Hôm nay, sinh nhật mình 8/8. Ngày sinh và năm sinh rồi lớp của mình đều dính đến số 8 (8/8/1998 lớp 8 ), mình thích nhất chữ số này nên xin được post một bài này cũng có số 8 . Mong mọi người hưởng ứng. Bài này lớp 8 là đủ kiến thức làm nhưng xin được post ở box THPT cho nhiều người làm.

Cho $a,b,c > 0$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} =1$. CMR

$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \le$ 8

Đến giớ tớ mới nhận ra là mình làm sai . Thanks nhiều lắm

Hic 2 bài này khá khó, mỗi tội anh vuthanhtu giờ không thấy vào diễn đàn nữa để hỏi .

Mọi người nghĩ tiếp bài 34 nhé, mình chuyển về dạng phản chứng thấy khả quan, đến đó chắc phải dùng $p,q,r$

Mình gợi ý bài 34 nhé, đặt x,y,z như ở trên thì bất đằng thức dạng phản chứng có dạng.

Cho $x,y,z > 0 $ và $xyz = 1$

CMR $x+y+z \ge 2(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x})$

P/S: @loveyou: 2 bài này đúng là anh vuthanhtu_hd post lên, diễn đàn ta cũng có nhưng ở diễn đàn chúng ta thì chưa post lời giải. Em tìm được nên post cho mọi người cùng làm.

$ \sqrt{\dfrac{a}{1+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+1}} +\sqrt{\dfrac{c}{a+1}} \leq \dfrac{3}{2} $
Biến đổi Vt như sau:
$ VT = \sqrt{\dfrac{ac}{(c+a)(c+b)}} +\sqrt{\dfrac {b^2}{(b+a)(b+c)}} +\sqrt{\dfrac{ac}{(a+c)(a+b)}}$

Vế trái tại sao bằng thế này được ???

sin^2 x+ sin^2 2x+sin^2 3x=2

Hướng giải:

Hạ bậc

$\dfrac{1-cos2x}{2} + \dfrac{1-cos4x}{2} + \dfrac{1-cos6x}{2} =2$

$\Leftrightarrow cos2x + cos4x + cos6x = -1$

$(cos2x + cos6x) + cos4x = 2cos4xcos2x + cos4x = cos4x(cos2x+1)$

$cos4x = 2cos^2 (2x) - 1$

Đưa về PT bậc 3 ẩn là $t = cos2x$

$(2t^2-1)(t+1) = -1$ hay $2t^3+2t^2-t = 0$. Đến đây dành lại cho bạn.

gợi ý nhé
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$

Gợi ý gì vậy??? Sai nặng!!! Thế vào vế trái rồi lại cho 2 cái vế trái bằng nhau thì bằng hòa bạn à.

Thế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần .Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!

Kết luận có tưng đây TH

1) $a+b+c=0$ và có 1 số bằng 0, 2 số khác 0
2) Cả 3 số bằng 0
3) a,b,c khác 0 và $c^2-4ba < 0$
4) a,b,c khác 0 và $a^2-4bc < 0$
5) a,b,c khác 0 và thỏa mãn ( * )
DONE.

Làm 3 bài rồi, xin để lại 1 bài cho xusinst

Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$

Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dở

Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.

GOOD!
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.

Bài này mình xét 2 TH hơi dài

TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$

+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$

Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)

Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung

Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2 \neq 0$ ( * )

TH2) (1) có nghiệm thì hệ gồm cả 3 PT của (1) và (2) phải có nghiệm.

Cộng cả 3 PT lại ta có $(a+b+c) = 0$ vì $x^2+x+1 > 0$

+ Nếu $a=b=c=0$ thì hiển nhiên 2 cái tương đương.
+ Nếu 3 số không đồng thời bằng 0 thì phải có ít nhất 2 số khác 0. Giả sử là $b,c$
thì (2) tương đương với $x = 1$ hoặc $x = \dfrac{a}{b}$ và $x = \dfrac{b}{c}$
đến đây xét tiếp 2 khả năng
Nếu $a=0$ thì cả (1) và (2) đều tương đương với $x=1$, được.
Nếu $a \neq 0$ thì (1) có 2 nghiệm 1 và $\dfrac{c}{a}$

(1), (2) tương đương thì phải có $x = \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} =\dfrac{c}{a}$ tức là $a=b=c$ điều này không xảy ra vì 3 số không đồng thời bằng 0.

Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$

P/S: cho kết quả cuối cùng.

$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$

hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$


$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$


hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$

Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.

$Cho\,\,a \ge 0,\,b \in R$ cố định. Giải phương trình: $5x^5 + 5ax^3 + a^2 x + 5b = 0$.

Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.

Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$

Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$

Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$

Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.

Thấy một số thông tin nói giải toán trong đầu rất có lợi vì nó giúp rèn luyện trí nhớ nên mình đã thử làm như vậy. Mình thường tưởng tượng ra hình ảnh của các phương trình và giải quyết chúng như khi làm trên giấy. Sau nhiều lần làm thế mình thấy tốc độ tăng lên đáng kể. Nhưng khi gặp những dòng công thức dài và phức tạp, mình cảm thấy rất khó khăn để nhớ hết các kí tự trong hình ảnh (trong đầu) đó.
Những bạn giỏi toán ở đây có thường làm như thế không?
Hơn nữa hình ảnh của mình bây giờ còn chưa rõ ràng cho lắm. Thực hành nhiều có làm sắc nét lên không?
Ai có kinh nghiệm về việc này xin chỉ giáo...!!!

Chỉ nên tưởng tượng mấy cái đơn giản thôi. Còn các cái phức tạp khác theo mình nếu tưởng tượng dễ nhầm lắm, mà nếu nằm giường tưởng tượng rồi ngủ gật cho xem

Anh giải ra kết quả cuối cùng luôn đi! Em ngu không tìm được

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

ừ, giải hệ xong em tìm được a, b thay vào ta có
$u_n = (1-\dfrac{\sqrt{66}}{8})(\dfrac{6-\sqrt{32}}{2})^n + (1+\dfrac{\sqrt{66}}{8})(\dfrac{6+\sqrt{32}}{2})^n $

Em có thể tính thử với $n = 0,1,2,..$ và công thức ở đề để check lại

Bài 30: Xác định hàm số $f:\,N \to R$ thỏa mãn

$\left\{ \begin{array}{l}f(0) = 2 \\ f\left( {n + 1} \right) = 3f\left( n \right) + \sqrt {8f^2 \left( n \right) + 1} \\ \end{array} \right.\,,\,\,\,\,\forall n \in N$.

-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Chuyển về dạng dãy
$\left\{ \begin{array}{l}u_0 = 2 \\u_{n+1} = 3u_n + \sqrt {8u_n^2 + 1} \\ \end{array} \right.\,,\,\,\,\,\forall n \in N$.

Ta có $(u_{n+1} - 3u_n)^2 = 8u_n^2 + 1$ nên

$u^2_{n+1} - 6u_{n+1}u_n + u_n^2 -1 = 0$, thay n bởi n-1

$u^2_{n} - 6u_{n}u_{n-1} + u_{n-1}^2 -1 = 0 $ hay

$u^2_{n-1} - 6u_{n-1}u_n + u_n^2 -1 = 0$


Vậy $u_{n+1}, u_n$ là nghiệm của PT $X^2 - 6Xu_n + u_n^2-1=0$. Theo Viete thì

$u_{n+1} + u_{n-1} = 6u_n$ với $n\ge 1$

Đến đây, dùng sai phân, xét PT đặc trưng $X^2-6X+1=0$

ra 2 nghiệm $\dfrac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$

$u_n = a(\dfrac{6-\sqrt{32}}{2})^n + b(\dfrac{6+\sqrt{32}}{2})^n $

Thay n = 0, 1 vào là tìm được a, b thôi.

Thử 1 hình



P/S: Mọi người post ảnh nên up lên web rồi chèn link, đỡ tốn dung lượng host của diễn đàn

Thế thì hình này nè

Bóng đá!

cho mình hỏi dãy hội tụ là gì vậy

Dãy hội tụ là dãy có giới hạn hữu hạn. Còn dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô cùng gọi là dãy phân kỳ.

1/So sánh:
$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4} } } } }$ và 3
Xin mọi người giúp em với, em ko biết phải xử lý thế nào.Cảm ơn mọi người rất nhiều!!

$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4} } } } } <\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6} } } } }$

$<\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{9} } } } } = 3 $

Suy luận tí đi, cái hình mà dấu mũi tên chỉ ngoài hình dạng không có gì khác biệt nên ta bỏ qua, xét tới màu sắc và câu nói khi chỉ vào!

Số đỏ! Tên 1 tác phẩm Văn học & 1 hãng mì tôm

Cho mình thứ lỗi do mình gõ thiếu ( đã sửa ) . Tiếp tục với các bài sau :
Bài 27 : Cho tứ diện S.ABC vuông tại S. gọi $ S=S_{ABC}, S_1=S_{SAB}; S_2=S_{SBC}; S_3=S_{SCA} $
Chứng minh rằng :
$ \dfrac{S_1^2}{S_1^2+S^2}+\dfrac{S_2^2}{S_2^2+S^2}+\dfrac{S_3^2}{S_3^2+S^2} \leq \dfrac{3}{4} $
Bài 28 :giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}{x^3-5x=y^3-5y}\\{x^8+y^4=1}\end{array}\right. $

Chú ý rằng $ \dfrac{S_1^2}{S_1^2+S^2} = 1 - \dfrac{S^2}{S_1^2+S^2}$ và 2 đẳng thức tương tự

BDT cần chứng minh tương đương với

$S^2(\dfrac{S^2}{S_1^2+S^2}+\dfrac{S^2}{S_2^2+S^2}+\dfrac{S^2}{S_3^2+S^2}) \ge \dfrac{9}{4}$

Chú ý trong tứ diện vuông ta có hệ thức cơ bản sau (có trong nhiều tài liệu)

$S^2 = S_1^2+ S_2^2 +S_3^2$

Từ đó Cauchy-Schwartz cho vế trái:
$VT \ge S^2.\dfrac{9}{S_1^2+ S_2^2 +S_3^2+3S^2} = \dfrac{9}{4}$

Bài 34. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 1$

Gợi ý xusinst: bài này có thể đặt $x = b+c-a, y = c+a-b, z = a+b-c$ sau đó đưa về BĐT dạng phản chứng.

Tiếp nè:
$A=2^{3^{2^3} and B= 3^{2^{3^2}$

$A = 2^{3^{8}} = 2^{6561} > 2^{4.1640} = 16^{1640}$

$B = 3^{2^9} = 3^{512}$

Đến đây chắc có ngay kết luận

So sánh
$A=2^{3^2} and B= 3^{2^3} $
cố gắng giải đi

Bạn này post bài dễ, đã thế lại còn hay có các câu "cố gắng giải đi, ..." như kiểu thách thức.

Có lẽ tại nhầm
P/s: lần sau khi post bài giải nhớ xem kỹ nhé!!!

---------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Nhầm, hàm này thuần nhất $f(tx,ty,tz) = t^2f(x,y,z)$
Bài này là làm chặt bài APMO đấy
$a^2+b^2+c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ca)$ nhưng bài APMO có lời giải ngắn hơn chỉ vài dòng