Tập $R^*$ không có số $0$ nhá bạn.
Cao Xuân Huy nội dung
Có 661 mục bởi Cao Xuân Huy (Tìm giới hạn từ 28-04-2020)
#449744 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Đà Nẵng 2013-2014 (2 Ngày)
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 12-09-2013 - 22:15 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
#449647 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Đà Nẵng 2013-2014 (2 Ngày)
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 12-09-2013 - 17:57 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Thời gian: 180 phút.
Bài 1: (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x + y) = {x^2}f\left( {\frac{1}{x}} \right) + {y^2}f\left( {\frac{1}{y}} \right),\forall x,y \in \mathbb{R^*}$
Bài 2: (5 điểm)
Cho $n$ số nguyên dương $x_1, x_2,...x_n$ đôi một khác nhau ($n \ge 2$). Đặt $A=\{1,2,...,n\}$. Với mội $i \in A$ lấy ${p_i} = \prod\limits_{j \in A\backslash \{ i\} } {({x_i} - {x_j})} $. Chứng minh $\sum\limits_{i \in A} {\frac{{{x_i}^k}}{{{p_i}}}} $ nguyên với mọi $k$ tự nhiên.
Bài 3: (5 điểm)
Cho đường thẳng $d$ và điểm A không nằm trên $d$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên d và K là trung điểm của $AH$. Hai đường tròn $(M), (N)$ di động nhưng luôn tiếp xúc với d và tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh:
a) Phương tích của K với đường tròn đường kính $MN$ không đổi.
b) Chứng minh đường tròn đường kính $MN$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.
Bài 4: (5 điểm)
Cho bảng kẻ ô vuông kích thước $(2n) \times (2n+1)$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho $k$ thoả mãn điều kiện: ta có thể tô màu $k$ ô vuông đơn vị của bảng sao cho không có hai ô vuông đơn vị nào được tô mà có đỉnh chung.
Ngày 2
Thời gian: 180 phút.
Bài 5: (6 điểm)
Cho số nguyên tố $p>3$. Gọi $k = \left\lfloor {\frac{{2p}}{3}} \right\rfloor $. Chứng minh:
\[\sum\limits_{i = 1}^k {C_p^i} \vdots {p^2}\]
Bài 6: (7 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và điểm $C'$ nằm trên đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng:
a) Tồn tại duy nhất tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ mà các điểm $A'$ và $B'$ nằm lần lượt trên đường thẳng $BC$ và $AC$.
b) Trực tâm của tam giác $A'B'C'$ không phụ thuộc vị trí của điểm $C'$ trên đường thẳng $AB$.
Bài 7: (7 điểm)
Cho $(H)$ là một đa giác đều $24$ cạnh. Mỗi đỉnh của $(H)$ sẽ được tô bởi chỉ một trong hai màu xanh và đỏ. Khi đó, nếu $(K)$ là một đa giác đều thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
- Tập đỉnh của $(K)$ là tập con của tập đỉnh của $(H)$.
- Tất cả các đỉnh của $(K)$ được tô bởi cùng một màu.
thì ta gọi $(K)$ là một mẫu đơn sắc. Hãy tính số cách tô màu các đỉnh của $(H)$ sao cho không có mẫu đơn sắc nào được tạo ra.
#429791 Chứng minh $EI$ đi qua trung điểm $KL$.
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 22-06-2013 - 16:08 trong Hình học
Cho tứ giác $ABCD$ có 2 đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $E$. $M, N$ thuộc $AB$ sao cho $AM=MN=NB$. Hai điểm $P, Q$ thuộc $DC$ sao cho $DP=PQ=QC$. $MQ$ cắt $AC$ tại $K$. $NP$ cắt $BD$ tại $L$. $MQ$ cắt $NP$ tại $I$. Chứng minh $EI$ đi qua trung điểm $KL$.
______________________
P/s: Mình có một lời giải bằng vectơ nhưng không hay lắm. Có bạn nào có lời giải hình học thuần tuý thì post lên nhá.
#420981 $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 25-05-2013 - 14:55 trong Phương trình hàm
Các bước giải:
- Chứng minh hàm $f$ không tăng.
- Giả sử $f(1)\ne 1$ thì kết hợp với $f$ không tăng dẫn đến $f$ hàm hằng (loại).
- Xét $f(1)=1$ thì bằng phản chứng ta được $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>1$ từ đó thay $y=1$ trong pt đầu suy ra $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>0$.
#394506 Bài 4 - Công thức Toán
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 07-02-2013 - 19:45 trong Nơi diễn ra Khóa học
\everymath{\displaystyle}Nhưng ở trong văn bản có 1 dòng đặc biệt em muốn hiện công thức toán đúng kích cỡ ban đầu thì phải dùng lệnh gì ạ ?
#391845 Về mục "Tài liệu tham khảo"
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 30-01-2013 - 20:30 trong Tự học
#391742 Bài 2- Cấu trúc Bài viết, Các lệnh Cơ bản
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 30-01-2013 - 17:14 trong Nơi diễn ra Khóa học
#384638 Thông báo 1 : Khóa học "Soạn thảo tài liệu khoa học với $\LaTeX...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 08-01-2013 - 12:01 trong Nơi diễn ra Khóa học
Anh cho em hỏi luôn là hình thức tổ chức khóa học là như thế nào ạ ?
#380758 Ảnh thành viên
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 26-12-2012 - 23:10 trong Góc giao lưu
Cần em up ảnh không anh =))Em này đừng nói xằng bậy Anh có mục tiêu rồi
#379182 $\sum {\frac{{b(3a + b)}}{{...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 20-12-2012 - 22:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{b(3a + b)}}{{2a + c}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{b(3b + c)}}{{2b + a}}} \]
--> Cao Xuân Huy
#355994 Đề thi luyện HSG 10-THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 22-09-2012 - 23:11 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài 1:
Tóm tắt:
\[hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = x + \frac{2}{x}\\z + x = y + \frac{3}{y}\\x + y = z + \frac{4}{z}\end{array} \right.\]
Cộng lần lượt theo vế các pt:
\[\left\{ \begin{array}{l}2z = \frac{2}{x} + \frac{3}{y}\\2x = \frac{3}{y} + \frac{4}{z}\\2y = \frac{2}{x} + \frac{4}{z}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{zx}} + \frac{3}{{yz}} = 2\\\frac{3}{{xy}} + \frac{4}{{zx}} = 2\\\frac{1}{{xy}} + \frac{2}{{yz}} = 1\end{array} \right.\]
Tới đây chắc khỏe rồi.
Bài 3:
Dùng Holder:
\[(1 + 1 + 1)\left( {x + y + z} \right)\left[ {\sum\limits_{cyc} {{{(y - z)}^2}} } \right] \ge {\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{x{{(y - z)}^2}}}} } \right)^3}\]
#352891 C/m: $\sqrt[3]{xyz}\in \mathbb{Z}$
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 08-09-2012 - 16:35 trong Đại số
#350207 Chứng minh OI là đường thẳng Euler của tam giác MNP
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 27-08-2012 - 14:31 trong Hình học phẳng
#350022 Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 26-08-2012 - 21:32 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Giả sử $a\ge b \ge c$Bài 54: Cho $a,b,c>0$ chứng minh $a^ab^bc^c\geq abc^{\frac{a+b+c}{3}}$
Canada 1995Spoilerbài này có hơn 3 cách
Ta có bđt tương đương:
\[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{a - b}}.{\left( {\frac{b}{c}} \right)^{b - c}}.{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{a - c}} \ge 1\]
Ta thấy ngay ĐPCM
#348293 Phần mềm kiểm tra số nguyên tố
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 19-08-2012 - 16:09 trong Phần mềm hỗ trợ học tập, giảng dạy - Các trang web hay
#347698 Cho $a,b \in [1,2]$ tìm max min của $P=(a+b+c)\left...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 17-08-2012 - 20:33 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này chính xác là thi OLP 30/4 năm 2001
________________
Chậm tí rồi. Anh Khánh delete bài này giúp em
____________________
Đây cũng là một góp ý, nên anh sẽ không xóa đâu?
#346670 Thảo luận về BĐT trong kì thi HSG
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 14-08-2012 - 15:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
http://www.youtube.com/watch?v=0eBp0_VAKhg&feature=player_embedded
Nguồn: onluyentoan.vn
Bạn ninhxa nhầm chỗ màu đỏ rồi-Bài 2 thì có lẽ quy đồng lên là dễ nhất
-Bdt tương đương với:
$x^3y^2+y^3+x^2\geq x^3y+xy^3+xy\Leftrightarrow$$ x^3y(1-y)$$+y^3(1-x)+x(x-y)\geq 0$
-Bdt cuối đúng theo dk
#346522 Cho $xy| x^2+y^2+1$. Chứng minh: $\frac{x^2+y^2+1...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 13-08-2012 - 18:25 trong Số học
Bài 2: Cho 2 số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn:
\[p = \frac{4}{b}\sqrt {\frac{{2a - b}}{{2a + b}}} \]
Tìm giá trị lớn nhất của $p$
#346499 Đề thi Trại hè Hùng Vương 2012 môn Toán lớp 10
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 13-08-2012 - 17:01 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài 4:
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{MA}}{{MD}}.\frac{{MD}}{{MB}} = \cot BAD.\cot BDM = \cot BAD.\cot BAH\\
\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{NC}}{{ND}}.\frac{{ND}}{{NA}} = \tan NDC.\tan DAC = \tan HAC.\tan DAC\\
\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}.\frac{{HA}}{{HC}} = \tan BAH.\cot HAC
\end{array} \right.\]
Từ đó ta có:
\[\frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {HB} }}{{\overline {HC} }} = - \frac{{MA.NC.NA}}{{MB.NA.HC}} = - 1\]
Theo định lí Ceva suy ra ĐPCM
#346467 Chứng minh rằng $\sqrt[3]{xyz}\in Z$
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 13-08-2012 - 15:38 trong Số học
Đặt $GCD(x,y,z)=d$. Thì $x=dx_0;y=dy_0;z=dz_0$ với $GCD(x_0,y_0,z_0)=1 \text{(1)}$
Từ đó:
\[\frac{{{x_0}}}{{{y_0}}} - \frac{{{y_0}}}{{{z_0}}} + \frac{{{z_0}}}{{{x_0}}} = 9 \Leftrightarrow {x_0}^2{z_0} - {y_0}^2{x_0} + {z_0}^2{y_0} = 9{x_0}{y_0}{z_0} \text{ (2)}\]
Nếu $xyz=\pm 1$ thì ta có ĐPCM.
Nếu $xyz \ne \pm 1 $; gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $x_0y_0z_0$ thì từ $(1);(2)$ suy ra $p$ là ước của đúng 2 trong 3 số $x_0;y_0;z_0$. Giả sử $p$ chỉ là ước của $x_0;y_0$.
Gọi $m,n$ là số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn của $x_0;y_0$. Ta xét các trường hợp:
+ Nếu $n\ge 2m+1$ thì: $p^{2m+1}$ là ước của ${y_0}^2x_0;{z_0}^2y_0;9x_0y_0z_0$ nên $p^{2m+1}$ cũng là ước của ${x_0}^2z_0$. Nhưng ${x_0}^2$ không chia hết cho $p^{2m+1}$ nên suy ra $z_0 \vdots p$ (trái giả thiết)
+ Nếu $n\le 2m-1$ thì $p^{n+1}$ là ước của ${x_0}^2{z_0};{y_0}^2{x_0};9{x_0}{y_0}{z_0}$ nên $p^{n+1}$ là ước của ${z_0}^2{y_0}$. Nhưng $y_0$ không chia hết cho $p^{n+1}$ nên $z_0 \vdots p$ (trái giả thiết).
Vì vậy $n=2m$ nên số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn $x_0y_0z_0$ chia hết cho $3$.
Vậy $x_0y_0z_0={p_1}^{3m_1}{p_2}^{3m_2}...{p_k}^{3m_k}$ với $p_i$ là các ước nguyên tố của $x_0y_0z_0$.
Vậy ta có ĐPCM
________________________________
P/s: Câu hỏi đặt ra tiếp theo là ta có thể tổng quát số $9$ ở bên phải bằng $k$ được không.
#346346 Cho a,b,c là các số dương.CM : $\frac{1}{a(b+1)...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 12-08-2012 - 23:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đạt coi lại dòng tô đỏ thử.Do $a,b,c>0$ nên $abc+1\geq \sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)(\sqrt[3]{abc}-1)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
$\to \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$ Vì thế nên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:
$$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}$$
Đặt $a=k.\frac{x}{y},b=k.\frac{y}{z},c=k.\frac{z}{x}$ $\to k=\sqrt[3]{abc}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}=\frac{1}{k}\frac{yz}{kxy+zx}+\frac{xz}{kyz+xy}+\frac{xy}{kzx+yz}$$
$$\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{(k+1)(x+y+z)xyz}\geq \frac{3}{k(k+1)}$$
(Do $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$)
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Nếu làm thế này thì chả khác gì một dạng chuẩn hóa. Với lại nếu làm thế này thì có vẻ như rất nhiều bđt khó được đưa về dạng thuần nhất.
Mình cũng chưa hiểu rõ lắm về thuần nhất nhưng mình thấy nó bị sao ấy.
#345885 $$\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 11-08-2012 - 16:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Em lượng giác hóa phát coi.Bài toán :
Chứng minh rằng, với mọi số thực dương $x,y,z$ thì ta ta có bất đẳng thức :
$$\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z}{(z+x)(z+y)} \le \dfrac{9}{4(x+y+z)}$$
Đặt $a=y+z;b=z+x;c=x+y$ thì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác $ABC$.
Ta có:
\[{\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{1 + \cos A}}{2} = \frac{{2 + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{bc}}}}{4} = \frac{{{{(b + c)}^2} - {a^2}}}{{4bc}} = \frac{{(a + b + c)(b + c - a)}}{{4bc}} = \frac{{(x + y + z)x}}{{(x + y)(x + z)}}\]
Tương tự bđt trở thành:
\[{\cos ^2}\frac{A}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} \le \frac{9}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos A + 1 + \cos B + 1 + \cos C}}{2} \le \frac{9}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}\]
Đến đây là 1 bđt lượng giác cơ bản.
Vậy ta có ĐPCM
#345243 Chứng minh rằng: $\sum \frac{\overrightarrow{GA...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 09-08-2012 - 20:56 trong Hình học phẳng
Đặt: $\frac{{\overline {GA} }}{{\overline {GA'} }} = x;\frac{{\overline {GB} }}{{\overline {GB'} }} = y;\frac{{\overline {GC} }}{{\overline {GC'} }} = z$ thì ta có: $\overrightarrow {GA} = x\overrightarrow {GA'} ;\overrightarrow {GB} = y\overrightarrow {GB'} ;\overrightarrow {GC} = z\overrightarrow {GC'} $
Ta có:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow x\overrightarrow {GA'} + y\overrightarrow {GB'} + z\overrightarrow {GC'} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {GA'} = \frac{{ - y}}{x}\overrightarrow {GB'} + \frac{{ - z}}{x}\overrightarrow {GC'} \text{ (1)} \]
Ta lại có $A';B';C'$ thẳng hàng nên:
\[\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {A'C'} \Rightarrow \overrightarrow {GA'} = \frac{{\overrightarrow {GB'} - k\overrightarrow {GC'} }}{{1 - k}} \text{ (2)}\]
Từ $(1);(2)$ ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - y}}{z} = \frac{1}{{1 - k}}\\\frac{{ - z}}{x} = \frac{{ - k}}{{1 - k}}\end{array} \right. \Rightarrow - \frac{{y + z}}{x} = \frac{{1 - k}}{{1 - k}} \Rightarrow x + y + z = 0\]
Vậy ta có ĐPCM
#342064 Tìm cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn: ${a^{...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 30-07-2012 - 22:27 trong Số học
#340783 Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{\sqrt{a+b}}\leq...
Đã gửi bởi Cao Xuân Huy on 27-07-2012 - 15:14 trong Bất đẳng thức - Cực trị
- Diễn đàn Toán học
- → Cao Xuân Huy nội dung