cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $x>y$ và $(x+y)(y+z)=1$. Tìm GTNN của $p=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{4}{(x+z)^2}+\frac{4}{(y+z)^2}$

 $2(x^2-x+6)=5 \sqrt{x^3+8}$

cho hình thang vuông $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ có góc $\widehat{BCD}=a$ 
lập công thức tính diện tích hình thang theo $R$ và $a$

Họ và tên:Nguyễn Mạnh Trùng Dương

Đang học lớp 8/1 THCS Long Định Châu Thành Tiền Giang 

Đề:Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ đường cao $CH$. Đường tròn $(I;r)$ nội tiếp $ABC$ tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Giao điểm của $CH$ và $PQ$ là $N$. Gọi $K$ là trung điểm của $BC, KI$ cắt $AC$ tại $M$
chứng minh:$CM=CN$
Đáp án: Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc $NH$ cắt $PQ$ tại $E$

Ta cần chứng minh tam giác $CEN$ và tam giác $PIA$ bằng nhau$
Ta có $CE$ song song $AB$ (cùng vuông $NH$
nên tam giác $CEP$ và tam giác $AQP$ đồng dạng 
do đó tam giác $CEP$ cân tại $C$
Suy ra $CE=CP=IP(1)$
Và góc $CEP=$ góc $AQP=$ góc $AIP(2)$
Từ (1) và (2) ta có tam giác $CEN$ và tam giác $PIA$ bằng nhau 
Do đó $CN=PA$ mặt khác ta chứng minh được rằng $AM=PC=r$
Suy ra $AP=CM$
suy ra $CM=CN$

4.2

xét 1 số khi chia cho $3$ sẽ có $3$ trường hợp
chia $3$ dư $1$ 
chia $3$ dư $2$ 
chia hết cho $3$

nhận thấy chỉ có $1$ số nguyên tố chia hết cho $3$ đó là số $3$ nên ta xét $2$ trường hợp có $3$ và không có $3$ 
*với trường hợp không có $3$
số nguyên tố chia $3$ sẽ có $2$ số dư là $1$ hoặc $2$ nhận thấy $5=2.2+1$ nên tồn tại $3$ số chia cho $3$ có cùng $1$ số dư tổng của $3$ số này chia hết cho $3$ 
*với trường hợp có $3$

chọn số thứ nhất là là $3$ còn lại $4$ số nguyên tố nếu có $1$ số chia cho $3$ dư $2$ và $1$ số chia cho $3$ dư $1$ ta chọn $2$ số đó và số $3$
nếu có nhiều hơn $3$ số chia $3$ có cùng $1$ số dư ta cho $3$ trong các số đó 

 

vậy với $5$ số nguyên tố bất kì lúc nào cũng chọn được $3$ số mà tổng của chúng chia hết cho $3$

gọi $n$ và $S(n)$ lần lượt là số cần tìm và tổng các chữ số của nó
$n$ không thể là số có 5 chữ số
Giả sử $n$ là số có 3 chữ số:
$n+S(n)\leq 999+9.3=1026$(không thỏa)
nên $n$ phải là số có 4 chữ số
xét $n=2000$ (không thỏa)
với $n$ dạng $\overline{2abc}$ $(a,b,c)$ là các số tự nhiên
ta có:$n+S(n)=2000+2+101a+11b+2c=2009$
với $a,b\geq 1\Rightarrow n+S(n)> 2009$ (không thỏa)
với $a=0,b=0\Rightarrow 2d=5\Rightarrow c=2,5$(không thỏa)
Mà $n+S(n)\leq n+36\Rightarrow 2009\leq n+36\Rightarrow 1973\leq n$
Nên $n$ có dạng $\overline{19bc}$
theo đề:$1900+10+11b+2c=2009\Leftrightarrow 11b+2c=99$
ta có:$2c$ chia hết cho $2$ nên suy ra $11b$ lẻ (vì $99$ lẻ)
ta lại có:$0\leq 2c\leq 18\Leftrightarrow -18\leq -2c\leq 0$
$\Leftrightarrow 99-18\leq 99-2c\leq 99$
$81\leq 11b\leq 99$
mà $11b$ là số tự nhiên và lẻ nên $11b=99$ hay $b=9$ từ đó tìm được $c=0$

chúc mừng sinh nhất VMF

Cho $\triangle \text{ABC}$, kẻ $\text{AH}$ $\perp$ $\text{BC}$.Trên nửa mặt phẳng bờ $\text{AC}$ không chứa $\text{B}$ vẽ $\text{Cx}$ $\perp$ $\text{CA}$. Trên $\text{Cx}$ lấy $\text{E}$ sao cho $\text{AC = CE}$. Trên tia đối của $\text{AH}$ lấy $\text{D}$ sao cho $\text{AD = BC}$. Chứng minh rằng : $\text{CD}$ $\perp$ $\text{BE}$.