Cho m,n,p thực thỏa
$\left\begin{cases} m + n + p = 0 \\ m \ge n \ge p\\ m - n - p < 1 \end{cases}\right$
C/m
$\sqrt {\dfrac{{m + 1}}{{2np + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{n + 1}}{{2mp + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{p + 1}}{{2mn + 1}}} \ge 3$

p/s: Đánh dấu ngoặc của hệ trong MathType thế nào vậy?

Cả đề có mỗi câu này khó, các bác làm hộ em:
Cho x,y là các số hữu tỉ dương t/m $x^3+y^3=2x^2y^2$
cm: biểu thức $\sqrt{1- \dfrac{1}{xy} }$ là số hữu tỉ

${x^3} + {y^3} = 2{x^2}{y^2} \Rightarrow \dfrac{x}{{{y^2}}} + \dfrac{y}{{{x^2}}} = 2$
đặt$\dfrac{x}{{{y^2}}} = 1 + a$ thì$\dfrac{y}{{{x^2}}} = 1 - a$ với a hữu tỉ
nên
$1/xy = \dfrac{{x.y}}{{{y^2}.{x^2}}} = (1 + a)(1 - a) = 1 - {a^2} \Rightarrow 1 - 1/xy = {a^2}$
có đpcm

$\sqrt{x+3} + \sqrt{2x+4} = 12 - \sqrt{3x + 7}$

ace giải giúp minh nhanh nhanh nhé. thanks nhiều.

dễ thấy hàm $f(x) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {2x + 4} + \sqrt {3x + 7} $ đồng biến trên $x \in {\rm{[}} - 2; + \infty )$ nên x=6 là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu

hix, trước nay ít post bài quá, hôm nay đóng góp 1 chùm bài cho ae thoải mái chém
1)Cho 1 đa giác lồi có S>1, chứng minh có thể đặt được trọng đa giác đó 1 tam giác có:
a. S>1/4
b. S>3/8

2)Cho một số hình tròn có hợp S>1. CM trong số các hình tròn đã cho có thể chọn được 1 số hình tròn từng đôi một có S>1/9

3)Tô các điểm trên mp bằng 3 màu. CM tồn tại 2 điểm cùng màu có diện tích bằng 1

4)1 tam giác đều được chia thành n^2 tam giác đều bằng nhau trong đó 1 số tam giac được đánh số 1,2,3...m sao cho các tam giác với các số liên tiếp có cạnh chung. CM $m \le {n^2} - n + 1$

5)Trên bàn cờ vua 3x3 có 2 con mã trắng đứng ở 2 góc trên và 2 con mã đen đứng ở 2 góc dưới. Hỏi có thể đổi chỗ 2 con mã đen lên vị trí 2 con mã trắng và 2 con mã trắng xuống 2 con mã đên sao cho các con mã vẫn ở phía trái hoặc phải của bàn cờ như cũ được ko?

6)Trong 1 mặt phẳng cho 48 điểm trong đó không có 3 điểm nào thằng hàng. CM có thể vẽ được 16 tam giác không có điểm chung mà đỉnh là các điểm đã cho

7)Cho lục giác lồi biết không thể đặt 1 tam giác có S=1 nằm hoàn toàn trong lục giac. CM lục giác có thể nằm trong 1 tam giác có S=4

8)Cho 12-giác A1A2...A12. Tại đỉnh A1 đặt dấu -, tại các đỉnh còn lại đặt dẫu +. Đổi dấu đồng thời 6 đỉnh liên tiếp. CM sau hữu hạn lần đổi dấu, ko thể được đỉnh A2 có dấu-, các đỉnh khác có dấu +.

9)Trong mặt phẳng có 2003 điểm trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng và ko có 4 điểm nào thuộc cùng 1 đường tròn. CM tồn tại 2 điểm mà đường tròn đi qua chúng chứa đúng 1000 điểm trong các điểm đã cho nằm trong nó, 1000 điểm còn lại nằm ngoài nó.

10)Hãy chỉ ra 1 cách sơn mặt phẳng bằng 7 màu sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ cùng màu ko bao h` bằng 1


Xong, ae chém vô tư nha!

1, Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bấy kì của đa giác đó luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang.
2, Có bao nhiêu phân số tối giản $ \dfrac {m}{n} $ >1(m, n la số tự nhiên) thoả mãn m.n=13860

chém bài 1

gọi đa giác đều đó là a1a2...a14 nội tiếp (o), gọi độ dài cung a1a2 là i
=> các cung nhỏ có mút là các điểm của đa giác này nhận 1 trong 7 độ dài từ i đến 7i, tương ứng với 7 dây chắn chúng có độ dài khác nhau( chỗ này diễn đạt hơi lủng củng)
xét 6 đỉnh bất kỳ của 14-giác này được nối với nhau bởi 15 đoạn thẳng, các đoạn này nhận 7 giá trị nên 3 đoạn bằng nhau

Nếu trong 3 đoạn này có 2 đoạn ko có mút chung thì 4 điểm mút của 2 đoạn này là 4 đỉnh 1 hỉnh thang cân

Nếu trong 3 đoạn này 2 đoạn bất kì đều có mút chugn thì hoặc 3 đoạn này có chung 1 mút(1) hoặc 3 đoạn này là 3 cạnh 1 tam giác đều(2)
dễ thấy (1) vô lý
xét(2), do tính đối xứng của đa giác đều nên số đỉnh của 14-giác ban đầu chia hết cho 3(vô lý)

Vậy ta có dpcm

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là ).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.

bạn xem lại đề cái, VD dãy -2008,-2007,...,-2,-1,3,4 dc đánh dấu toàn bộ 2009 phần tử đầu tiên nhưng tổng đâu có dương

Tám đường thẳng nối các đỉnh của một hình bình hành với trung điểm của các cạnh không qua đỉnh ấy cắt nhau, tạo thành một hình 8 cạnh.
Chứng minh rằng diện tích của hình 8 cạnh này =1/6 diện tích hình bình hành đã cho. [/size]

post nhầm topic roài
thoai, bài lớp 8 để mấy e lớp 8 chém
gợi ý: chia bát giác đó thành 4 phần bằng các đường trung bình của hbh ban đầu rồi tính S từng phần. Sử dụng tính chất của hbh, của trung tuyến trong tam giác và công thức S=$\dfrac{{bc\sin A}}{2}$

Có 6 hình tròn được sắp xếp trên cùng 1 mặt phẳng sao cho tâm của mỗi hình tròn ấy đều nằm ngoài các hình tròn kia(1). Chứng minh rằng không có điềm chung nào cho tất cả các hình tròn đó.

Giả sử 6 hình tròn này có phần S chung
Lấy điểm O nằm tại phần S chung đó
Gọi 6 đường tròn ban đầu là $(O_1,r_1), (O_2,r_2) ... (O_6,r_6)$ sao cho các đoạn $OO_1, OO_2, ..., OO_6$ được sắp xếp theo chiều kim đ�ồng h�ồ
ta có $OO_1<r_1, OO_2<r_2$
$(1) \Rightarrow O_1O_2>r_1; O_1O_2>r_2$
nên $O_1O_2$ là cạnh lớn nhất trong $\vartriangle O_1O_2O \Rightarrow \angle O_1OO_2>60^o$
tương tự, $\angle O_2OO_3, ..., O_5OO_6, O6OO_1>60^o$
mà $\angle O_1OO_2+ \angle O_2OO_3+...+\angle O_5OO_6+ \angle O_6OO_1=360^o$
vô lý
vậy ta có đpcm

1, mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ. CMR: luôn tìm được 1 hình chữ nhật mà 4 đỉnh của nó cùng màu.
2, Cho hình vuông cạnh 1m. Ng` ta vẽ rất nhiều đtròn mà tổng độ dài các bán kính của chúng bằng 0.6m.
CMR: tồn tại 1 đường thẳng d song song với cạnh hình vuông và có điểm chung với ít nhất 2 đường tròn.
giúp mình nhé

bài 2 này khá hiển nhiên, nhưng trình bày chặt chẽ cũng hơi rắc rối

vẽ các tiếp tuyển của những đường tròn ban đầu mà cùng song song vởi 1 cặp cạnh đối của hình vuông
xét các miền hình chữ nhật cùng có chiều dài bằng 1m được giới hạn bởi 2 tiếp tuyến đã vẽ của cùng 1 đường tròn và cặp cạnh hình vuông vuông góc với 2 tiếp tuyến đó
vì tổng bán kính các hình tròn ban đầu là 0,6m hay tổng đường kính của chúng là 1,2m
nên tổng chiều rộng các hình chữ nhật đang xét là 1,2m
hay tổng diện tích các hình chữ nhật này là 1,2m2 lớn hơn S hình vuông ban đầu
=> tồn tại 2 hcn có phần S chung
kẻ 1 đường thẳng bất kì trong phần S chugn này và song song với 1 cạnh hình vuông thì đường thẳng này có điểm chugn với 2 đường tròn nằm trong 2 hcn nói trên
vậy ta có dpcm

Tìm tất cả các nghiệm nguyên x thoả mãn:
$x^3 + 8 = 7\sqrt {8x + 1} $

ĐKXĐ:$8x + 1 \ge 0 = > x \in N$
Nếu $x \ge 5$ thì
$x + 2 \ge 7$;
${\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]^2} = {(x - 1)^4} + 6{(x - 1)^2} + 9 > 6{(x - 1)^2} + 9 > 8x + 1$
$ = > {x^2} - 2x + 4 > \sqrt {8x + 1} $
nên$(x + 2)({x^2} - 2x + 4) > 7\sqrt {8x + 1} < = > {x^3} + 8 > 7\sqrt {8x + 1} $(loại)
=> x<5
dễ thấy x lẻ
thử các giá trị x=1;3 có x=3

trong một cuộc cắm trại có hoc sinh của 3 lớp 6 tham gia. thầy giáo phụ trách ko hề bít em nào là hoc sinh lớp nào. Và thầy định thành lập đội trực nhật sao cho có đủ đại diên của 3 lớp . Hỏi thầy cần chọn ít nhất bao nhiêu người vào đội trực nhật đẻ dảm bảo ít nhất mỗi lớp có ko ít hơn 3 đai diện

Oáp... Bài này thiếu dữ kiện số học sinh mỗi lớp
Còn nếu đủ thì ... cực dễ

Đề nghị xem kĩ đề trước khi post bài!

Cho dãy số sau: 3,8,9,15,23,....
Điền số tiếp theo của dãy.Nêu rõ quy luật.

hình như không nêu dc quy luật theo kiểu số học cho dãy này
các khoảng cách 5,1,6,8 rất ... bất quy tắc

Bi hỏi tuổi gia sư của mình.Cô gia sư biết Bi rất giỏi số học nên đã nói với cậu rằng :"Tổng số tuổi của cô và mẹ em là 44 , tuổi mẹ em gấp đôi tuổi của cô ngày xưa, khi ấy(thời điểm 1)tuổi mẹ em lại bằng một nửa tuổi của cô vào một thời điểm trong tương lai(2).Vào thời điểm trong tương lai đó,tuổi của cô lại gấp 3 lần tuổi của mẹ em khi tuổi của mẹ em gấp 3 lần tuổi của cô trong quá khứ(3).Em có thể tính ra không?

gọi tuổi cô vào (3)là 2a, khi đó tuổi mẹ là 6a nên mẹ hơn cô 4a tuổi
tuổi cô vào (2)là 18a nên tuổi mẹ (1) là 9a nên tuổi cô (1) là 5a nên tuổi mẹ hiện tại là 10a, tuổi cô hiện tại là 6a
=> tổng số tuổi của mẹ và cô là 16a
Ớ, đề sai thì phải

Bai lam cua ban chua thuyet phuc dau.Tuy (x-1) va (x3+1) khong co nhan tu chung khi phan tich nhung chua chac chung da nguyen to cung nhau dau, vi du lay x=3 thi x-1=2 va x3+1=28 co uoc chung la 2!?
Mai minh se dua loi giai.,

bài ban đầu theo mình giải đúng rồi
còn hình như bạn đang nhầm lẫn giữa số dư trong phép chia đa thức với số dư khi chia các giá trị của đa thức

??? Sai chỗ nào cơ?

hình như là ở chỗ m/n>1

phần trên thì bạn làm đúng nhưng đoạn trên là bạn làm sai
bạn xem lại định nghĩa phần nguyên đi( phần nguyên của 1 số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)
sửa lại là: giả sử không có 3 người nào cùng thảo luận 1 vấn đề
số nhà bác học sẽ < 2*7=14
mà số nhà bác học là 17 vô lý
vậy tồn tại vấn đề mà có ít nhất 3 nhà bác học cùng thao luận

các bạn hiểu nhầm đề thì phải, đây là bài ramsey cổ điển mà

1) $\dfrac {(b+c)^2} {a^2+bc} + \dfrac {(c+a)^2} {b^2+ca} + \dfrac {(a+b)^2} {c^2+ab}\geq6$

2) $ \dfrac 1 {a^2 +ab+b^2}+\dfrac 1 {b^2+bc+c^2}+\dfrac 1 {c^2+ca+c^2}\geq \dfrac 9 {(a+b+c)^2}$

3) $ (a+b+c) . ( \dfrac 1 {\sqrt {a^2+ab+b^2}}+\dfrac 1 {\sqrt {b^2+bc+c^2}}+\dfrac 1 {\sqrt{c^2+ca+ca^2}})\geq 4 + \dfrac 2 {\sqrt 3 }$

4) $ \dfrac {2a^2+5bc}{(b+c)^2}+\dfrac {2b^2+5ca}{(c+a)^2} +\dfrac { 2c^2+5ab }{(a+b)^2}\geq \dfrac {21} 4 $

mình xin góp thêm vài BDT hay, đẹp và khá khó:
1) Với a,b,c>0, cm
${\sum\limits_{a,b,c} {\left( {\dfrac{a}{{b + c}}} \right)} ^2} \ge \dfrac{3}{4}$
và ${\sum\limits_{a,b,c} {\left( {\dfrac{a}{{b + c}}} \right)} ^3} \ge \dfrac{3}{8}$
2) Cho x,y,z>0 và ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$ cm
$\dfrac{{x + y + z}}{{xy + yz + zx}} + \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{zx}}{y} \ge 2\sqrt 3 $

$\begin{array}{l}3{x^3} + 3{x^2} + 3x = - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = - 2{x^3}\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} = {(x\sqrt[3]{{ - 2}})^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 = x\sqrt[3]{{ - 2}}\end{array}$
đến đây bạn tự giải tiếp^^

tiếp tiếp
1 bài hệ pt nữa nè bà con ới ^^!
xy^2 -2y+ 3x^2 =0
và y^2 +x^2y +2x=0

đặt $\dfrac{{{x^2}}}{y} = a,\dfrac{{{y^2}}}{x} = b \Rightarrow xy = ab$
nên
$\begin{array}{*{20}{l}}
{x{y^2} - 2y + 3{x^2} = 0(1)\& }&{{y^2} + {x^2}y + 2x = 0(2)}\\
{ \Rightarrow 3a + ab - 2 = 0\& }&{b + ab + 2 = 0}\\
{ \Leftrightarrow 3a + ab + 2 = 0\& }&{3a - b - 4 = 0}\\
{ \Leftrightarrow b = 3a - 4\& }&{3a + a(3a - 4) = 0}
\end{array}$(chia (1) cho y và chia (2) cho x)(mình ko bik gõ dấu ngoặc của HPT, thông cảm nha)
đến đây bạn tự làm típ
p/s: a cho e hỏi cách gõ dấu ngoặc HPT lun

cảm ơn a và bạn RS16 nha
mà RS16 nè
cách đó tớ thử rồi dài và rắc rối lắm
nhưg đằng nào cũng cảm ơn bạn cực nhiều lun

Cách của mình là dùng như tổng quát cho
$P= \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}}$


wallunint @ps: Tham khảo " bất đẳng thức - định lí và áp dụng "

Cho A= 1 + 1/2+ 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^99 Cm A<2
Cho B= 1+ 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 +....+ 1/3^99 . Cm B< 3/2
thanks giai giup em

ta có 2A=2+1+1/2+...+1/2^98
=> A=2A-A=2-1/2^98<2
B tương tự

1 bài tìm MIN và MAX típ nè
tìm MIN,MAX của P= x^2/(x^2-5x+7)
hìhì
nếu dễ quá thì các bác chỉ cần hướng cho e cách làm thui nạk
thank nhìu nhìu lắm lun

P=x^2/(x^2-5x+7) =>P*(x^2-5x+7)=x^2
chuyển vế đổi dấu roài dùng delta với ẩn x

Giải hệ phương trình:
y = 2x^2/x^2 +1 ; z = 3y^2/y^4 + y^2 +1 ; x = 4z^2/z^6 + z^4 +z^2 +1
mong các bạn giúp

Đây là bài trong giải toán qua thư TTT số mởi mà
Hy vọng bạn tự làm bài và gửi lời giải của bản thân cho TTT, ko nên post những bài kiểu này

Bài 1Cho a,b là các số thỏa mãn 0<a<3, 0<b<4
Tìm GTNN của tổng
A=căn (a^2+b^2) + căn [ (3-a)^2 + (4-b)^2 ]
Bài 2 Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng ko lớn hơn 2004. Cm rằng luôn tìm được 6 số trong 53 số đã cho thỏa mãn 6 số này chia được thành 3 cặp số mà mỗi cặp đèu có tổng là 53
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn ( M # A,B ) . Gọi I là trung điểm của AM và H là hình chiếu của I trên MC . Hãy xác định vị trí của M sao cho tam giác AHC có S lớn nhất
Bài 4 Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt trong đó có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong hình tròn bán kính 3/4 và tạo thành 1 tam giác có ít nhất 1 góc ko vượt quá 45 độ
Bài 5 Cho đa giác đều 91 đỉnh.Mỗi đỉnh của đa giác được tô bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ .Cm luôn tìm được 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa giác thỏa mãn 3 đỉnh nay cùng màu và là 3 đỉnh của một tam giác cân có ít nhất 1 góc nhỏ hơn 60 độ
THANKS YOU VERY MUCH !!!!!!!!!!

Bài 4: không hiểu đề muốn nói j`
Bài 5: Xét tam giác cân được tạo bởi 3 đỉnh của 91-giác đã cho thì luôn có góc <60 độ. Nếu ngược lại=> là tam giác đều, do tính đối xứng của đa giác đều nên số đỉnh của đa giác phải chia hết cho 3(vô lý)
Vì số đỉnh là lẻ nên ko thể sắp xếp các đỉnh xanh đỏ xen kẽ => có 2 đỉnh cùng màu liên tiếp, gọi là Ai,A(i+1) cùng màu xanh
Cũng có số đỉnh là lẻ nên trung trực AiA(i+1) đi qua đỉnh Aj.
Nếu Aj màu xanh=> xong
Nếu Aj đỏ, xét A(i-1)A(i+2) cũng có trung trực đi qua Aj
Nếu A(i-1) xanh thì AiA(i-1)A(i+1) là tam giác thỏa mãn, tương tự với A(i+2)
Nếu A(i-1), A(i+2) cùng đỏ thì AjA(i-1)A(i+2) là tam giác thỏa mãn
có dpcm

Tình hình là hum nay tui thi HSG, có 2 bài này khá hóc, nhờ mọi người cùng giải:
1) Cho a,b,c [1/2;2]. C/M:
$\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} \ge \dfrac{{22}}{{15}}$
2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao AH, BD, E là trung điểm HD, M là trung điểm AB. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH.
CM giao (I) tại K, CE giao (O) tại R.C/M: AB là đường trung trực KR