Đến nội dung

L Lawliet nội dung

Có 576 mục bởi L Lawliet (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#656958 $x=\sqrt{2-x}.\sqrt{5-x}...$

Đã gửi bởi L Lawliet on 06-10-2016 - 22:53 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình:

 

$x=\sqrt{2-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{2-x}$

Mình có cách này...không biết có đúng không

Đk $x\leq 3$

Đặt $a = \sqrt{3 - x} + \sqrt{4 - x}$

$b = \sqrt{5 - x} + \sqrt{4 - x}$

$c = \sqrt{3 - x} + \sqrt{5 - x}$

$A = \sqrt{3 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{5 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{3 - x}\sqrt{5 - x} - x = 0$

Xét $ab = 4 - x + \sqrt{3 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{5 - x}\sqrt{4 - x} + \sqrt{3 - x}\sqrt{5 - x} = 4 + A = 4$

Tương tự ta có

$bc = 5 + A = 5$

$ac = 3 + A = 3$

=> $b^{2}ac = 20$

Mà $ac = 3 + A = 3$

=> $b^{2} = \frac{20}{3}$

=> $9 - 2x + 2\sqrt{4 - x}\sqrt{5 - x} = \frac{20}{3}$

=> $\sqrt{4 - x}\sqrt{5 - x} = x - \frac{7}{6}$

Tương tự với 2 cái còn lại

Thay vào phương trình ban đầu thì ra phương trình bậc nhất ẩn x...




#656941 $x+\sqrt{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{...

Đã gửi bởi L Lawliet on 06-10-2016 - 22:13 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

giải phương trình :

$x+\sqrt{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$

Bạn đặt $x+\sqrt{17-x^{2}}=t$ thì $x\sqrt{17-x^{2}}=\dfrac{t^{2}-17}{2}$.




#655426 $\int_{1}^{0} \dfrac{3x^2-3}...

Đã gửi bởi L Lawliet on 24-09-2016 - 22:29 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính tích phân: $\int_{1}^{0} \dfrac{3x^2-3}{(x^2+1)(x^2+3x+1)} \ dx$

Lời giải.

Ta có:

\begin{align*} I&=\int_{1}^{0}\dfrac{3x^{2}-3}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x^{2}+3x+1 \right )}dx \\ &=\int_{1}^{0}\dfrac{2x}{x^{2}+1}dx-\int_{1}^{0}\dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+1}dx \\ &=\ln \left | x^{2}+1 \right |\bigg|_{1}^{0}-\ln \left | x^{2}+3x+1 \right |\bigg|_{1}^{0} \\ &=\ln \dfrac{5}{2} \end{align*}

----

Đề phòng cho câu hỏi "tại sao lại có dòng thứ hai" thì xem ở đây nhé :D




#654983 Tìm GTLN của x+y với x;y là nghiệm của hệ

Đã gửi bởi L Lawliet on 21-09-2016 - 14:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Lời giải.

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$

Lấy $\left ( 1 \right )+i\left ( 2 \right )$ ta được:

$$x+yi+\dfrac{3\left ( x-yi \right )-\left ( xi+y \right )}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 3 \right )$$

Đặt $z=x+yi$ phương trình $\left ( 3 \right )$ trở thành:

$$z+\dfrac{3\overline{z}-\overline{z}i}{\left | z \right |^{2}}=3$$

$$\Leftrightarrow z+\dfrac{3-i}{z}=3$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} z=2+i \\ z=1-i \end{array}\right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.
----
Bài toán này xây dựng từ số phức nên giải bằng số phức là nhanh nhất. Tuy nhiên để hợp với chương trình mình trình bày lời giải khác không sử dụng số phức:
Lời giải.
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$
Ta thấy $x=0$ hoặc $y=0$ đều không phải nghiệm của hệ nên xét $xy\neq 0$.
Lấy $y\left ( 1 \right )+x\left ( 2 \right )$ ta được:
$$2xy-1=3y$$
$$\Leftrightarrow x=\dfrac{3y+1}{2y}$$
Thay vào $\left ( 2 \right )$ ta được:
$$y-\dfrac{\frac{3y+1}{2y}+3y}{\left ( \frac{3y+1}{2y} \right )^{2}+y^{2}}=0$$
$$\Leftrightarrow y\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( 4y^{2}+1 \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=0 \\ y=\pm 1 \end{array}\right.$$
Vì $y\neq 0$ nên ta được $y=\pm 1$.
Với $y=1$ ta được $x=2$, với $y=-1$ ta được $x=1$.
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.



#654981 CMR $a+b+c> 2\sqrt{abc}$

Đã gửi bởi L Lawliet on 21-09-2016 - 13:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c lần lượt là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=4\sqrt{abc}$

CMR $a+b+c> 2\sqrt{abc}$

Giả thuyết bị nhầm bạn nhé, nếu vậy thì bất đẳng thức cần chứng minh hiểu nhiên đúng rồi :))

Nếu đúng thì giả thuyết phải là $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4\sqrt{abc}$.

Ta có:

$$a+b+c>2\sqrt{abc}$$

$$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c>6\sqrt{abc}$$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 6\sqrt[6]{a^{3}b^{3}c^{3}}=6\sqrt{abc}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$ (không xảy ra) nên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.



#654944 Giải pt $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sq...

Đã gửi bởi L Lawliet on 20-09-2016 - 22:28 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

1) $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $0\leq x\leq 40$.
Đặt $\sqrt{40-x}=a\geq 0$, $\sqrt{45-x}=b\geq 0$, $\sqrt{72-x}\geq 0$ thì $x=ab+bc+ca$.
Mặt khác ta có:
$$a^{2}+x=40$$
$$\Leftrightarrow a^{2}+ab+bc+ca=40$$
$$\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( c+a \right )=40$$
Tương tự ta thu được hệ:
$$\left\{\begin{matrix} \left ( a+b \right )\left ( c+a \right )=40 & & \\ \left ( b+c \right )\left ( a+b \right )=45 & & \\ \left ( c+a \right )\left ( b+c \right )=72 & & \end{matrix}\right.$$
Nhân vế theo vế $3$ phương trình của hệ ta được:
$$\left [ \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right ) \right ]^{2}=360^{2}$$
$$\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )=360$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5 & & \\ b+c=9 & & \\ c+a=8 & & \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \\ c=6 & & \end{matrix}\right.$$
Với $a=2$ ta được $x=36$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm $x=36$.

 

3) $3(x^2-3x+1)=- \sqrt{3(x^4+x^2+1)}$

Lời giải.

Phương trình tương đương:

$$2\left ( 3x^{2}-3x+3 \right )+\sqrt{\left ( 3x^{2}-3x+3 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right )}-3\left ( x^{2}+x+1 \right )=0$$




#654925 Chứng minh $A$ là một số lẻ

Đã gửi bởi L Lawliet on 20-09-2016 - 21:26 trong Số học

Chứng minh $A=\frac{(m+3)^n+1}{3m}$ là một số nguyên thì $A$ là số lẻ.($m,n$ là một số tự nhiên )

Ta có:

$$3m|(m+3)^n+1 \Rightarrow 3m|m^n+3^n+1 \Rightarrow 3|m^n+1 \Rightarrow m\equiv 2 (mod \ 3)$$

và $n$ lẻ.

$$3^n +1 \vdots m \Rightarrow 3^{n+1} \equiv -3 \ (mod \ m)$$

Dễ thấy $V_2(3^n+1)=2$ do $n$ lẻ nên suy ra $V_2(m) \leq 2$

$$ \Rightarrow m=2^\alpha .p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_r^{\alpha _r}$$

với $ \alpha \leq 2$ và $p_i \in \mathbb{P}$ với mọi $i=\overline{1,r}$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{n+1}\equiv -3\ (mod \ p_i)\\ 3^{n+1}\equiv -3\ (mod \ 2)\end{matrix}\right.$$

Vì $n$ lẻ nên suy ra $\left ( \frac{-3}{p_i} \right )=1$

$$\Rightarrow p_i \equiv 1 \ (mod \ 6)$$

$$\Rightarrow m=2^\alpha.(6k+1)$$

Mặt khác vì $m \equiv 2 \ (mod \ 3) \Rightarrow \alpha =1$ do $\alpha \leq 2$

$$\Rightarrow m= 12k+2$$

Ta có:

$$(m+3)^n+1 = (12k+5)^n+1 \equiv  2 \ (mod \ 4)$$

$$\Rightarrow V_2 ((m+3)^n+1)=2$$

Mà $3m \vdots 2$ nên suy ra $A$ lẻ. $\blacksquare$




#654911 $x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y$

Đã gửi bởi L Lawliet on 20-09-2016 - 20:27 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Ai giải bài này giùm và cho mình xin phương pháp khi giải dạng này 14322300_1706023443056321_54464937957048

Lời giải.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$\left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )$$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:

$$\left ( x-\dfrac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\dfrac{1}{2} \right )^{2}=1$$

Để hệ có nghiệm thì cần ít nhất điều kiện sau:

$$\left\{\begin{matrix} -1\leq x-\dfrac{1}{2}\leq 1 \\ -1\leq y+\dfrac{1}{2}\leq 1 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -\dfrac{3}{2}\leq x-1\leq \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{3}{2}\leq y+1\leq \dfrac{3}{2} \end{matrix}\right.$$
Như vậy xét hàm số $f\left ( t \right )=t^{3}-12t$ thì chỉ $t\in \left [ -\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right ]$.
Ta có hàm số này nghịch biến trong khoảng $t\in \left [ -\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right ]$ do đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$$f\left ( x-1 \right )=f\left ( y+1 \right )$$
$$\Leftrightarrow x-1=y+1$$
$$\Leftrightarrow y=x-2$$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$$4x^{2}-8x+3=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{3}{2} \end{array}\right.$$
Với $x=\dfrac{1}{2}$ ta được $y=-\dfrac{3}{2}$, với $x=\dfrac{3}{2}$ ta được $y=-\dfrac{1}{2}$.
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2} \right ),\left ( \dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right )$.
----
Lời giải. (25 minutes)
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$$\left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )-3\left ( x^{2}+y^{2} \right )-9\left ( x-y \right )=-22$$
$$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2}-9 \right )=3\left ( x^{2}+y^{2} \right )-22$$
Từ phương trình thứ hai của hệ ta được $x^{2}+y^{2}=x-y+\dfrac{1}{2}$ thay vào phương trình trên ta được:
$$\left ( x-y \right )\left ( xy+x-y+\dfrac{1}{2}-9 \right )=3\left ( x-y+\dfrac{1}{2} \right )-22$$
$$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left [ 2\left ( x-y \right )+2xy \right ]=21\left ( x-y \right )-41\qquad \left ( 1 \right )$$
Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có:
$$2xy=\dfrac{1}{2}+\left ( x-y \right )-\left ( x-y \right )^{2}$$
Do đó phương trình $\left ( 1 \right )$ trở thành:
$$\left ( x-y \right )\left [ \dfrac{1}{2}+3\left ( x-y \right )-\left ( x-y \right )^{2} \right ]=21\left ( x-y \right )-41$$
----
Mình phân tích cách giải đầu tiên cho bạn.
Đầu tiên nhìn vào hệ ta thấy phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ bậc cao nhất của $x$ và $y$ đều bằng nhau và các biến $x$, $y$ độc lập với nhau. Việc các biến độc lập với nhau nó làm bài toán đỡ phức tạp hơn việc chứa các biến $xy$, $x^{2}y$,... ví dụ như bí quá thì... rút thế (ý kiến cá nhân).
Quay lại bài toán, tại sao lại lựa chọn phương trình thứ nhất của hệ để biến đổi? Quan sát ở phương trình thứ nhất của hệ ta thấy có chứa $y^{3}+3y^{2}$, điều này có nghĩa gì? Một cách tự nhiên nó làm ta nghĩ đến một hằng đẳng thức quen thuộc (thường làm toán nói chung và giải hệ nói riêng thấy những nhân tử như thế mình luôn nghĩ đến việc tạo thành một hằng đẳng thức). Tiếp tục nhìn bên vế trái ta cũng thấy $x^{3}-3x^{2}$ (đôi lúc sẽ là $x^{3}\pm ax^{2}$ nhưng điều này không quan trọng cho lắm, quan trọng là vế trái cũng có bậc $3$ do đó ta nghĩ đến việc đưa hai vế về một hàm bậc $3$ nào đó tương tự nhau. Do đó ta sẽ tiến hành việc phân tích vế phải thành hằng đẳng thức như ý tưởng ban đầu xem sao.
Ta có $y^{3}+3y^{2}-9y=\left ( y+1 \right )^{3}-12y-1$. Mục đích ban đầu của ta là đưa về một hàm nào đó tương tự nhau nhưng $\left ( y+1 \right )^{3}$ và $-12y$ nó không liên quan gì đến nhau cho lắm nên ta sẽ tiếp tục phân tích vế trái thành $\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )+11$.
Đến đây ta đã thấy xuất hiện lên hình dáng hàm cần tìm $t^{3}-12t+1$. Do đó ta biến đổi vế trái như sau, ta cần tìm $a$ sao cho:
$$\left ( x+a \right )^{3}-12\left ( x+a \right )+11=x^{3}-3x^{2}-9x+22$$
$a$ là nghiệm của phương trình $a^{3}-12a+11=22$, ta tìm được $3$ nghiệm $a$ nhưng ta chọn $a=-1$ cho tiện việc tính toán.
Do đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
$$\left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )+11=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )+11$$
$$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )$$
Thông thường đến đây là xem như đã giải quyết xong phần khó nhất của bài toán nhưng nếu xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}-12t$ thì ta chưa thể kết luận việc đồng biến, nghịch biến của nó.
Theo kinh nghiệm bản thân khi đó ta sẽ xử lí phương trình còn lại để tìm điều kiện chặn các biến từ đó kết luận đạo hàm âm hay dương.
Có $x^{2}$ và $x$ độc lập ta nghĩ đến việc tách hằng đẳng thức rồi từ đó dẫn đến lời giải như bên trên.
Đến đây xin dừng. Tham khảo bài tương tự ở đây và trong các bài viết cũ của mình.
Văn chương không được tốt nên diễn đạt không hết được ý nhưng hi vọng nó giúp ích cho bạn và để hiểu rõ hơn cũng như quen với các dạng này bạn tham khảo thêm các bài toán khác trong box phương trình hệ phương trình.
Chúc bạn học tốt.



#654854 $(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}\geq...

Đã gửi bởi L Lawliet on 20-09-2016 - 12:13 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải bpt:

$(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}\geq x^{2}+7x+12$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -2$.

Ta có:

$$\left ( x+1 \right )\sqrt{x+2}+\left ( x+6 \right )\sqrt{x+7}\geq x^{2}+7x+12$$

$$\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )\left ( \sqrt{x+2}-2 \right )+\left ( x+6 \right )\left ( \sqrt{x+7}-3 \right )\geq x^{2}+2x-8$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{\left ( x+6 \right )\left ( x-2 \right )}{\sqrt{x+7}+3}\geq \left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left ( \dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-x-4 \right )\geq 0$$
Mặt khác ta có:
\begin{align*} \dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3} &=\dfrac{x+2}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2} \\ &=\left ( x+2 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}-\dfrac{1}{2} \right )+\left ( x+6 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x+7}+3}-\dfrac{1}{3} \right )-\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}<0 \end{align*}
$$\Rightarrow \dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}<\dfrac{x+2}{2}+\dfrac{x+6}{3}<x+4$$
$$\Rightarrow \dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-x-4<0$$
Do đó bất phương trình tương đương:
$$x-2\leq 0$$
$$\Leftrightarrow x\geq 2$$
Kết hợp điều kiện ta được $-2\leq 2\leq 2$.



#654851 tính xác suất rút được khối có 2 mặt đã được quét sơn

Đã gửi bởi L Lawliet on 20-09-2016 - 11:48 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

1 khối lập phương có các mặt quét sơn được cưa thành 1000 khối lập phương con đều nhau. trộn kỹ chúng rồi rút ngẫu nhiên 1 khối. tính xác suất rút được khối có 2 mặt đã được quét sơn

Lời giải.

Xếp lại $1000$ khối lập phương nhỏ trên thành một khối lập phương lớn (hay khối lập phương ban đầu) thì cạnh của khối lập phương lớn này chứa $10$ khối lập phương nhỏ.

Giả sử khối lập phương lớn này chưa được sơn bây giờ ta tiến hành sơn thì:

- Ở góc của khối lập phương này sẽ có ba mặt được sơn và có tổng cộng $8$ khối lập phương nhỏ ứng với $8$ góc.

- Ở mỗi cạnh của khối lập phương lớn trừ đi hai đầu (hai đầu là hai góc nên có ba mặt được sơn) thì sẽ có hai mặt được tô, có tổng cộng $12$ cạnh nên có $\left ( 10-2 \right ).12=96$ khối lập phương nhỏ được tô hai mặt.

- Ở mỗi mặt trừ đi $4$ cạnh thì ta được các hình lập phương nhỏ được tô một mặt, có tổng cộng $6$ mặt như vậy và mỗi mặt có kích thước $8\times 8$ nên có $8.8.6=384$ khối lập phương nhỏ được tô một mặt.

- Nếu ta loại bỏ các mặt được tô thì ta sẽ được một hình lập phương không có mặt nào được tô nên nó sẽ chứa các khối lập phương không được tô mặt nào, khối lập phương này có kích thước $8\times 8\times 8$ nên có $512$ khối lập phương nhỏ không được tô mặt nào (ở đây ta có thể lấy $1000$ trừ đi các khối đã tính bên trên).

Rút ngẫu nhiên $1$ khối từ $1000$ khối thì có $n\left ( \Omega \right )=C_{1000}^{1}$ cách rút.

Gọi $A$ là biến cố "rút được khối có hai mặt đã được quét sơn".

Số phần tử của biến cố $A$ là $n\left ( A \right )=C_{96}^{1}$.

Vậy xác suất cần tìm là $P=\dfrac{n\left ( A \right )}{n\left ( \Omega \right )}=\dfrac{C_{96}^{1}}{C_{1000}^{1}}=\dfrac{96}{1000}=\dfrac{12}{125}$.

----

Ở trên chỉ cần lập luận đoạn có bao nhiêu khối có hai mặt được tô nhưng mình ghi chi tiết cách tính từng trường hợp luôn.

Câu hỏi khác: Từ $1000$ khối lập phương nhỏ ta xếp lại thành một khối lập phương lớn. Sau đó ta tô $4$ mặt của khối lập phương lớn này thì có tối đa bao nhiêu khối lập phương nhỏ:

- Có ba mặt được tô?

- Có hai mặt được tô?

- Có một mặt được tô?

- Không có mặt nào được tô?




#654836 $6(x+y)(xy+\frac{1}{xy}+2)=(2x^{2}+3y...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 22:59 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải các hệ phương trình :

$$\begin{cases} 6(x+y)(xy+\frac{1}{xy}+2)=(2x^{2}+3y^{2})(1+\frac{1}{xy}) & \text{ } \\ 29(xy+\frac{1}{xy})+62=(9x+13y)(1+\frac{1}{xy})& \text{ } \\ \end{cases}$$

Trình bày hai hướng mong là giúp ích gì đó cho tác giả và mọi người cùng thảo luận:

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$\left ( xy+1 \right )\left ( 6^{2}y+6xy^{2}-2x^{2}-3y^{2}+6x+6y \right )=0$$

Với $xy=-1$ thì thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình vô nghiệm.

Xét $6^{2}y+6xy^{2}-2x^{2}-3y^{2}+6x+6y=0$ thì ta được hệ:

$$\left\{\begin{matrix} 6^{2}y+6xy^{2}-2x^{2}-3y^{2}+6x+6y=0 \\ 29\left ( xy+\dfrac{1}{xy} \right )+62=\left ( 9x+13y \right )\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right ) \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6^{2}y+6xy^{2}-2x^{2}-3y^{2}+6x+6y=0 \\ 29x^{2}y^{2}-9x^{2}y-13xy^{2}+62xy-9x-13y+29=0 \end{matrix}\right.$$
Đến đây tạm dừng để nói về hướng đi khác:
Nếu rút $x$ từ phương trình thứ nhất rồi thay vào phương trình thứ hai, sau đó biến đổi ta được phương trình:
$$\left ( 2x-1 \right )^{2}\left ( 2x^{2}-x+3 \right )^{2}\left ( 58x^{4}-240x^{3}+792x^{2}-336x+87 \right )=0$$
Nhưng mà $x=\dfrac{1}{2}$ không phải nghiệm của hệ, $2x^{2}-x+3=0$ vô nghiệm và $58x^{4}-240x^{3}+792x^{2}-336x+87=0$ cũng vô nghiệm.
Như vậy hệ vô nghiệm?!? Không biết là biến đổi sai ở chỗ nào hay là đề nhầm đoạn nào không :-s
Quay lại bước dừng ở trên, ban đầu dự định dùng uct để giải tiếp nhưng hệ vô nghiệm nên chưa (dám) thử tiếp.
 

Đúng rồi! Quá nhanh nên vội vàng loại đi nhân tử $(y-1)$ (nhân tử có thể bằng 0).

A sửa lại trong vài giây tới!

Quote bài này hi vọng có thể "triệu hồi" bác vanchanh123 giúp đỡ thêm.




#654835 $$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 22:52 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Đây là dạng 2 : $f(x)=g(x)$ với $f(x)$ đồng biến, và $g(x)$ nghịch biến trên khoảng đang xét, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

 

E làm nhiều bài tương tự hầu như nó đều cho nghiệm duy nhất, đến bài này nó lại có 2 nghiệm nên hơi hoang mang

 

Vậy có hai nghiệm đó là do đâu ???

Do vậy nên mình mới không trình bày ở trên :v vì chưa tìm được cách lập luận phương trình chỉ có hai nghiệm và hai nghiệm nằm ở đó :v




#654827 $$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 22:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình: 

 

$$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8$$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -3$.

Nhận thấy $x=\dfrac{1}{4}$ không phải nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho $4x-1$ ta được:

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\dfrac{4x+8}{4x-1}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+3}-2 \right )+\left ( \sqrt[3]{3x+5}-2 \right )=\dfrac{4x+8}{4x-1}-4$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3\left ( x-1 \right )}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}=\dfrac{-12\left ( x-1 \right )}{4x-1}$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-1=0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}=\dfrac{-12}{4x-1} \end{array}\right.$$
Ta thấy $x=1$ thỏa mãn phương trình do đó ta xử lý phương trình:
$$\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}=\dfrac{-12}{4x-1}$$
Đặt $f\left ( x \right )=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}$ thì $f\left ( x \right )$ là hàm nghịch biến trên $\left [ -3;+\infty \right ]$.
Đặt $g\left ( x \right )=\dfrac{-12}{4x-1}$ thì $g\left ( x \right )$ đồng biến trên $\left [ -3;+\infty \right ]$.
Do đó phương trình $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ có tối đa một nghiệm trên $\left [ -3;+\infty \right ]$.
Ta thấy $f\left ( -2 \right )=g\left ( -2 \right )$ nên $x=-2$ là nghiệm duy nhất của phương trình này.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1$ và $x=-2$.
----
Một cách khác nhưng mình chưa hoàn thiện đoạn chứng minh phương trình có hai nghiệm trên đoạn $\left [ -3;+\infty \right ]$:
Lập luận đến đoạn ta được phương trình:

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\dfrac{4x+8}{4x-1}$$

Xét hàm $f\left ( x \right )=\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}$ thì hàm này đồng biến trên các khoảng $\left ( -3;\dfrac{1}{4} \right )$ và $\left ( \dfrac{1}{4};+\infty \right )$.
Xét hàm $g\left ( x \right )=\dfrac{4x+8}{4x-1}$ thì hàm này nghịch biến trên các khoảng $\left ( -3;\dfrac{1}{4} \right )$ và $\left ( \dfrac{1}{4};+\infty \right )$.

 




#654804 tính $B=x^{5}-6x^{4}+12x^{3}-4x^{2...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 20:24 trong Số học

cho $B=x^{5}-6x^{4}+12x^{3}-4x^{2}-13x+2014$

không dùng máy tính, hãy tính giá trị của B khi $x=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$

Lời giải.

Ta có $x=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}=\sqrt{\dfrac{\left ( 3-\sqrt{5} \right )^{2}}{\left ( 3+\sqrt{5} \right )\left ( 3-\sqrt{5} \right )}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Do đó $x$ là nghiệm của phương trình $x^{2}-3x+1=0$. Khi đó ta có:

$$B=x^{5}-6x^{4}+12x^{3}-4x^{2}-13x+2014=\left ( x^{2}-3x+1 \right )\left ( x^{3}-3x^{2}+2x+5 \right )-x+2009$$

Do đó khi $x=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$ thì:

$$B=-x+2009=-\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}+2009=\dfrac{4015+\sqrt{5}}{2}$$




#654781 trong mặt phẳng cho 2015 điểm

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 19:35 trong Toán rời rạc

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho 2015 điểm. Mỗi điểm là tâm một đường tròn đi qua một điểm cố định O. Cmr từ những hình tròn tạo ra có thể chọn được 5 hình tròn mà chúng phủ tất cả 2015 điểm

Lời giải.

Gọi $2015$ điểm trên mặt phẳng lần lượt là $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{2015}$.

Vẽ các đường tròn tâm $O$ bán kính lần lượt là $OA_{1}$, $OA_{2}$,..., $OA_{2015}$.

Ta gọi điểm $A_{i}$ gần điểm $O$ hơn $A_{j}$ nếu $OA_{i}<OA_{j}$.

Gọi $A_{1}$ là điểm gần $O$ nhất thì ta có nhiều nhất $2015$ đường tròn tâm $O$.

Vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau tại $O$ thì hai đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng làm $4$ phần.

Từ $4$ phần trên ở mỗi phần ta chọn điểm xa $O$ nhất ở từng phần rồi từ $4$ điểm ấy ta vẽ đường tròn theo yêu cầu đề bài thì $4$ đường tròn ấy sẽ phủ kín toàn bộ $2015$ điểm trên hoặc sẽ phủ hầu hết các điểm và vẫn còn một vài điểm chưa được phủ. Tuy nhiên, các điểm chưa được phủ sẽ nằm trong vùng cắt của ba đường tròn. Khi đó từ một trong các điểm đó ta có thể vẽ một đường tròn bao phủ $2015$ điểm còn lại.

 

Bài 2: Cmr mọi tam giác có chu vi là 12cm và diện tích 6cm2 thì có thể chia thành 100 tam giác nhỏ mà mỗi tam giác nhỏ đó có chu vi lớn hơn 6cm và có ít nhất một trong chúng đặt được vào bên trong một hình chữ nhật chiều dài 6cm chiều rộng 0,06 cm

Lời giải.

Vì tam giác có chu vi là $12\text{cm}$ nên gọi $AB$ là cạnh nhỏ nhất thì $AB\leq \dfrac{12}{3}=4\text{cm}$.

Gọi $CH$ là chiều cao tương ứng với cạnh $AB$ ($H\in AB$) thì $CH\geq \dfrac{6.2}{4}=3\text{cm}$.

Ta chia đoạn thằng $AB$ thành $100$ phần bằng nhau thì khi đó mỗi tam giác nhỏ (tạo thành từ các điểm trên đoạn $AB$ với $C$) có chu vi lớn hơn hoặc bằng $2CH$ hay chu vi lớn hơn hoặc bằng $6\text{cm}$.




#654776 Chứng minh rằng $a+b+c\geqslant \frac{3}{abc...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 19:03 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b+c\geqslant \frac{3}{abc}$

Lời giải.

Biến đổi giả thuyết:

$$a+b+c\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

$$\Leftrightarrow a+b+c\geq \dfrac{ab+bc+ca}{abc}$$
$$\Leftrightarrow abc\left ( a+b+c \right )\geq ab+bc+ca$$
Với các số thực dương $a$, $b$, $c$ ta có:
$$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+b+c \right )$$
Thật vậy ta có:
$$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+b+c \right )$$
$$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-a^{2}bc-ab^{2}c-abc^{2}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \left ( ab-ca \right )^{2}+\left ( bc-ab \right )^{2}+\left ( ca-bc \right )^{2}\geq 0$$
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta thu được bất đẳng thức trên, áp dụng ta có:
$$ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc\left ( a+b+c \right )}$$
Kết hợp giả thuyết ta được:
$$abc\left ( a+b+c \right )\geq \sqrt{3abc\left ( a+b+c \right )}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{abc\left ( a+b+c \right )}\geq \sqrt{3}$$
$$\Leftrightarrow abc\left ( a+b+c \right )\geq 3$$
$$\Leftrightarrow a+b+c\geq \dfrac{3}{abc}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.



#654765 Tìm B, C biết xB > xC

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 18:08 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho tam giác ABC, A(2;3), I(6;6) là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tâm đường tròn nội tiếp K là (4;5). Tìm B, C biết xb > xc.

Lời giải.

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:

$$\left ( C \right ):\left ( x-6 \right )^{2}+\left ( y-6 \right )^{2}=25$$

Phương trình đường thẳng $AK$ là:

$$AK:x-y+1=0$$

Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của $AK$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì ta tìm được $D\left ( 9;10 \right )$.

Mặt khác ta có $DB=DK=DC$ (chứng minh bằng góc nằm trong đường tròn và tính chất đường phân giác) $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKC$. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKC$ là:

$$\left ( C' \right ):\left ( x-9 \right )^{2}+\left ( y-10 \right )^{2}=50$$

Tọa độ hai điểm $B$, $C$ là nghiệm của hệ:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x-6 \right )^{2}+\left ( y-6 \right )^{2}=25 \\ \left ( x-9 \right )^{2}+\left ( y-10 \right )^{2}=50 \end{matrix}\right.$$

Với điều kiện $x_{B}>x_{C}$ ta được $B\left ( 2;9 \right )$ và $C\left ( 10;3 \right )$.

----

Có thể dùng hệ thức Euler trong tam giác $IJ^{2}=R^{2}-2Rr$ để giải nhưng hướng này hơi dài và tính toán mệt hơn xíu.




#654734 $\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} &...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 09:44 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0 \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-1\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 2$.

Ta có:

$$x^{3}-y^{3}=3x-3y^{2}$$

$$\Leftrightarrow x^{3}-3x=\left ( y-1 \right )^{3}-3\left ( y-1 \right )$$
Vì $0\leq y\leq 2$ nên $-1\leq y-1\leq 1$.
Do đó xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}-3t$ với $-1\leq t\leq 1$.
Ta có $f'\left ( t \right )=3t^{2}-3\leq 0, \ \forall -1\leq t\leq 1$ do đó $f\left ( t \right )$ nghịch biến trên $\left [ -1;1 \right ]$.
Phương trình trên trở thành:
$$f\left ( x \right )=f\left ( y-1 \right )$$
$$\Leftrightarrow x=y-1$$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$$x^{2}-4\sqrt{1-x^{2}}+2=0$$
Đặt $\sqrt{1-x^{2}}=a\geq 0$ phương trình trở thành:
$$a^{2}+4a-3=0$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq 0 \\ a=-2\pm \sqrt{7} \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow a=-2+\sqrt{7}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}=-2+\sqrt{7}$$
$$\Leftrightarrow 1-x^{2}=11-4\sqrt{7}$$
$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{4\sqrt{7}-10}$$
$$\Rightarrow y=1\mp \sqrt{4\sqrt{7}-10}$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( \sqrt{4\sqrt{7}-10};1-\sqrt{4\sqrt{7}-10} \right ),\left ( -\sqrt{4\sqrt{7}-10};1+\sqrt{4\sqrt{7}-10} \right )$.



#654733 Giải hệ $ x^{3}(4y^{2}+1)+2(x^{2}+1)\...

Đã gửi bởi L Lawliet on 19-09-2016 - 09:25 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(4y^{2}+1)+2(x^{2}+1)\sqrt{x}=6\\x^{2}y(2+2\sqrt{4y^{2}+1})=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq 0$.

Ta thấy $x=0$ không phải là nghiệm của hệ do đó chia hai vế của phương trình thứ hai cho $x^{2}\neq 0$ ta được:

$$2y+2y\sqrt{4y^{2}+1}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}}+1}$$

Xét hàm $f\left ( t \right )=t+t\sqrt{t^{2}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ do đó phương trình trở thành:

$$f\left ( 2y \right )=f\left ( \dfrac{1}{x} \right )$$

$$\Leftrightarrow 2y=\dfrac{1}{x}$$
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
$$x^{3}+x+2\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x}-6=0$$
Xét hàm $f\left ( x \right )=x^{3}+x+2\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x}-6$ có $f'\left ( x \right )=3x^{2}+1+4x\sqrt{x}+\dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}>0, \ \forall x>0$.
Do đó $f\left ( x \right )$ đồng biến trên $\left ( 0;+\infty  \right )$ nên phương trình $f\left ( x \right )=0$ có không quá một nghiệm.
Mặt khác ta thấy $f\left ( 1 \right )=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình, từ đó ta được $y=\dfrac{1}{2}$.
Vậy hệ có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 1;\dfrac{1}{2} \right )$.
----
Giải phương trình ẩn $x$ bên trên có thể đặt $\sqrt{x}=a>0$ rồi phân tích nhân tử cũng được nhưng xét hàm như trên nhanh hơn bạn có thể thử với phân tích nhân tử xem.



#654700 $\left\{\begin{matrix} 2y^2-9y-\frac...

Đã gửi bởi L Lawliet on 18-09-2016 - 21:32 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2y^2-9y-\frac{4}{x}+2=0\\ 4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{y^2+4}=0 \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -1$, $x\neq 0$.

Ta có:

$$2y^{2}-9y-\dfrac{4}{x}+2=0$$

$$\Leftrightarrow 2y^{2}-9y+4=\dfrac{4}{x}+2$$
$$\Rightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}=\left ( \dfrac{4}{x}+2 \right )^{2}$$
$$\Leftrightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}-4=\dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x}$$
Vì $x\neq 0$ nên chia hai vế của phương trình thứ hai cho $x\neq 0$ ta được:
$$\dfrac{4}{x}\sqrt{x+1}+y\sqrt{y^{2}+4}=0$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{4}{x}\sqrt{x+1}=-y\sqrt{y^{2}+4}$$
$$\Rightarrow \left ( \dfrac{4}{x}\sqrt{x+1} \right )^{2}=\left ( -y\sqrt{y^{2}+4} \right )^{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x}=y^{2}\left ( y^{2}+4 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}-4=y^{2}\left ( y^{2}+4 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( 2y^{2}-9y+4 \right )^{2}=\left ( y^{2}+2 \right )^{2}$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} 2y^{2}-9y+4=y^{2}+2 \\ 2y^{2}-9y+4=-y^{2}-2 \end{array}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=\dfrac{9+\sqrt{73}}{2} \\ y=\dfrac{9-\sqrt{73}}{2} \\ y=2 \\ y=1 \end{array}\right.$$
Đến đây bạn giải tiếp nhé.



#654692 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi L Lawliet on 18-09-2016 - 21:09 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 535:

$\left\{\begin{matrix} (2x^2-1)(2y^2-1)=\frac{7xy}{2} & \\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0& \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$:

$$x^{2}+\left ( y-7 \right )x+y^{2}-6y+14=0$$

Xét $\Delta _{x}$:

$$\Delta =\left ( y-7 \right )^{2}-4\left ( y^{2}-6y+14 \right )=-3y^{2}+10y-7$$

Để hệ có nghiệm thì ít nhất $\Delta _{x}\geq 0$ hay:

$$-3y^{2}+10y-7\geq 0\Leftrightarrow 1\leq y\leq \dfrac{7}{3}$$

Tương tự, viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $y$, tham số $x$ và lập luận tương tự ta được $2\leq x\leq \dfrac{10}{3}$.

Xét $x=y=0$ không phải là nghiệm của hệ do đó chia hai vế của phương trình thứ hai của hệ cho $xy\neq 0$ ta được:

$$\left ( 2x-\dfrac{1}{x} \right )\left ( 2y-\dfrac{1}{y} \right )=\dfrac{7}{2}$$

Ta có:

$$2x-\dfrac{1}{x}\geq 2.2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$$

$$2y-\dfrac{1}{y}\geq 2.1-\dfrac{1}{1}=1$$
$$\Rightarrow \left ( 2x-\dfrac{1}{x} \right )\left ( 2y-\dfrac{1}{y} \right )\geq \dfrac{7}{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=2$, $y=1$.
Thử lại không thỏa mãn, vậy hệ đã cho vô nghiệm.



#654670 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi L Lawliet on 18-09-2016 - 17:36 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 533: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=\frac{y^3-1}{y+1}\\\sqrt{y+1}=\sqrt{\frac{3-x}{xy+3}}  \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Từ phương trình thứ hai của hệ ta được $y\geq -1$.

Ta thấy $\text{VT}$ của phương trình thứ nhất không âm nên để hệ có nghiệm thì ít nhất $\text{VP}$ cũng phải không âm.

Do đó ta được $y\geq 1$.

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ y\geq 1 \\ \dfrac{3-x}{xy+3}\geq 0 \end{matrix}\right.$.

Ta có:

$$\sqrt{y+1}=\sqrt{\dfrac{3-x}{xy+3}}$$

$$\Leftrightarrow y+1=\dfrac{3-x}{xy+3}$$
$$\Leftrightarrow \left ( xy+3 \right )\left ( y+1 \right )=3-x$$
$$\Leftrightarrow \left ( y^{2}+y+1 \right )x=-3y$$
$$\Leftrightarrow x=\dfrac{-3y}{y^{2}+y+1}$$
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
$$\sqrt{\dfrac{-3y}{y^{2}+y+1}+1}=\dfrac{y^{3}-1}{y+1}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{\left ( y-1 \right )^{2}}{y^{2}+y+1}}=\dfrac{y^{3}-1}{y+1}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{y-1}{\sqrt{y^{2}+y+1}}=\dfrac{\left ( y-1 \right )\left ( y^{2}+y+1 \right )}{y+1}$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y-1=0 \\ \left ( y^{2}+y+1 \right )\sqrt{y^{2}+y+1}=y+1 \end{array}\right.$$
Với $y=1$ ta được $x=-1$, đối chiếu điều kiện xác định ta thấy thỏa mãn.
Với $\left ( y^{2}+y+1 \right )\sqrt{y^{2}+y+1}=y+1$ với $y\geq 1$ nên hai vế không âm, bình phương hai vế ta được:
$$\left ( y^{2}+y+1 \right )^{3}=\left ( y+1 \right )$$
$$\Leftrightarrow y^{6}+3y^{5}+6y^{4}+7y^{3}+5y^{2}+y=0$$
Vì $y\geq 1$ nên phương trình trên vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( -1;1 \right )$.
----
Không để ý kĩ rằng bài này đã được giải ở bên trên... Đăng một bài khác bù vậy...
Bài 536: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} \left ( x+y+\sqrt{x-y} \right )\left ( x-y+\sqrt{x-y} \right )=4y+4 \\ \dfrac{2}{\sqrt{4x+y}}+\dfrac{2}{\sqrt{x+2y}}=\dfrac{3x-y}{x^{2}-xy+y^{2}} \end{matrix}\right.$$



#654581 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix...

Đã gửi bởi L Lawliet on 17-09-2016 - 23:16 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài toán. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-3}+\sqrt[3]{y-8}=1 \\ \dfrac{3x^{2}-xy}{10x-3y}=\sqrt{\dfrac{7x-3y}{x}} \end{matrix}\right.$$




#654577 $\sqrt{x^2+3x−1}+\sqrt{x^2+2x−1}=x$

Đã gửi bởi L Lawliet on 17-09-2016 - 22:53 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

2/ 
$x^3+2x^2−4=0$  (nghiệm xấu em ko biết ghi làm sao)

Dùng Cardano thôi :D

Lời giải.

Đặt $x=y-\dfrac{2}{3}$, phương trình trở thành:

$$\left ( y-\dfrac{2}{3} \right )^{3}+2\left ( y-\dfrac{2}{3} \right )^{2}-4=0$$

$$\Leftrightarrow y^{3}-\dfrac{4}{3}y-\dfrac{92}{27}=0$$
Ta có $\Delta =\dfrac{\left ( -\frac{92}{27} \right )^{2}}{4}+\dfrac{\left ( -\frac{4}{3} \right )^{3}}{27}=\dfrac{76}{27}>0$ nên phương trình có nghiệm duy nhất:
$$x=y-\dfrac{2}{3}=\sqrt[3]{\dfrac{46}{27}+\sqrt{\dfrac{76}{27}}}+\sqrt[3]{\dfrac{46}{27}-\sqrt{\dfrac{76}{27}}}-\dfrac{2}{3}$$
----
Sao bài 1 lại vô nghiệm nhỉ :-s



#654574 MIN: $P=\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y...

Đã gửi bởi L Lawliet on 17-09-2016 - 22:33 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z> 0$ thỏa $xyz=1$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2(z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Lời giải.

Ta có:

$$\dfrac{x^{2}\left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{y^{2}\left ( z+x \right )}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{z^{2}\left ( x+y \right )}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\geq \dfrac{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\dfrac{2y^{2}\sqrt{\frac{1}{y}}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\dfrac{2z^{2}\sqrt{\frac{1}{z}}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$$

Đặt $x\sqrt{x}=a>0$, $y\sqrt{y}=b>0$, $z\sqrt{z}=c>0$. Khi đó $P$ ta có:

$$\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}=2\left ( \dfrac{a^{2}}{ab+2ca}+\dfrac{b^{2}}{bc+2ab}+\dfrac{c^{2}}{ca+2bc} \right )\geq \dfrac{2\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( ab+bc+ca \right )}\geq 2$$

Vậy $\min P=2$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.