Câu bất phương trình kết quả của mấy bạn đúng nhưng cách làm thì dài lắm, xét 2 trường hợp, mỗi trường hợp lại có điều kiện riêng.
Mình chuyển (x+1) sang vế phải, xét trường hợp vế phải âm và dương rồi bình phương mới chính xác
Bài BĐT thế z rồi đưa về biến xy cũng ra, điều kiện của xy tìm cũng dễ hơn

ngu hình từ bé nên bài hình bỏ, bài số thì ko chém được, bài tổ hợp thì lí luận suông
rút cục chả làm được gì
ngày mai chắc cũng thế nốt

hình như có mỗi bạn ở Cần Thơ, ngày mai làm quen phát

Đề đội Delta khó quá, đề nghị cung cấp đáp án để ALPHA mở rộng tầm mắt

Một phản ví dụ cho Câu 3 của Delta
lấy $a=b=3,c=4$

$ \Rightarrow f\left( {x,y} \right) = 3{x^2} + 3xy + 4{y^2}$ xét với x,y nguyên
$D = 3 \Rightarrow 2\sqrt {\frac{D}{3}} = 2$
ta sẽ chứng minh không tồn tại $x,y$ nguyên để $\left| {f\left( {x,y} \right)} \right| \ge 2$
nếu có 1 trong 2 số $x,y$ bằng 0 thì số kia phải có trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 1

$f\left( {x,0} \right) \ge 3;f\left( {0,y} \right) \ge 4$
không thỏa mãn
vậy $xy \ne 0 \Rightarrow \left| x \right| \ge 1;\left| y \right| \ge 1;$
nếu $x,y$ cùng dấu
dễ thấy không thỏa mãn
vậy x,y khác dấu
giả sử x dương, y âm
Xét $g\left( {x,y} \right) = 3{x^2} - 3xy + 4{y^2}$

$ \Rightarrow \mathop {f\left( {x,y} \right)}\limits_{x > 0,y < 0} = \mathop {g\left( {x,y} \right)}\limits_{x > 0,y > 0} $


$x \ge y \Rightarrow g\left( {x,y} \right) = 3x\left( {x - y} \right) + 4{y^2} \ge 4 > 2$

$ \Rightarrow x < y$ (1)


$x \le \frac{4}{3}y \Rightarrow g\left( {x,y} \right) = 3{x^2} + 3y\left( {\frac{4}{3}y - x} \right) \ge 3$

$ \Rightarrow x > \frac{4}{3}y$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn
vậy không tồn tại x,y nguyên thỏa mãn

PTH_Thái Hà giải tiếp bài 5 của Delta
Nhờ anh E.Galois đọc lời giải rồi up hình hỗ trợ


Đáng tiếc là đề của Delta là sai
Thật vậy, ta lấy một phản ví dụ:
Xét hình thang cân $ABCD$ có 2 đáy là $Ab$ và $CD$, đường chéo cắt nhau tại M


Khi đó dễ thấy $MP \bot CD$
Gọi $QM \cap AD = H$
Mặt khác, nếu lấy hình thang thỏa mãn $\widehat{CAD} = \widehat{CBD} > {90^0}$ thì ta có:
$Q$ là trung điểm $BC$
$ \Rightarrow Q \in \left[ {BC} \right] \Rightarrow \widehat{QMC} < \widehat{BMC} \Leftrightarrow \widehat{AMH} < \widehat{AMD}$

Vậy xét trên nửa mặt phẳng bờ là $AM$ thì tia $MH$ nằm giữa 2 tia $MA$ và $MD$
$ \Rightarrow \widehat{DHM} = \widehat{DAM} + \widehat{HMA} > \widehat{DAM} > {90^0}$

Vậy bài toán sai

Ta có thể sửa lại như sau

Cho tứ giác $ABCD$ khác hình thang cân nội tiếp đường tròn. M là giao 2 đường chéo, P,Q là trung điểm AB,BC. Khi đó $PM \bot CD \Leftrightarrow QM \bot AD$

Lời giải:
Giả sử tứ giác $ABCD$ định hướng âm
$\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat{MCD}$

$\left( {\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \left( {\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \widehat{MDC}$

Vậy: $MP \bot CD$
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {DC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.CD.\cos \widehat{MCD} - MB.CD.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.\cos \widehat{MCD} - MB.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.MC.\cos \widehat{MCD} - MB.MC.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MB.MD.\cos \widehat{MCD} - MB.MC.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MD.\cos \widehat{MCD} = MC.\cos \widehat{MDC}$
$ \Leftrightarrow \frac{{MD}}{{MC}} = \frac{{\cos \widehat{MDC}}}{{\cos \widehat{MCD}}}$

Theo định lí $sin$ trong tam giác $MCD$
$ \Rightarrow \frac{{\sin \widehat{MCD}}}{{\sin \widehat{MDC}}} = \frac{{MD}}{{MC}} = \frac{{\cos \widehat{MDC}}}{{\cos \widehat{MCD}}}$

$ \Leftrightarrow \sin 2\widehat{MCD} = \sin 2\widehat{MDC}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \widehat{MCD} = \widehat{MDC} \\ \widehat{MCD} = {90^0} - \widehat{MDC} \\ \end{array} \right.$

Trường hợp $\widehat{MCD} = \widehat{MDC}$ sẽ suy ra tứ giác $ABCD$ là hình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy $MP \bot CD \Leftrightarrow \widehat{MCD} = {90^0} - \widehat{MDC} \Leftrightarrow \widehat{CMD} = {90^0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

Hoàn toàn tương tự ta cũng có
$MQ \bot CD \Leftrightarrow \widehat{MAD} = {90^0} - \widehat{MDA} \Leftrightarrow \widehat{AMD} = {90^0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

Bài toán được giải quyết hoàn toàn

@ PSW : 7/7 - đỉnh của đỉnh

Tân binh PTH_Thái Hà của đội ALPHA xin giải bài 4 của Delta

$f\left( {f\left( x \right) + y} \right) = 2y + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)$ (1)
Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa mãn
Đặt $f\left( 0 \right) = a$
Từ (1) cho:

$x = 0 \Rightarrow f\left( {a + y} \right) = 2y + f\left( {f\left( y \right)} \right)$ (2)

$y = 0 \Rightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {a - x} \right) \Rightarrow f\left( {f\left( y \right)} \right) = f\left( {a - y} \right)$ (3)

$ \Rightarrow f\left( {a + y} \right) = 2y + f\left( {a - y} \right)$
Cho $y = a \Rightarrow f\left( {2a} \right) = 3a$

Từ (1) thay $x = f\left( y \right) \Rightarrow f\left( {f\left( {f\left( y \right)} \right) + y} \right) = 2y + a$ (4)

Từ (2) $ \Rightarrow f\left( {a + y} \right) - y = y + f\left( {f\left( y \right)} \right)$

Thay vào (4)
$ \Rightarrow f\left( {f\left( {a + y} \right) - y} \right) = 2y + a$
Cho $y = - a \Rightarrow f\left( {2a} \right) = - 3a$

$ \Rightarrow f\left( {2a} \right) = 3a = - 3a \Rightarrow a = 0$

Thay vào (2)
$ \Rightarrow f\left( y \right) = 2y + f\left( {f\left( y \right)} \right)$

Giả sử tồn tại ${y_1},{y_2} \in R,f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {{y_2}} \right) \Rightarrow {y_1} = {y_2}$
Vậy ${f\left( x \right)}$ là đơn ánh

Từ (3)
$ \Rightarrow f\left( x \right) = a – x$

Thử lại
$VT = f\left( {a - x + y} \right) = a - \left( {a - x + y} \right) = x – y$
$VP = 2y + f\left( {a - y - x} \right) = 3y + x$

Vậy không tồn tại hàm $f$ thỏa mãn

@PSW : 7/7

Delta ra đề bị lỗi ; Hà đã giải theo đề lỗi và cho lời giai đúng

Theo quy định ; cho hưởng trọn vẹn điểm

Bài 21:
Tìm hàm $f:R->R$ thỏa mãn
i) f(x) bị chặn trên
ii)$f\left( {xf\left( y \right)} \right) + yf\left( x \right) = xf\left( y \right) + f\left( {xy} \right)$ với mọi x,y thuộc R

Hiếm có bài nào của anh supermember lại dễ ăn như vậy
Ta có: nếu tồn tại ${y_1}\& {y_2}$ để $f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {{y_2}} \right)$
$ \Rightarrow f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( {{y_1}} \right)} \right) = f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( {{y_2}} \right)} \right)$
$ \Leftrightarrow {y_1} = {y_2}$
=> f(x) là hàm đơn ánh

từ phương trình đầu, đảo vị trí của x và y, kết hợp với hàm đơn ánh
$f\left( x \right) - x = f\left( y \right) - y \forall x,y \in R$
$ \Rightarrow f\left( x \right) \equiv x$

Thử lại thỏa mãn

Bài 13:
cho x=y=z=t=0 $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 0 \\ f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right.$
(+) Nếu f(0)=1/2
cho x=y=z=0 => f(t)=0 với mọi t
(+) nếu f(0)=0
cho x=y=0 => f(x) là hàm lẻ
cho $x = z = a,y = t = b \Rightarrow {\left[ {f\left( a \right) + f\left( b \right)} \right]^2} = f\left( {2ab} \right)$
cho $x = z = a,y = b,t = - b$
$ \Rightarrow {f^2}\left( a \right) - {f^2}\left( b \right) = f\left( {2ab} \right) = {\left[ {f\left( a \right) + f\left( b \right)} \right]^2}$
$ \Leftrightarrow f\left( b \right)\left[ {f\left( a \right) + f\left( b \right)} \right] = 0$
$ \Rightarrow f\left( x \right) \equiv 0$
vì nếu tồn tại t để f(t) khác 0
$ \Rightarrow f\left( y \right) = - f\left( t \right)\forall y \ne x$ (1)
$ \Rightarrow f\left( {{y_0}} \right) = - f\left( t \right) \ne 0$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = - f\left( {{y_0}} \right) = f\left( t \right)\forall x \ne {y_0} \ne t $
mâu thuẫn với (1)
tóm lại có 2 hàm thỏa mãn là f(x)=0 và f(x) = 1/2 với mọi x

hiu hắt quá nhỉ. Thêm 1 bài:
Bài 12
tìm hàm $f:R \to R$ thỏa mãn với $x \ne 0$ thì:
$xf\left( y \right) - yf\left( x \right) = f\left( {\dfrac{y}{x}} \right)$

Giữ nguyên x, giả sử có $f(y1)=f(y2) => y1=y2$
=> $f(x)$ đơn ánh. Lại có f(x) liên tục nên f(x) đơn điệu trên R
cho x=1 có $f\left( {f\left( y \right)} \right) = yf\left( 1 \right) $
cho y=1 có $f\left( {xf\left( 1 \right)} \right) = f\left( x \right)$
$ \Rightarrow x = f\left( {f\left( x \right)} \right)$
thay vào ta có f(x) nhân tính trên R
cho x=1, y thay đổi => tập giá trị của f(x) là R

Ta chứng minh f là hàm lẻ
Giả sử tồn tại a,b thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( { - a} \right) > - f\left( a \right) \\ f\left( { - b} \right) > - f\left( b \right) \\ \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {ab} \right) = f\left( { - a. - b} \right) \ne f\left( {ab} \right)$
=> vô lí

tương tự nếu có a,b mà
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( { - a} \right) < - f\left( a \right) \\ f\left( { - b} \right) < - f\left( b \right) \\ \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {ab} \right) = f\left( { - a. - b} \right) \ne f\left( {ab} \right)$
=> vô lí

Vậy $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$

+) f(x) đồng biến
Nếu $f\left( x \right) > x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) > f\left( x \right) \Leftrightarrow x > f\left( x \right)$ => vô lí
tương tự nếu $f\left( x \right) < x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) < f\left( x \right) \Leftrightarrow x < f\left( x \right)$ => vô lí
Vậy f(x)=x

+)f(x) nghịch biến
Nếu $\[f\left( x \right) > - x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) < f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow x < - f\left( x \right) \Leftrightarrow - x > f\left( x \right) $ => vô lí
tương tự
vậy f(x) = -x

tóm lại có 2 hàm thỏa mãn là $f(x)=x và f(x) = - x$




Góp 1 bài:
Tìm $f(x)$ từ R đến R bị chặn thỏa mãn:
$$f\left( {xf\left( y \right)} \right) + yf\left( x \right) = xf\left( y \right) + f\left( {xy} \right)$$

tầm đó mình mới học lớp 7, lấy đâu ra
bài này cả min và max đều xảy ra khi 1 số bằng 0, rồi xét hàm 2 biến tìm min, max
hơi lẻ

Cho $a,b,c\ge 0; a+b+c=1$
Tìm min, max của biểu thức
$$P = a{\left( {b - c} \right)^3} + b{\left( {c - a} \right)^3} + c{\left( {b - a} \right)^3}$$

nói chung đề này đơn giản, mình vướng mỗi câu tổ hợp
bài dãy hàm $f(x)$ lấy đạo hàm phải có bình phương ở mẫu
bài số bạn cũng sai vì $3^3-1=26$ đâu có chia hết cho 4
bài này dùng cấp là tốt nhất, lời giải ko quá 1 mặt giấy

12C9 cách chọn 9 bộ số còn lại

câu này sai
9 số còn lại có thể có 3 lá trong 1 tứ quý vẫn ok

Bài 1 (5đ):
Tìm tất cả các hàm số $f\left( x \right) $ xác định trên tập số thực R và thỏa mãn:
$$f\left( {y - f\left( x \right)} \right) = f\left( {{x^{2012}} - y} \right) - 2011yf\left( x \right)$$

Bài 2 (4đ):
Cho dãy số thực $\left( {{x_n}} \right)$ thỏa mãn $\[{x_1} = \dfrac{1}{6};{x_{n + 1}} = \dfrac{{3{x_n}}}{{2{x_n} + 1}}$ với n nguyên dương
a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho

Bài 3 (3đ):
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a;b)$ sao cho $3^a+7^b$ là số chính phương

Bài 4 (5đ):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn $(0)$. Gọi P, Q, R theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D trên các đường thẳng BC, CA, AB.
a. Chứng minh 3 điểm P,Q,R thẳng hàng.
b. Chứng minh rằng QP=QR khi và chỉ khi phân giác của góc $\angle ABC$ và $\[\angle ADC $ cắt nhau tại 1 điểm thuộc AC

Bài 5 (3đ):
Một dãy ${a_1}{a_2}{a_3}...{a_n}$ với $\[{a_i} \in \left\{ {0,1} \right\},i = 1,2,3,...,n $ được gọi là 1 xâu nhị phân có độ dài n. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n ( n>3) chứa đúng 2 lần xuất hiện của 01

bạn caubeyeutoan2302 dùng dao mổ trâu để giết gà rồi
bài này chỉ cần xét số dư cho 11 là ok
đúng 3 dòng

Đếm các bộ 13 trong 52 lá bài tú lơ khơ sao cho có đúng 1 tứ quý

bài phương trình hàm vòng 1
xét trường hợp không tồn tại $i$ sao cho $f(i)=f(i+2)$
Có
$f\left( x \right) + f\left( {x + 1} \right) = f\left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right) - 22$
$ \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) + f\left( {x + 2} \right) = f\left( {x + 3} \right)f\left( {x + 4} \right) - 22$
Giả sử $f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)$
$ \Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right) = \left[ {f\left( {2n + 2} \right) - f\left( {2n} \right)} \right].\prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {2i + 1} \right)}$ (1)
nếu $f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right)$ thì
$ \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) = \left[ {f\left( {2n} \right) - f\left( {2n + 2} \right)} \right].\prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {2i + 1} \right)} $
tương tự có
$ \Rightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = \left[ {f\left( {2n + 3} \right) - f\left( {2n + 1} \right)} \right].\prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {2i} \right)} $ (2)

Nên nếu có $x$ để $ f\left( x \right) = 1 $ thì suy ra
$f\left( {x - 2} \right) - f\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) - f\left( {x + 2} \right)} \right]$
$ \Leftrightarrow f\left( {x - 2} \right) - 1 = f\left( {x - 1} \right)\left[ {1 - f\left( {x + 2} \right)} \right]$
vô lí vì VT>0, VP<0

suy ra f(x) khác 1 với mọi x

từ (1) và (2) khi cho n chạy đến dương vô cùng thì thì $f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) $ và $ f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right)$ sẽ chia hết cho vô số số khác 1

=> f(3) =f(1) và f(2)=f(4) trái giả sử

nếu f(3) =f(1) và f(2)=f(4) thì quy nạp có

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( 3 \right) = f\left( 1 \right) = a = f\left( {2x + 1} \right) \\ f\left( 4 \right) = f\left( 2 \right) = b = f\left( {2x} \right) \\ \end{array} \right.$

thay vào tìm a và b

1) Nick trên diễn đàn: PTH_Thái Hà
2) Tên thật: P/hạm Thái Hà
3) Ngày sinh: 15/8/1994
4) Lớp, trường (tỉnh) đang học: 12 Toán, THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam
5) Vị trí muốn đăng kí: ĐHV Olympiad

Muốn đăng kí lắm nhưng điều kiện không cho phép
buồn

từ pt 1 nếu $x<0$ thì $y>1$ nên không thỏa mãn pt 2
$ \Rightarrow 0 \le x,y \le 1$
trừ 2 pt cho nhau được
${x^3}\left( {1 - x} \right) + {y^3}\left( {1 - y} \right) = 0$
từ điều kiện của x,y dễ thấy VT>=VP
đẳng thức khi x=1,y=0 hoặc x=0,y=1
đó là 2 nghiệm của hệ

hệ cũng được nhỉ:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 12x = y + 6{x^2} \\ y + \sqrt {y - 7} + \sqrt {10 - y} = 9 + \sqrt 2 + {\left( {x - 2} \right)^6} \\ \end{array} \right.$

đơn giản

bạn hơi bi quan đấy
năm nay là năm cuối cấp của khá nhiều thành viên tích cực của VMF nên đương nhiên là VMF sẽ kém đi
cái gì mới cũng cần thời gian để thích ứng
mình ủng hộ việc thay đổi

câu 1 chắc chắn là nhầm đề, vế phải hiển nhiên lớn hơn 0. Có lẽ là phải thêm độ dài đại số
câu 2
$a\overrightarrow {IA}+ b\overrightarrow {IB}+c\overrightarrow {IC} =\overrightarrow 0$
đây là bài tập cơ bản, gần như lí thuyết khi học tâm tỉ cự
cái này tìm trong Bài tập nâng cao phát triển hình của Nguyễn Minh Hà là có ngay

bạn nên học gõ latex đi, tôt nhất nên tải cái MathType về dùng cho tiện