Post đầy đủ đề đi bạn.nhìn thiếu thấy khó chịu quá

Cho tam giác ABC cân tại A.biết trực tâm H của tam giác thuộc đường tròn nội tiếp tam giác.tính góc A

Cho 2 dãy số $ (x_n),(y_n) $ thỏa mãn
1.$ y_n $ là dãy số tăng và dương
2.$ lim y_n = + \infty $
3. Tồn tại $ lim \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_n} = L $
thì khi đó
$ lim\dfrac{x_n}{y_n} = L $

* Nếu chọn dãy
$y_n = n \\ x_n = \sum\limit_{i=1}^n a_i $
ta dc dinh ly trung binh Cesaro

$ lim a_n = L \rightarrow lim \dfrac{a_1 +a_2 +...+a_n}{n} =L $
Nhờ bác nào cm định lí Stolz giùm và cho một số ví dụ thực hành

Hix.
Các Pro vào giúp đi
sang năm học hóa Hữu cơ chết mất.

Bdt bunhia mở rộng
còn gọi là bdt Holder
trong chương trình thcs ta có thể biết đến dạng đơn giản như sau
cho 3 bộ số dương
$ (X,Y,Z),(A,BC),(M,N,P) $
thì
$(X^3+Y^3+Z^3)(A^3+B^3+C^3)(M^3+N^3+P^3) \ge (XAM+YBN+ZCP)^3 $

Cm
bdt <=>
$ \dfrac{XAM+YBN+CZP}{ \sqrt[3]{(X^3+Y^3+Z^3)(A^3+B^3+C^3)(M^3+N^3+P^3)}} \le 1 $
Áp dụng bdt Cauchy
ta có
$ \dfrac{XAM}{\sqrt[3]{(X^3+Y^3+Z^3)(A^3+B^3+C^3)(M^3+N^3+P^3)}} \le \dfrac{1}{3}.(\dfrac{X^3}{X^3+Y^3+Z^3} + \dfrac{A^3}{A^3+B^3+C^3} + \dfrac{M^3}{M^3+N^3+P^3}) $
làm tương tự rồi cộng lại ta có dpcm
bdt Holder thường dùng khi
$A=B=C=M=N=P=1 $
$9(x^3+y^3+z^3) \ge (x+y+z)^3 $

Cho$(U_{n})$ xác định bởi $ U_{1}=1$,$U_{n+1}=\dfrac{1}{2}(U_{n}+\dfrac{3}{U_n^2})$,$(n\geq1)$.CMR Dãy có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó

haha.bài này khi sáng thầy mới ra về nhà làm.
Ta sẽ cm $\lim{u_n} = \sqrt[3]{3} $
thật vậy
$|u_{n+1} - \sqrt[3]{3}|=|\dfrac{1}{2}.(u_n+\dfrac{3}{{u_n}^2}) - \sqrt[3]{3}|$
$ =|u_n - \sqrt[3]{3}|.|\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2u_n} - \dfrac{\sqrt[3]{9}}{2{u_n}^2}|$

$ < \dfrac{1}{2}.|u_n-\sqrt[3]{3}| < (\dfrac{1}{2})^n. | u_1 - \sqrt[3]{3} | \to 0 $
$\Rightarrow \lim(u_n-\sqrt[3]{3}) = 0 \Rightarrow \lim{u_n}=\sqrt[3]{3} $

Mod:Không post 2 bài có nội dung giống nhau.Bài viết trên của bạn sẽ bị xóa.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( O:R) có góc C =45độ. đường tròn đương kính AB cắt AC & BC theo thứ tự là M & N.
a/ c,m MN OC
b/ MN = AB/căn2 pro nào giải chi tiết jum` nha thanks

kẻ tiếp tuyến Cx tại C của đường tròn (O)
(tia Cx thuộc nửa mphẳng bờ AC không chứa B
ta có $\widehat{ACx}=\widehat{ABC}=\widehat{NMC} $
$\Rightarrow Cx \parallel MN$
Do $ Cx \perp OC \Rightarrow MN \perp OC $
b, ABNM ntiep $\Rightarrow \vartriangle CMN \sim \vartriangle CBA$
$\Rightarrow \dfrac{MN}{AB}=\dfrac{BN}{AC} = \sin{ACB} = \sin{45} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow AB=MN\sqrt{2} \Rightarrow Q.E.D$

Đây cho em hỏi bài này
Tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tìm thệ thức thể hiện qhệ 3 cạnh của tam giác
( Bài nỳ em chưa vẽ đc hình vi trên máy không có cái vẽ hình ai pót hình đc pót lên lun cho em nhá)

ta có cthức đường trung tuyến
$ m_a = \dfrac{b^2+c^2}{2} - \dfrac{a^2}{4} $
Cm bổ đề này bằng cách kẻ đường cao hoặc vecto
ta có $ BG \perp CG \Rightarrow BC^2=BG^2+CG^2 \Leftrightarrow a^2=\dfrac{4}{9}(m_b^2+m_c^2) $

$\Leftrightarrow a^2=\dfrac{4}{9}\left\[ { \left\( {\dfrac{a^2+c^2}{2} - \dfrac{b^2}{4}} \right\)+\left\( {\dfrac{a^2+b^2}{2} - \dfrac{c^2}{4}} \right\) } \right\]$

$\Leftrightarrow a^2 = \dfrac{4}{9}(a^2 +\dfrac{b^2+c^2}{4}) \Leftrightarrow 5a^2=b^2+c^2 $

Cho $(u_n)$ tm

u_1 = 2011
$u_{n+1} = \dfrac{2011u_n(1+{u_n}^2)}{2011{u_n}^2-u_n+2011} (n \ge 2) $

tìm $ lim(\dfrac{1}{n}.\sum\limit_{i=1}^n \dfrac{{u_i}^2}{1+{u_i}^2}) $
Xin lỗi mình khôn đánh được hệ ptrình

Đây là cách của tớ. Nếu sai xin chỉ giáo.

Gọi O,H,I,K là tâm đường tròn ngoại tiếp,trực tâm,tâm nội tiếp,tâm Euler

Ta có các bổ đề sau
(các bạn tự chứng minh nhé)
1. bán kính đường tròn Euler bằng 1 nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp = $\dfrac{R}{2}$
2. $OI^2=R^2-2Rr$
3. $IH^2=4R^2-\dfrac{a^3+b^3+c^3+abc}{a+b+c}$
3. $OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$
4. K là trung điểm OH
5. công thức trung tuyến
${m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}$
6.$r^2=\dfrac{S^2}{p^2}=\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} = (ab+bc+ca)-\dfrac{(a+b+c)^2}{4} - \dfrac{2abc}{a+b+c}$

quay trở lại bài toán ta sẽ cm
$IK=R_{Euler}-r=\dfrac{R}{2}-r$

để ý đường tròn Euler và đường tròn nội tiếp không thể tiếp xúc ngoài nhau

$ IK^2=(\dfrac{R}{2}-r)^2$
<=> $ \dfrac{IH^2+IO^2}{2}-\dfrac{OH^2}{4}
= \dfrac{R^2}{4}-Rr+r^2$
<=> $ \dfrac{IO^2}{2}+Rr +\dfrac{IH^2}{2}=\dfrac{OH}{4}+r^2 + \dfrac{R^2}{4}$
<=> $2IH^2+R^2=4r^2+OH^2$
thay IH,OH,r bởi các hệ thức phía trên ta có đpcm
=> Đường tròn Euler luôn tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp

chứng minh bằng cách tương tự ta cũng có thêm t.chất đường tròn Euler tiếp xúc với 3 đườn tròn bàng tiếp của tam giác

Cho $x,y>0$.Chứng minh rằng:$x^{y}+y^{x}>1$

Nếu x,y có 1 hoặc 2 số không thuộc $(0,1)$ => dpcm
xét $x,y \in (0,1)$
ta cm $ x^y \ge \dfrac{x}{x+y} $
$ \dfrac{1}{x^y} =\left(\dfrac{1}{x} \right)^y \le \left(1+\dfrac{1}{x} \right)^y \le 1+\dfrac{y}{x} =\dfrac{x+y}{x}$
(BĐT Becnoulli)
làm tương tự rồi cộng lại ta có dpcm

Tìm tỉ lệ các cạnh của tam giác ABC để biểu thức sau đạt min
$ P=2.(\cot{A}+\cot{B})+\cot{C}$

chả có ai chém à ?

thêm 1 nét để biến số 9 la mã thành số 6.

thêm chữ
" S "
đằng trước được không nhỉ.
Cũng 1 nét

Bài này cũng để lâu quá rùi.

Trước hết, điểm (2;0) không được phép đặt tên là O. Mình đặt lại tên là I.
Vì góc giữa hai tiếp tuyến qua A bằng 60 độ nên tam giác ABC đều.

Tam giác IAB vuông ở B nên suy ra:

$AB = AI\cos 30^0 = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra

$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{15\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{5}{4}$

thiếu trường hợp rồi
trường hợp 2 góc BAC = 120 độ.
Mấy lớp chuyên toán tưởng bở sai gần hết

Cho em spam tí tẹo bác học toán bộ mà mới học lớp 10 thì làm gì cần phải chuyên sâu hóa vs lý lớp 12 thế ạ

hè rồi cũng phải tíc cực cày hóa để lên 11 mà chiến còn lí thì hỏi trước thế thui.

Em học Hóa vô cơ không đến nỗi tệ.nhưng đến kì 2 lớp 9 do chỉ chú ý học toán nên các kiến thức hóa hữu cơ gần như không biết gì. Ai có thể cho em phương pháp học và nhớ hóa hữu cơ được không ạ
và nên mua loại sách nào cho hóa hữu cơ và vật lí lớp 12.
Em cảm ơn

ai giải giùm mình bài bất đẳng thức cái

giả sử $ x = max{x,y,z}$
=> $P \le x^3y+x^2yz+\dfrac{1}{2}x^3z+\dfrac{1}{2}x^2z^2 =x^2(x+z)(y+\dfrac{1}{2}z) = 27(\dfrac{x}{3})(\dfrac{x}{3})(\dfrac{x+z}{3})(y+\dfrac{1}{2}z) \le 27.\dfrac{(x+y+\dfrac{5}{6}z)^4}{4^4} \le 27.\dfrac{(x+y+z)^4}{4^4} = 432$
dấu bằng xảy ra khi (x,y,z) =(6,2,0) và các hoán vị
công nhận là đề năm nay khó hơn đề mọi năm

Chào các bạn!
Mời các bạn nêu cảm nghĩ của mình về các nhà toán học yêu thích!

Euler là con người để lại hơn 800 công trình toán học cho nhân loại.thật đáng nể
1 phiếu cho Euler nè

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và hai điểm
P, Q trên (O). Kí hiệu Pa là điểm đối xứng của P qua BC và A’ là giao điểm của QPa và BC.
.Tương tự,ta có Pb là điểm đối xứng của P qua AC và B’ là giao điểm của QPb và AC,Pc là điểm đối xứng của P qua AB và C’ là giao điểm của QPc và AB. Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng

bài này bạn cm A',B',C' là chân đường vuông góc kẻ từ trung điểm cung PQ lên 3 cạnh tam giác => A'B'C' là đường thẳng simsơn của điểm đó lên ABC

Tìm tỉ lệ các cạnh của tam giác ABC để biểu thức sau đạt min
$ P=2.(\cot{A}+\cot{B})+\cot{C}$

Có cần xét trường hợp A trùng B trùng O không nhỉ ?

Đây là đề của năm 2008-2009 chứ.
Năm ngoái đề khác
nhưng mất đề té rồi nên ko post lên đc
thông cảm nha

Đây là cách của tớ. Nếu sai xin chỉ giáo.

Gọi O,H,I,K là tâm đường tròn ngoại tiếp,trực tâm,tâm nội tiếp,tâm Euler

Ta có các bổ đề sau
(các bạn tự chứng minh nhé)
1. bán kính đường tròn Euler bằng 1 nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp = $\dfrac{R}{2}$
2. $OI^2=R^2-2Rr$
3. $IH^2=4R^2-\dfrac{a^3+b^3+c^3+abc}{a+b+c}$
3. $OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$
4. K là trung điểm OH
5. công thức trung tuyến
${m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}$
6.$r^2=\dfrac{S^2}{p^2}=\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} = (ab+bc+ca)-\dfrac{(a+b+c)^2}{4} - \dfrac{2abc}{a+b+c}$

quay trở lại bài toán ta sẽ cm
$IK=R_{Euler}-r=\dfrac{R}{2}-r$

để ý đường tròn Euler và đường tròn nội tiếp không thể tiếp xúc ngoài nhau

$ IK^2=(\dfrac{R}{2}-r)^2$
<=> $ \dfrac{IH^2+IO^2}{2}-\dfrac{OH^2}{4}
= \dfrac{R^2}{4}-Rr+r^2$
<=> $ \dfrac{IO^2}{2}+Rr +\dfrac{IH^2}{2}=\dfrac{OH}{4}+r^2 + \dfrac{R^2}{4}$
<=> $2IH^2+R^2=4r^2+OH^2$
thay IH,OH,r bởi các hệ thức phía trên ta có đpcm
=> Đường tròn Euler luôn tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp

trong đương link mình nêu có cách giải đại số cho bài trên đấy

cảm ơn mọi người.cách lượng giác hay quá.
Cách sơ cấp thì mình có rồi.dù sao cũng cảm ơn bạn.

Đề nghị bạn nêu rõ cách giải

Bạn nói quá vắn tắt

vì sao có thể đặt $x= \sin\dfrac{A}{2}$