Thực ra đây vẫn là bài toán con bướm, chỉ là thay vì cắt bên trong đoạn $AB$ thì cắt ở ngoài

Khi đọc đề bài, mình nhớ tới một bài mà anh E. Galois đăng hồi lâu:

 

Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài đường tròn $(O,r)$. Xác định vị trí điểm $M \in (O)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất

https://diendantoanh...o-mamb-nhỏ-nhất

 

Ở đây chỉ có bài toán tìm min với trường hợp tổng quát. Nhưng nếu suy nghĩ tìm max thì cũng sẽ rất thú vị

Hãy thử tăng độ khó lên một chút : Tìm GTLN của $MA + MB$ khi $A, B$ đều nằm ngoài $(O)$ và $O$ nằm giữa $A,B$.

mình k bt dùng kí hiệu trong này 
A= xy+yz+xz +12-xy-yz-xz/3(x+y+z )

gt: 3(x+y+z)² - 5(xy+yz+xz)=12

đắt x+y+z=a, xy+yz+xz=b.

Cm dc a <=3 . b<=3

A=b +12-b/3a=b+ a(12-b)/3a²

A<= b+ 36-3b/12+5b = 9b+5b^2+36/12+5b

CM A<=4. tương đương 11b+12>=5b^2

Do 12>= 4b (=) 15b>=5b^2( đúng)

=) A<=4

 

Min 

do b>=0 =) 3a² >=12 =) a>=2

A= b + a(12-b)/3a² 

A>= b+ 24-2b/12+5b = 5b² +10b+24 / 12+5b >= 10b +24 / 5b+12 =2

Min A=2 khi (x,y,z) là hoán vị của (0,0,2)

Bạn học cách gõ LaTeX qua hướng dẫn ở đây https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Diễn đàn có nơi tập gõ LaTeX: https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Mình đã sửa bài của bạn theo LaTeX, tuy nhiên bạn không đặt dấu ngoặc để phân biệt tử số mẫu số gì cả, nên có thể có sai sót.

Để đơn giản trước thì hãy thử với $6 \times 6$ và mỗi hàng một cột có 3 mã xem

Cho bàn cờ $4*4$.

Có bao nhiêu cách đặt các quân mã lên bàn cờ đó sao cho trên mỗi ô chứa nhiều nhất 1 quân mã, mỗi quân mã chỉ nằm trên 1 ô và mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?

Câu hỏi phụ: có bao nhiêu cách đặt quân mã thỏa đề mà chúng không ăn nhau ?

 

Đã nhắc tới quân mã mà không đặt thêm một câu hỏi phụ như vậy thì phí quá

Từ một điểm được cho trong vùng làm việc Geogebra, cần trích xuất một thành phần toạ độ của điểm đó (giá trị hoành độ thôi chẳng hạn) thì phải làm thế nào? Xin được chỉ dẫn. Thanks!

 

Trong khung lệnh, bạn gõ $x(M)$ (hoành độ) hoặc $y(M)$ (tung độ) với $M$ là điểm cần tìm.

Khi soạn LaTeX, mình lúc nào cũng để ở đầu trang dòng này để bật displaystyle ở mọi chỗ:

\everymath{\displaystyle}

TeX còn hỗ trợ vài định dạng khác, bạn tham khảo ở đây: https://www.overleaf...le_in_math_mode

Không đăng một bài nhiều lần.

https://diendantoanh...24-điểm-đã-cho/

Lời giải rất cẩn trọng và đáng nể Bởi thế mới thấy nếu sử dụng góc định hướng thì cả 7 TH đều quy về 1

Năm nay đa thức là mốt mới à Tới những 3 bài liên quan tới đa thức.

Một cách "trâu bò" theo cấp 2 (vắn tắt):

Vẽ $DH$ cắt $CK$ tại $G$, $AH$ cắt $BK$ tại $I$. Dễ thấy $GHIK$ là hình bình hành.

Ta sẽ chứng minh bằng Menelaus đảo cho tam giác $GDC$ với cát tuyến $H,K,F$:

\begin{equation}\label{eq_target} \frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}}\frac{{FC}}{{FD}} = 1\end{equation}

Trước hết, ta sẽ tính từng tỉ số một, chú ý các cặp song song: $DD' \parallel BB'$ và $AA' \parallel CC'$.

\begin{equation}\label{eq_frac_1}\frac{{HD}}{{HG}} = \frac{{A'D}}{{A'C'}}\end{equation}

\begin{equation}\label{eq_frac_2} \frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{B'D'}}{{B'C}}\end{equation}

Vậy từ \eqref{eq_frac_1} và \eqref{eq_frac_2}, ta có được:

\begin{equation}\label{eq_frac_1_2} \frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{A'D}}{{A'C'}}\frac{{B'D'}}{{B'C}} = \frac{{A'D}}{{B'C}}\frac{{B'D'}}{{A'C'}} \end{equation}

Tiếp tục tìm cách xử lý từng tỉ số:

\[\frac{{ED'}}{{ED}} = \frac{{EB'}}{{EB}} = \frac{{ED' + EB'}}{{ED + EB}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} \Rightarrow B'D' = BD\frac{{ED'}}{{ED}}\]

Tương tự, ta có $A'C' = AC\frac{{EA'}}{{EA}}$ nên $\frac{{B'D'}}{{A'C'}} = \frac{{BD}}{{AC}}\frac{{ED'}}{{ED}}\frac{{EA}}{{EA'}} = \frac{{BD}}{{AC}}$ (chú ý rằng $\Delta EAA' \sim \Delta EDD' \Rightarrow ED'.EA = EA'.ED$)

Lại có $A'B'\parallel CD \Rightarrow \frac{{A'D}}{{B'C}} = \frac{{EA'}}{{EB'}} = \frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{BC}}$ (do $\Delta EDA \sim \Delta ECB$)

Từ \eqref{eq_frac_1_2}, ta có được \[\frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\frac{{BD}}{{AC}}\]

Vậy để có \eqref{eq_target}, ta chỉ cần cm \[\frac{{FD}}{{FC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\frac{{BD}}{{AC}}\]

Mà điều này thì chỉ cần sử dụng $\Delta FCB \sim \Delta FAD$  và $\Delta FBD \sim \Delta FCA$. Ta có đpcm.

 

Bài này đẹp nhỉ Nếu dùng kiến thức cấp 3 thì $F,H,K$ cùng nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn đường kính $AB$ và $CD$. Còn dùng cấp 2 thì chưa biết sao

Xét các số nguyên dương $a,b,x,y$ thoả mãn $a(x+y)=b(x-y)$.Chứng minh rằng tổng $x^2 + y^2 +2a^2+2b^2$ là hợp số.

 

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.

Cho $a=\overline{11\ldots 11}$ (2024 chữ số 1)và $b=\overline{40\ldots 08}$ (2023 chữ số 0).Chứng minh rằng $ab+1$ là số chính phương

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên thay đổi sao cho $ab-2$ luôn là số chính phương. Chứng tỏ rằng khi đó ta luôn tìm được số nguyên $c$ sao cho $ac + 2023$ và $bc + 2023$ đều là tổng của hai số chính phương.

 

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.

Bạn nghĩ sâu quá rồi, chỉ cần 1 cặp chẵn lẻ là nguyên tố cùng nhau rồi! Chọn ra 31 số thì phải có 1 cặp chẵn lẻ theo Dirichlet

$\{6,9\}$ đâu có nguyên tố cùng nhau đâu thầy . Đúng là dùng Dirichlet nhưng phải chia $60$ số đã cho thành $30$ cặp số tự nhiên liên tiếp: $\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}, \ldots, \{59,60\}$. Khi đó mới đảm bảo là tồn tại 2 số nguyên tố cùng nhau.
——
@perfectstrong : Nhiều lúc cũng “lú” thật!

À xin lỗi, mình quên ghi rõ. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Quy về chứng minh $\frac{{AH}}{{BC}} = \cot A$

Gợi ý: Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Hạ $OM \perp BC$ tại $M$.

Nếu có điều kiện thì vẫn nên đi, dù ngắn hay dài, xa hay gần. Ông bà mình cũng bảo là "Đi một ngày đàng học một sàng khôn" mà

Hình học hay phần nào khác cũng cần làm nhiều để quen tay.

Ngoài ra, một mẹo nhỏ mà thầy mình truyền lại là hãy vẽ các đường thẳng thay cho đoạn thẳng, để cho chúng giao nhau xem có tính chất gì hay.

$N,K,I$ tạo thành đường thẳng Steiner, còn $G,J,I$ tạo thành đường thẳng Simpson. Có rất nhiều bài toán thú vị về hai khái niệm này Các bạn có thể tìm hiểu thêm

Đấy đơn giản là một đa thức bậc 2 $f(x)=ax^2+bx+c$ với hệ số bậc cao nhất $a$ là số âm. Bạn có thể dùng cauchy, đạo hàm hoặc tách tổng bình phương để tìm đỉnh của parabol.

Nếu tách tổng bình phương thì sẽ có $f(x)=a\left( {x+\frac{b}{2a}} \right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \le c - \frac{b^2}{4a}$

Xin hỏi bạn đang ở cấp độ học nào thế? Trung học hay đại học? Hay cao học?

Để ý rằng cặp số $(\sqrt 2 +1; \sqrt 2 -1)$ không hề có vai trò nào khác ngoài đẳng thức $(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1)=1$. Vậy thì ta hoàn toàn có thể thay thế bằng một bộ $\left( {\alpha; \frac{1}{\alpha}} \right)$.