 13-01-2011 - 19:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi RainThunde on 21-12-2010 - 18:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học