Cho x,y,z>0 CMR:
$3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2$

Một cách khác:

Ta có:
$$(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2).$$
Từ đó ta suy ra:
$$A+3 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2)\left(\dfrac{1}{a^2 + 2(b^2 + c^2)}+\dfrac{1}{b^2 + 2(a^2 + c^2)}+\dfrac{1}{c^2 + 2(b^2 + a^2)}\right).$$
Do ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a^2=b^2=c^2$ nên mình nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) \geq 9$ ( ta có thể dùng AM-GM để chứng mình bđt này dễ dàng. )

Vì thế mình nhân cả 2 vế bđt vừa "suy ra" cho $\dfrac{5}{2}$ thì được:
$$(A+3)\dfrac{5}{2} \geq 9 \Leftrightarrow A \geq \dfrac{3}{5}$$
Giá trị nhỏ nhất của A là $\dfrac{3}{5}$ đạt được khi $a^2 =b^2 = c^2$.
Vậy bài toán đã giải quyết xong.

Cho $a,b,c \neq 0$. Tìm minA biết:

$A=\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}$

Ta có: $(a+b)^2\le 2(a^2+b^2), (b+c)^2\le 2(b^2+c^2), (c+a)^2\le 2(c^2+a^2)$
$\Rightarrow A\geq \dfrac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\dfrac{b^2}{b^2+2(c^2+a^2)}+\dfrac{c^2}{c^2+2(a^2+b^2)}=\dfrac{a^4}{a^4+2a^2(b^2+c^2)}+\dfrac{b^4}{b^4+2b^2(c^2+a^2)}+ \dfrac {c^4}{c^4+2c^2(a^2+b^2)}$
$\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$
Ta lại có: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\Rightarrow A\geq \dfrac{3}{5}$
Vậy $MinA=\dfrac{3}{5}$ khi $a^2=b^2=c^2$.

Cho x,y,z>0 TM: $x^8+y^8+z^8=\frac{1}{27}$ CMR:

$\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{x^2+z^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$

Mình có ý tưởng này nhưng không biết đánh giá sao nữa mọi người giúp với.

Đặt
$x^2=a$
$y^2=b$
$z^2=c$

Từ gt $\rightarrow a^3+b^3+c^3=\frac{1}{27}$

BĐT cần CM $\leftrightarrow \frac{a^3}{\sqrt{a}(b+c)}+\frac{b^3}{\sqrt{b}(c+a)}+\frac{c^3}{\sqrt{c}(a+b)} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$

Đến đây thì không nghĩ được gì nữa!

Theo cô si :
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)^6}{27}} \ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$

Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.

Một bài tập không khó và nó cũng từng xuất hiện trên toán học tuổi trẻ.Có hơn 1 cách làm bài này và hiển nhiên ở mỗi cách lại có 1 bài toán tổng quát khác nhau.Mình xin đưa ra một các các bạn tự tìm những cách còn lại hoặc tham khảo trên tạp chí nhé
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì ta có
$$A^2 \le 3(\frac{1}{a^3+2b^3+6}+\frac{1}{b^3+2c^3+6}+\frac{1}{c^3+2a^3+6}) \le \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$$
Từ đây ta có điều phải chứng minh

Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?

Cho x,y,z>0. Tìm minP biết:

$P=\dfrac{x^2y}{z^3}+\dfrac{y^2z}{x^3}+\dfrac{z^2x}{y^3}.$

Chứng minh đẳng thức sau biết rằng chỉ được biến đổi vế trái:

$(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})-\dfrac{9}{4}=(\dfrac{2}{bc}-\dfrac{1}{a^2})(b-c)^2+(\dfrac{2}{ca}-\dfrac{1}{b^2})(a-c)^2+(\dfrac{2}{ab}-\dfrac{1}{c^2})(a-b)^2$

CM quy nạp BĐT sau

cho $n$ là một số tự nhiên lớn hơn 1. hãy CM BĐT sau:

$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{13}{24}$

CM quy nạp BĐT sau:

CMR với mọi số nguyên dương n thì ta luôn có BĐT

$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$

Có gì không ổn đâu

Có gì không ổn đâu

câu đấy mà chấp nhận được ak

Là một bạn à. Bạn có thể xem ở đây: http://vi.wikipedia....i%E1%BB%87t_Nam

Bài viết này sẽ bị xoá sau 22h hôm nay.

anh cho em hỏi là nếu đạt giải ba trở lên trong cuộc thi VMO thì có được tuyển thẳng vào trường đại học mình muốn không

mọi người cho em hỏi cuộc thi VMO và cuộc thi học sinh giỏi quốc gia môn toán có khác nhau không hay là 2 cuộc thi đó là một

bài này không khó lắm đâu bạn ak

mình hướng dẫn bạn nè

PT$<=>(sinx+cosx)^4=1+4sin^2xcos^2x$

đặt $sinx+cosx=t$ $(t$ $ [\sqrt{-2};\sqrt{2}])$

PT$<=>t^4=1+(t^2-1)^2$

$<=>2t^2=2$

$<=>t=1$ hoặc $t=-1$

$=>cos(x-\dfrac{\pi}{4})=1$ hoặc $cos(x-\dfrac{\pi}{4})=-1$

...............................

đến đây thì bạn tự giải nhé PT lượng giác cơ bản rồi!

sao biến đổi được ra thế này bạn. mình không hiểu

PT$<=>(sinx+cosx)^4=1+4sin^2xcos^2x$

GPT:

$sin^4(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{4}+cos^2x-cos^4x$

GPT:

$cosx(2sin^2x+2sinx+1)=2cos^3x+sinx+1$

GPT:

$\dfrac{3(sinx+tanx)}{tanx-sinx}-2cosx=2$

GPT:

$\dfrac{sin^4x+cos^4x}{sin2x}=\dfrac{1}{2}.(tanx+cotx)$

giải PT:
$cos2x+cos\dfrac{3x}{4}-2=0$

mình giải được bài này rồi post lên cho mọi người coi

PT$<=>cos2x+cos\dfrac{3x}{4}=2 (1)$
ta có $-1\leq cos2x \leq1$
$-1\leq cos\dfrac{3x}{4} \leq1$
$=>cos2x+cos\dfrac{3x}{4}\leq2 (2)$
từ $(1) , (2) =>$ dấu$''=''$ xảy ra $<=>$ $cos2x=1$ và $cos\dfrac{3x}{4}=1$
đến đây thì dễ rồi. các bạn tự giải tiếp nhé

em đang cần sách hay về phần PT lượng giác
sách cần phải giới thiệu gần như tất cả các dạng PT lượng giác hay và có cùng với cách giải.
phải có nhiều bài tập hay và khó.
ai biết quốn nào chỉ cho em với. Em đang cần khoảng 3 quển khác nhau có nội dung như thế anh chị nào biết bảo giới thiệu cho em nhé.