Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Nguyenhuyen_AG nội dung

Có 785 mục bởi Nguyenhuyen_AG (Tìm giới hạn từ 11-04-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#700708 $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 23-01-2018 - 13:34 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

 

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac{a(b^2-ca)^2+c(a^2-2ab+bc)^2+b(ab-2ca+c^2)^2}{abc(a+b+c)} \geqslant 0.\]




#694385 Cực Trị Nâng cao

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 08-10-2017 - 20:01 trong Bất đẳng thức và cực trị

Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x + y biết x2 + y2 = 50 và 1 $\leq$ x $\leq$ 7; 1 $\leq$ y $\leq$ 7

 

Ta có

\[x+y = \sqrt{16 + \frac{2[(7x+27)(x-1)+(20x+7y)(y-1)+y(7-x)]}{19}} \geqslant  \sqrt{16} = 8.\]




#694236 $\sum {{x^3}} + 2\sum {{x^2...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 05-10-2017 - 20:48 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$

 

Lời giải: https://diendantoanh...ào/#entry474480




#694234 $2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2}$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 05-10-2017 - 20:39 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho x,y,z>0 : xy+yz+xz=3. tìm min

A= $2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2}$

 

Bài đẹp nhưng kết quả không đẹp. Đặt

\[P = 2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2} - k(xy+yz+zx),\]

khi đó

\[P=\frac18\left( ky+kz-4\,x \right) ^{2}+{\frac{( {k}^{2}y+{k}^{2}z+4kz-24y) ^{2}}{24-{k}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}( {k}^{3}+9{k}^{2}-96) }{24-{k}^{2}}}.\]

Như vậy nếu chọn $k$ sao cho ${k}^{3}+9{k}^{2}-96=0,k^2<24$ thì $P \geqslant 0$ tức $P$ có giá trị nhỏ nhất là $3k.$




#693766 $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 26-09-2017 - 22:25 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$

 

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất

\[f(a,b,c) = \sum \frac{a+b}{c^2} - \frac{5(a^2+b^2+c^2) -ab-bc-ca}{2abc} \geqslant 0.\]

Giả sử $x,y,z$ là ba số thực dương, áp dụng phép thế Ravi ta có

\[f(a,b,c) = f(x+y,y+z,z+x) \equiv f(x,y,z),\]

\[f(x,y,z)= \frac{1}{2(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \sum (x^3+3x^2y+5xy^2+y^3+2x(x+y-z)^2)(x-y)^2 \geqslant 0.\]




#693604 $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 23-09-2017 - 22:02 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bạn lấy x=9 hoặc bất kỳ đi 

VT ko bằng VP

 

Mình vẫn thấy nó đúng với $x=9$. :(




#693600 $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 23-09-2017 - 21:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

bạn phân tích sai rồi

 

Mình kiểm tra thấy đúng mà nhỉ. :(




#693593 Bất đẳng thức AM-GM

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 23-09-2017 - 21:15 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1: Cho các số thực a,b,c thỏa ab+7bc+ca=188. Tìm GTNN $P= 5a^{2}+11b^{2}+5c^{2}$

Bài 2: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Tìm GTNN P = a2+b2+c3

 

Bài 1. Ta có

\[5a^2+11b^2+5c^2-2(ab+7bc+ca) = \frac15(5a-b-c)^2+\frac65(3b-2c)^2 \geqslant 0.\]

Bài 2. Đặt $z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} > 0,$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có $c^3 \geqslant \frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2},$ và

\[a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2 - \frac{27z}{2(3z+1)} \cdot \frac{(a+b+c)^2}{9} = \frac{(3az-3bz-3cz+2a)^2+(3z+1)(2b-3cz)^2}{(3z+2)(6z+2)} \geqslant 0.\]

Do đó

\[P \geqslant a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2} \geqslant \frac{27z}{2(3z+1)} - \frac{z^3}{2} = \frac{541-\sqrt{37^3}}{108}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12},c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}.$




#693590 $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 23-09-2017 - 20:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x>2. CMR:

$\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

 

Bởi vì

\[\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} -9 = \frac{(x^2+8x+8)(x-4)^2+16}{2(x-2)(x+2)^2} > 0.\]




#693209 Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 17-09-2017 - 15:08 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

$(a^2+b^2-1)x^2 -2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$

 

Phương trình này luôn có nghiệm $x$ bởi vì biệt thức

\[\Delta^{'}_x = \frac{(abd-b^2c-a+c)^2+(b-d)^2(1-a^2-b^2)}{1-b^2} \geqslant 0.\]




#693203 tìm max :xy+yz+zx

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 17-09-2017 - 13:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x,y,z thỏa mãn :$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy$

Tìm MAX : P=xy+yz+zx

 

Xét \[P=\frac{8+12\sqrt5}{41}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy\right) - (xy+yz+zx),\] thì
\[P = {\frac { \left( 3 \sqrt{5}+2 \right)  \left( 12 \sqrt{5}y+12 \sqrt{5}z-32x-17y-8z \right) ^{2}}{10496}}+{\frac { \left( 21 \sqrt{5}+150 \right)  \left( 12 \sqrt{5}z-41y+8z \right) ^{2}}{430336}} \geqslant 0.\]

Do đó

\[xy+yz+zx \leqslant \frac{8+12\sqrt5}{41}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy\right).\]




#692250 $\sum \frac{a(3a^2+5bc)}{(b+c)^2}\geq...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 03-09-2017 - 18:57 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

c. $\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}\geq 2$

 

Nếu có một số bằng $0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên. Xét trường hợp các số đều dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

\[\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc} \geqslant \frac{\displaystyle \left[\sum(a^3+abc)\right]^2}{\displaystyle \sum (b^3+c^3+abc)(a^3+abc)}.\]

\[\left[\sum(a^3+abc)\right]^2 -2 \sum (b^3+c^3+abc)(a^3+abc) = \sum (a^2+bc) \sum a^2(a-b)(a-c) \ge 0.\]

Ta có điều phải chứng minh.




#692161 MAX $\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 02-09-2017 - 22:25 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$

 

Tìm MAX:

 

$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Giá trị lớn nhất là $\frac3{16}$ đạt được khi 3 biến đều bằng nhau.




#691818 $\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq (\frac...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 29-08-2017 - 20:47 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Chỗ y đấy phải là t chứ ạ.

Em đóng góp thế thôi,chứ cách giải của anh cũng rất hay.

 

À đúng rồi, chỗ đấy anh gõ nhầm. Cám ơn em nhé.




#691607 $\sum \frac{x^2}{x^2+xy+xz} \leq...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 26-08-2017 - 20:11 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

$\sum \frac{x^2}{x^2+xy+xz} \leq \frac{\sum x^2}{\sum xy}$
với $x,y,z>0$

 

Ta có

\[\text{VT-VP} = \frac{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}{xy+yz+zx} \geqslant 0.\]




#691604 $\sum {\frac{{a - b}}{b}...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 26-08-2017 - 20:09 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cho 3 số dương a,b,c : CMR $\sum {\frac{{a - b}}{b}}  \ge \frac{{{{(a - c)}^2}}}{{(a + b)(b + c)}}$

 

Ta có

\[\text{VT - VP}=\frac{c^2(a+b)(a-b)^2+b^2c(a-c)^2+ab(a+b)(b-c)^2}{abc(a+b)(b+c)} \geqslant 0.\]




#691602 $\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq (\frac...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 26-08-2017 - 20:05 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cho các các số thực a,b,c thỏa mãn $min(xy,yz,zx)\geq 1$.

Chứng minh rằng:$\sqrt[3]{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}\leq (\frac{x+y+z}{3})^2 +1$

 

Giả sử $x \geqslant y \geqslant z$ và đặt $t=\frac{y+z}2$ thì $x\geqslant t \geqslant 1.$ Xét $f(x,y,z)$ là hiệu của vế phải và vế trái, từ bổ đề

\[(y^2+1)(z^2+1) \leqslant \left[1+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2 \right]^2,\]

ta chứng minh được $f(x,y,z) \geqslant f(x,t,t).$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh $f(x,t,t) \geqslant 0,$ bất đẳng thức này tương đương với

\[1+{{\left( \frac{x+2t}{3} \right)}^{2}}-\sqrt[3]{({{x}^{2}}+1){{({{t}^{2}}+1)}^{2}}}\ge 0,\]

hay là

$${{\left[ {{(x+2t)}^{2}}+9 \right]}^{3}}-729({{x}^{2}}+1){{({{t}^{2}}+1)}^{2}}\ge 0,$$

hoặc

\[\underbrace{\big[{{x}^{4}}+14{{x}^{3}}t+(87{{t}^{2}}+27){{x}^{2}}+(320{{t}^{3}}+270t)x+64{{t}^{4}}-297{{t}^{2}}-486\big]}_{P}(x-t)^2 \geqslant 0.\]

Chú ý rằng

\[\begin{aligned}P=&\left[320t^3+(87x+87)t^2+(14x^2+14x)t+x^3+x^2+28x+312\right] (x-1)\\&+(64t^3+384t^2+174t+284x+174)(t-1) \geqslant 0.\end{aligned}\]

Nên ta có điều phải chứng minh.




#691260 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 22-08-2017 - 00:02 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]

Ta có

\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]




#691259 Chứng minh $(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 21-08-2017 - 23:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

Anh ơi cho em hỏi là anh dùng kĩ thuật gì để ra cái này ạ

 

Anh dùng hệ số bất định.




#691236 BẤT ĐẲNG THỨC

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 21-08-2017 - 20:49 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

                                             $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

 

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ khi đó

\[a^{3}+b^{3}+c^{3}-(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}) = (a+b)(a-b)^2+(c+a)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]




#691166 Chứng minh $(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 20-08-2017 - 20:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

 

Ta có

\[\text{Vế trái  -  Vế phải} = \frac{\displaystyle 3\sum (c^2+5)(ab-1)^2 + \sum (a+b-2c)^2 + 3\left(\sum ab -3\right)^2}{9}.\]




#690911 Chứng minh $\sum {\frac{{a{b^2}}...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 18-08-2017 - 18:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

Có một cách đơn giản hớn là chứng minh

\[\sum \frac{x}{x^3+1} \leqslant \frac34 \sum \frac{x+1}{x^2+x+1} \leqslant \frac32.\]




#690707 xab+ybc+zca

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 16-08-2017 - 22:41 trong Bất đẳng thức và cực trị

có ai biết cách làm dạng này ko?

a)Cho a+b+c=1. Tìm max A= xab+ ybc +zca (x,y,z là các stn)

b ) Cho ab+ bc+ca=1 .tìm min B= xa^2+ yb^2 +zc^2 (x,y,z là các stn)

Tks nh :))

Câu a dùng tam thức, câu b dùng Cauchy-Schwarz.




#690419 $\sum \frac{a}{a+b}+\frac{abc...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 13-08-2017 - 13:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Còn link không anh ? 

 

Link trên VMF anh thử tìm nhưng không ra: http://k2pi.net.vn/s...ead.php?p=78215




#690418 $1+\frac{1}{x^2}$ ≥ $cosA+x(cosB+cosC...

Đã gửi bởi Nguyenhuyen_AG on 13-08-2017 - 13:05 trong Hình học phẳng

 

Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có

 

$1+\frac{1}{2}x^2$ ≥ $cosA+x(cosB+cosC)$

 

Xem hiệu hai vế là một tam thức bậc hai theo $x$ với hệ số của $x^2$ dương. Để chứng minh tam thức này không âm ta chỉ cần chứng minh biệt thức $\Delta$ của nó luôn $\leqslant 0$ là được.

 

Thật vậy

\[\begin{aligned}\Delta & = (\cos B + \cos C)^2 + 2\cos A - 2 \\&= \frac14\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\right)^2 + \frac{b^2+c^2-a^2}{bc}-2 \\&= -\frac{(b-c)^2\left[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4\right] }{4a^2b^2c^2} \leqslant 0.\end{aligned}\]

Ta có điều phải chứng minh.