Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 11-07-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#594278 Bài xác suất dùng công thức Bayet

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 16:29 trong Xác suất - Thống kê

#Đào_mộ_team

Giải

Đặt $A_i$: " Lấy được thùng loại i" ( i = 1, 2)

H: " Lấy được 1 chi tiết tốt, 1 chi tiết xấu"

{$A_1, A_2$} là 1 nhóm đầy đủ biến cố.

Theo giả thiết, $P(A_1) = \dfrac{6}{10}; P(A_2) = \dfrac{4}{10}$

$P(H/A_1) = \dfrac{C_8^1.C_2^1}{C_10^2} = \dfrac{16}{45}; P(H/A_2) = \dfrac{C_6^1.C_4^2}{C_10^2} = \dfrac{8}{15}$

 

a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
$P(H) = P(A_1)P(H/A_1) + P(A_2)P(H/A_2) = \dfrac{32}{75}$

 

b) Áp dụng công thức Bayes:

$P(A_1/H) = \dfrac{P(A_1).P(H/A_1)}{P(H)} = 0,5$

 

c) Đặt $B_i$: "Chi tiết tốt và xấu lấy ra thuộc thùng loại i" (i = 1,2)

G: "Chi tiết lấy ra thứ 3 là tốt"

{$B_1, B_2$} là nhóm đầy đủ biến cố:

Theo giả thiết: $P(B_1) = P(A_1/H) = 0,5; P(B_2) = P(A_2/H) = 0,5$

$P(G/B_1) = \dfrac{7}{8}; P(G/B_2) = \dfrac{5}{8}$

Áp dụng công thức đầy đủ xác suất: $P(G) = 0,75$  




#594272 Xác suất không khỏi bệnh của người bệnh.

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 16:07 trong Xác suất - Thống kê

Giải
Đặt A: " Bệnh nhân được xác định đúng triệu chứng"
B: "Bệnh nhân được chẩn đoán đúng bệnh"
C" Bệnh nhân được chữa khỏi"
H" Bệnh nhân không được chữa khỏi khi đến khám và điều trị"
Ta thấy: $H = \bar{A} + A\bar{B} + AB\bar{C}$. 
Theo giả thiết: $P(A) = 0,9; P(B/A) = 0,8; P(C/AB) = 0,9$ 
Vậy: $P(H) =  P(\bar{A} + A\bar{B} + AB\bar{C}) = P(\bar{A}) + P(A\bar{B}) + P(AB\bar{C})$
$= P(\bar{A}) + P(A).P(\bar{B}/A) + P(A).P(B/A).P(\bar{C}/AB) $
$= 0,1 + 0,9.0,2 + 0,9.0,8.0,1 = 0,352 $
 



#594268 Bài tập xác xuất thống kê

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 15:48 trong Xác suất - Thống kê

Câu 2

- Đặt X là biến ngẫu nhiên chỉ số phát bắn trúng.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc và X = {0,1,2,3}

Dễ thấy {X = 0, X = 1, X = 2, X = 3} là 1 nhóm đầy đủ biến cố.

- Đặt H: "Máy bay bị hạ"

$A_i$: "Khẩu thứ i bắn trúng$ (i = 1,2,3)

Theo giả thiết, $A_1, A_2, A_3$ độc lập trong toàn thể và $P(A_1) = 0,5; P(A_2) = 0,7; P(A_3) = 0,8$

- Ta có:
$P(X = 0) = P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}) = 0,5.0,3.0,2 = 0,03$

$P(X = 1) = P(A_1.\bar{A_2}\bar{A_3}+ A_2.\bar{A_1}\bar{A_3} + A_3.\bar{A_2}\bar{A_1}) = 0,22$

$P(X = 2) = P(A_1.A_2\bar{A_3} + A_2.\bar{A_1}A_3 + A_3.\bar{A_2}A_1) = 0,47$

$P(X = 3) = P(A_1A_2A_3) = 0,28$

$P(H/X = 0) = 0; P(H/X = 1) = 0,6; P(H/X = 2) = P(H/X = 3) = 1$

Vậy, áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta tính được: P(H) = 0,882




#594267 Bài tập xác xuất thống kê

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 15:31 trong Xác suất - Thống kê

Câu 1. (Hơi dài)

Đặt $A_i$: "Chọn được công nhân thứ i" (i = 1, 2, 3)

H: "Trong 4 sản phẩm công nhân đó làm ra trong lượt đầu tiên, có 1 sản phẩm là phế phẩm"

Ta thấy {$A_1, A_2, A_3, A_4$} là nhóm đầy đủ biến cố. 

Theo giả thiết: 

$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \dfrac{1}{3}$

$P(H/A_1) = P(H/A_2) = C_4^1.0,1.0,9^3, \,\,\, P(H/A_3) = C_4^1.0,2.0,8^3$

Vậy, áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P(A_1/H) = \dfrac{P(A_1).P(H/A_1)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,294$

$P(A_2/H) = \dfrac{P(A_2).P(H/A_2)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,294$

$P(A_3/H) = \dfrac{P(A_3).P(H/A_3)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,412$

 

Đặt $B_i$:: "Người sản xuất 4 sản phẩm thì có 1 phế phẩm là công nhân thứ i" (i = 1, 2, 3)

Ta có {$B_1, B_2, B_3$) là nhóm đầy đủ biến cố.

Đặt G: "Trong 4 sản phẩm tiếp theo, cả 4 sản phẩm là chính phẩm"

Ta có:
$P(B_1) = P(B_2) = P(A_1/H) = P(A_2/H)= 0,294; \,\, P(B_3) = P(A_3/H) = 0,412$

$P(G/B_1) = P(G/B_2) = 0,9^4; \,\, P(G/B_3) = 0,8^4$

Vậy, áp dụng công thức xác suất đầy đù, xác suất cần tìm là:
$P(G) = P(B_1).P(G/B_1) + P(B_2).P(G/B_2) + P(B_3).P(G/B_3) = 0,555$ 

 

 

 
 

 




#594181 Bài tập về Công thức Bayes - XSTK

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 00:24 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

:) Đang đợt ôn thi xác suất nên đào mộ :v 

Giải

Câu 2.

Đặt H: " Sinh viên được chọn trả lời đúng 3 câu"

$A_1$: "Sinh viên được chọn là sinh viên giỏi."

$A_2$: "Sinh viên được chọn là sinh viên khá."

$A_3$: "Sinh viên được chọn là sinh viên trung bình."

$A_4$: "Sinh viên được chọn là sinh viên yếu."

{$A_1, A_2, A_3, A_4$} là nhóm đầy đủ biến cố.

Theo giả thiết: 
$P(A_1) = 0,1; P(A_2) = 0,2; P(A_3) = 0,3; P(A_4) = 0,4$

$P(H/A_1) = 1; P(H/A_2) = 0,75^3; P(H/A_3) = 0,5^3; P(H/A_4) = 0.25^3$
Vậy, áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất cần tìm là:
$P(A_2 + A_3/H) = \dfrac{P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3) +  P(A_4).P(H/A_4)} = \dfrac{39}{73}$

 

 



#594180 Đại Số Tổ hợp

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 00:05 trong Xác suất - Thống kê

:)

a) Số cách cần tìm là: $C_{12}^5.C_7^4.C_3^3$
b) Số cách cần tìm là: $3!.C_{12}^5.C_7^4.C_3^3$

c) Số cách cần tìm là: $C_{12}^4.C_8^4.C_4^4$




#594179 Hội trường có 100 ghế ngồi được đánh số và 100 khách cũng được đánh số giống...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-10-2015 - 23:56 trong Xác suất - Thống kê

Giải

Đặt: $\text{A}_i$: "Người thứ i ngồi đúng vị trí". (i = 1,2....100)

A:" Có ít nhất 1 người ngồi đúng vị trí của mình".

Ta có: $P(A) = P(A_1 + A_2 +... + A_n) = \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)}  - \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} + ... - P(A_1.A_2....A_n) $

Ta tính lần lượt: 
$P(A_i) = \dfrac{1.99!}{100!} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} = 100.\dfrac{1}{100} = 1$

$P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_i/A_j) = \dfrac{1}{100}.\dfrac{1.98!}{99!} = \dfrac{1}{99.100}$ 

$\Rightarrow \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} = C_{100}^2.\dfrac{1}{99.100} = \dfrac{1}{2!}$

....

$P(A_1.A_2...A_{100}) = \dfrac{1}{100!}$

Như vậy: 
$P(A) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - .... - \dfrac{1}{100!}$

Do đó, xác suất cần tìm là: 
$P(\bar{A}) =  1 - P(A) = \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + .... + \dfrac{1}{100!}$

 




#551066 Một vấn đề băn khoăn trong tích phân Euler

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 03-04-2015 - 01:16 trong Giải tích

Kết quả của cách 2 sai vì sau cậu biến đổi sai do thực chất 2 cách này là một ;) 

Phía sau có $d(x^2) = 2xdx$ thì phía trước còn lại $x^9 = (x^2)^{\dfrac{9}{2}}$ .




#539993 sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC).

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-01-2015 - 19:58 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Ad xóa hộ tớ nhé. Gửi nhầm




#539283 Xét sự hội tụ của $\int_{0}^{1}\frac...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 03-01-2015 - 15:29 trong Giải tích

Giải

- Hàm số có điểm bất thường: x = 0

- Khi $x \rightarrow 0 $ thì: $\ln{(x + 1 + \sqrt{x^2 + x})} \sim x + \sqrt{x^2 + x} \sim \sqrt{x} > 0$

Mà $\int_{0}^{1}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$ hội tụ.

Do đó tích phân ban đầu hội tụ.




#481453 2.$x+x^{log_23}=x^{log_25}$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 06-02-2014 - 20:10 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 2.

ĐK: $x \geq 0$

- Nhận thấy: x = 0 là 1 nghiệm của phương trình

- Với $x > 0$, phương trình tương đương:

$$2^{\log_2{x}} + 3^{\log_2{x}} = 5^{\log_2{x}}$$

Đặt $\log_2{x} = t$, phương trình trở thành: $2^t + 3^t = 5^t \Leftrightarrow \left (\dfrac{2}{5} \right )^t + \left (\dfrac{3}{5} \right )^t = 1$

Hàm $f(t) = \left (\dfrac{2}{5} \right )^t + \left (\dfrac{3}{5} \right )^t $ nghịch biến.

Phương trình $f(t) = 0$ có nghiệm duy nhất t = 1.

Vậy x = 2.

 

 




#481452 2.$x+x^{log_23}=x^{log_25}$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 06-02-2014 - 20:01 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

Bài 1.

ĐK: $x > 0$

Phương trình tương đương:

$x^{log_2{(2 + \sqrt{2})}} + x. x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = 1 + x^2$

 

$\Leftrightarrow x^{log_2{(2 + \sqrt{2})} - 1} + x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = x + \dfrac{1}{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{ x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}}} + x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = x + \dfrac{1}{x}$

 

Đặt $x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = y \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = y + \dfrac{1}{y}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = y\\xy = 1\end{matrix}\right.$

Còn lại chắc cũng không phức tạp lắm ^^

 

 




#478219 $\left\{\begin{matrix}(2x^2+y)(x+y)+x(2x+1...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 20-01-2014 - 17:17 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}(2x^2 + y)(x + y) + 2x^2 + y + x + y = 7\\2(2x^2 + y) + x + y = 7\end{matrix}\right.$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}a = 2x^2 + y\\b = x + y\end{matrix}\right.$, ta được: $\left\{\begin{matrix}ab + a + b = 7\\2a + b = 7\end{matrix}\right.$

Hệ này dễ dàng giải được bằng phương pháp thế.

 

 

 

 




#476560 $\int_{\pi /2}^{2\pi/3 }\frac...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 10-01-2014 - 21:04 trong Tích phân - Nguyên hàm

Giải

$I = \int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{2\pi}{3}}\dfrac{\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x}}{\sin{3x} + 3\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}}dx$

Chú ý:

$\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x} = 2\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Và $\sin{3x} + 3\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )} = - \sin{\left [3\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )\right ]} + 3\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )} = 4\sin^3{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Vậy:
$I = \dfrac{1}{2}\int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{2\pi}{3}}\dfrac{d\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin^2{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}}$

 

$I = \dfrac{-1}{2}\left( \cot{\dfrac{\pi}{3}} - \cot{\dfrac{\pi}{6}}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

 

 




#465954 $\left\{\begin{matrix} \frac{y...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 22-11-2013 - 16:09 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Ta dễ dàng loại được các trường hợp: $x = \pm 1, y = 0, z = 0$

Hệ phương trình tương đương:
$\left\{\begin{matrix}y = \dfrac{2x}{1 - x^2}\\z = \dfrac{1 - y^2}{2y}\\x = \dfrac{z^2 - 1}{2z}\end{matrix}\right.$

 

Đặt $x = \tan{\alpha}$, từ hệ ta suy ra: $y = \tan{2\alpha}$

Tương tự: $z = \cot{4\alpha}; x = \cot{8\alpha}$

Vậy: $\tan{\alpha} = \cot{8\alpha}$

Đây là phương trình lượng giác cơ bản :)

 

 




#464531 phương trình

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-11-2013 - 20:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Phương trình tương đương:
$x + (x + 1) + x\sqrt{x^2 + 2} + (x + 1)\sqrt{(x + 1)^2 + 2} = 0$

$\Leftrightarrow x + x\sqrt{x^2 + 2} = - (x + 1) - (x + 1)\sqrt{(x + 1)^2 + 2} \, (\star)$

Xét $f(t) = t + t\sqrt{t^2 + 2}$ có $f’(t) = 1 + \sqrt{t^2 + 2} + \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2 + 2}} > 0$

Vậy: f(t) đồng biến trên R. Mà $(\star) \Leftrightarrow f(x) = f(- x - 1)$

$\Leftrightarrow x = - x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{-1}{2}$ 

 

 




#464519 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-11-2013 - 19:58 trong Hàm số - Đạo hàm

Bài 2.

Giải

TXĐ: $x \in [0; + \infty]$
Với $x \geq 0 \Rightarrow (x + \sqrt{x})^\sqrt{2} \geq 0$

Hàm số có $Min_y = 0$ đạt được khi x = 0

Hàm số này không có giá trị lớn nhất!




#463679 $\left\{\begin{matrix} x^{4}-4x^...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-11-2013 - 20:29 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 2.

Giải

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}(x^2 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4\\(x^2 + 2)(y + 1) = 24\end{matrix}\right.$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}x^2 - 2 = a\\y - 3 = b\end{matrix}\right.$, ta được: $\left\{\begin{matrix}a^2 + b^2 = 4\\(a + 4)(b + 4) = 24\end{matrix}\right.$

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1!

 

 




#462859 Chứng minh $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-11-2013 - 12:20 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Ta có:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a + b}} + \sqrt{\dfrac{2b}{b + c}} + \sqrt{\dfrac{2c}{c + a}}$

$= \dfrac{a^2}{\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}}} + \dfrac{b^2}{\sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}}} + \dfrac{c^2}{\sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}}} \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} + \sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}} + \sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}}}$

Ta sẽ chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} + \sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}} + \sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}} \leq a^2 + b^2 + c^2 \, (1)$

Thật vậy:
$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^2(a^2 + ab)}{2}} \leq \dfrac{3a^2 + ab}{4}$

Từ đó suy ra:
$VT_{(1)} \leq \dfrac{3(a^2 + b^2 + c^2) + ab + ac + bc}{4} \leq a^2 + b^2 + c^2$

Do đó, ta có điều phải chứng minh.

 

 




#462397 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt $\widehat{BGC}=...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 05-11-2013 - 22:39 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác

Giải

Ta có:
$\cos{\alpha} = \dfrac{GB^2 + GC^2 - BC^2}{2GB.GC} = \dfrac{\dfrac{4}{9}(m_b^2 + m_c^2) - a^2}{2\dfrac{2}{3}m_b\dfrac{2}{4}m_c}$

 

$= \dfrac{\dfrac{4}{9}\left (a^2 + \dfrac{b^2 + c^2}{4}\right ) - a^2}{\dfrac{8}{9}m_bm_c } = \dfrac{b^2 + c^2 - 5a^2}{8m_bm_c}$

 

Ta có: $5bc\cos{A} - 2(b^2 + c^2) = \dfrac{5(b^2 + c^2 - a^2)}{2} - 2(b^2 + c^2) = \dfrac{b^2 + c^2 - 5a^2}{2}$

Vì vậy: $\cos{\alpha} = \dfrac{5bc\cos{A} - 2(b^2 + c^2)}{4m_bm_c}$

 

Trong tam giác GBC:
$\dfrac{\sin{\alpha}}{a} = \dfrac{\sin{BCG}}{\dfrac{2}{3}m_b}$

Mặt khác:
$\dfrac{\sin{BCG}}{\dfrac{c}{2}} = \dfrac{\sin{B}}{m_c} = \dfrac{b\sin{A}}{am_c}$

$\Rightarrow \sin{BCG} = \dfrac{bc\sin{A}}{2am_c}$

Vậy:
$\sin{\alpha} = \dfrac{a. \dfrac{bc\sin{A}}{2am_c}}{\dfrac{2}{3}m_b } = \dfrac{3bc\sin{A}}{4m_bm_c}$

Do đó: $\cot{\alpha} = \dfrac{5bc\cos{A} - 2(b^2 + c^2)}{3bc\sin{A}}$

 

 




#459635 Giải hệ $\begin{cases}2\left(1-y^3\right)=y^2.....

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-10-2013 - 15:05 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $xy \geq 0$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$xy^2 + 2y^2\sqrt{2xy} + 2y^3 + \sqrt[3]{y + 8} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow y(xy + 2y\sqrt{xy} + 2y^2) + \dfrac{y}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4} = 0$

$\Leftrightarrow y \left [ (\sqrt{xy} + \sqrt{2}y)^2 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4}\right ] = 0$

$\Leftrightarrow y = 0$

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
$x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^3 = (x - 2)^3 \Rightarrow x = \dfrac{2}{1 - \sqrt[3]{2}}$

 

 




#459268 Giải pt:(3x^{2}-6x)(\sqrt{2x-1}+1)=2x^{3}-...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 22-10-2013 - 19:43 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

Phương trình tương đương:
$3x(x - 2)(\sqrt{2x - 1} + 1) = (x - 2)(2x^2 - x + 2)$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left [2x^2 - x + 2 – 3x(\sqrt{2x - 1} + 1)\right ] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2\\2x^2 - 4x + 2 – 3x\sqrt{2x - 1} = 0 \, (1)\end{matrix}\right.$

 

Ta có: $(1) \Leftrightarrow 2x^2 - 3x\sqrt{2x - 1} - 2(2x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2x + \sqrt{2x - 1})(x - 2\sqrt{2x - 1}) = 0$

Còn lại bạn tự giải nhé.

 

 




#457677 $\frac{\sin x+\sin 3x}{1+\sin x+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-10-2013 - 21:36 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

ĐK: $\sin{x} + \cos{x} \neq - 1$

Nhận thấy:
$\sin{x} + \sin{3x} = 2\sin{2x}\cos{x} =2\cos{x}(\sin{x} + \cos{x} + 1)(\sin{x} + \cos{x} - 1)$

Vậy, phương trình ban đầu tương đương:
$2\cos{x}(\sin{x} + \cos{x} - 1) = \sqrt{2}\cos{3x} + 1 - 2\left (1 - 2\sin^2{\dfrac{x}{2}}\right )$

$\Leftrightarrow \sin{2x} + \cos{2x} = \sqrt{2}\cos{3x}$

$\Leftrightarrow \cos{3x} = \cos{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )}$

 

 




#457426 $ \begin{cases} x^3-2 x^2 y-15 x = 6 y (2 x-5-4 y)\...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-10-2013 - 13:11 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$(x^3 - 2x^2y) - (15x - 30y) + (24y^2 - 12xy) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2y)(x^2 - 12y - 15) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2y\\x^2 = 12y + 15\end{matrix}\right.$

 

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\dfrac{3x^2 + 16xy + 12y^2}{24y} = \sqrt{\dfrac{x^3}{3y} + \dfrac{x^2}{4}}$

                                                                        

Chia cả 2 vế của phương trình cho y rồi đặt $t = \dfrac{x}{y}$, ta có:
$\dfrac{t^2}{8} + \dfrac{2t}{3} + \dfrac{1}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{t^3}{3} + \dfrac{t^2}{4}}$

$\Leftrightarrow 3t^2 \pm 4|t|\sqrt{3(4t + 3)} + 4(4t + 3) = 0$

$\Rightarrow 3\dfrac{t^2}{4t + 3} \pm \dfrac{4\sqrt{3}|t|}{\sqrt{4t + 3}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = \pm 2$

Vì $VT \geq 0 \Rightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = 2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t = 6\\t = \dfrac{-2}{3}\end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 6y\\x = \dfrac{-2}{3}y\\\end{matrix}\right.$
Kết hợp với phương trình ban đầu để suy ra nghiệm.

 

 

                                                                                                   

 

 




#457419 $\frac{2cos^{3}x-2cosx-sin2x}{cosx-1}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-10-2013 - 12:29 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Liệu có nhầm lẫn không Chung??? (Cũng có thể mình sai) :excl:

 

Khi cậu nhân mẫu lên thì vế phải trở thành: $2(\cos^2{x} - 1)(1 + \sin{x}) = -2\sin^2{x}(1 + \sin{x})$