Cho $x,y$ là các số thực dương thoả $x<1<y<e$ và $x-x\ln x=y-y\ln y$. Chứng minh $x+y>2$.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của biểu thức

$P=\sqrt{1+a^{2017}}+\sqrt{1+b^{2017}}+\sqrt{1+c^{2017}}$.

Đánh giá $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$. Suy ra $\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge \frac{a^3}{a^2+\frac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\frac{2}{3}\frac{a^3}{a^2+b^2}$.

Sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu: $\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}$.

Từ đó ta suy ra:

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge \frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}+b-\frac{c}{2} +c-\frac{a}{2} \right)=\frac{a+b+c}{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Bài 7a. $\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\Leftrightarrow 2a^3\ge 2a^2-a^2b+2ab^2-b^3\Leftrightarrow b(a-b)^2\ge 0$ (luôn đúng)

Cho biểu thức $P=\sqrt{\dfrac{x(x-2)}{x+1}}$. Giả sử $x$ là số thực thỏa mãn $\sqrt{x^2-x-2}+3\sqrt{x}\ge \sqrt{5x^2-4x-6}$ thì có bao nhiêu giá trị $P$ nguyên dương?

Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\Leftrightarrow a.\overrightarrow{SA'}+c\overrightarrow{SC'}=b\overrightarrow{SB'}+d\overrightarrow{SD'}$

Do  $A',B',C',D'$. đồng phẳng nên ta có đpcm

Bạn cho mình hỏi vì sao $A',B',C',D'$ đồng phẳng lại suy ra điều phải chứng minh. Mình cám ơn

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $(P)$ là mặt phẳng lần lượt cắt 4 cạnh $SA,SB,SC,SD$ tại các điểm $A',B',C',D'$.

Đặt $a=\frac{SA}{SA'},b=\frac{SB}{SB'},c=\frac{SC}{SC'},d=\frac{SD}{SD'}$. Chứng minh $a+c=b+d$.

Trong một giải đấu bóng bàn, số vận động viên nam nhiều gấp đôi số vận động viên nữ. Mỗi cặp vận động viên thi đấu với nhau đúng một lần và không có trận hòa, chỉ có thắng-thua. Tỉ số giữa số trận thắng của nữ và số trận thắng của nam là $\dfrac{7}{5}$. Tìm số vận động viên của giải đấu.

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3x+2-2\sqrt{6x^2+3x}}{x^2-2x+2-\cos(x-1)}$

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 và luôn chứa chữ số 0.

Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$

Cho $f(0)=6$, $\int\limits_0^1 f(2x-2)f'(x) d x=6$. Tính $\int\limits_0^1 f(x) dx$.

A. -3

B. -9

C. 6.

D. 3.

Xét tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB=BC=CD=DA=1$ và $AC,BD$ thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $ABCD$ bằng?

Tính $\int\limits_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^4}dx$

Mọi người gợi ý giúp mình hướng đi với, mình đạo hàm thử $y'=2f(x).f'(x)$ và xét dấu tích này nhưng không biết xét dấu của f(x) thế nào cả

Ta có: $x=-2\sqrt{x} \iff x=0$

 

Thể tích khối tròn xoay cần tính là: $S= \pi \int^5_0 |x^2-4x| dx=13 \pi$

Đáp án của đề nó ra $\dfrac{157\pi}{3}$

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-2\sqrt{x}$, $y=x$ và $x=5$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu?

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $\dfrac{1}{p-a}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}$.

Xét 2 trường hợp:

- TH $x \le 0$: $(6+\sqrt{5})^x-(6-\sqrt{5})^x-2\sqrt{5}<0$

- TH $x>0$: Xét $f(x)=(6+\sqrt{5})^x-(6-\sqrt{5})^x-2\sqrt{5}$. Hàm số này đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$

Bạn cho mình hỏi là TH $x>0$ để chứng minh hàm đồng biến có phải xét đạo hàm không, với lại khi đạo hàm được $f'(x)=(6+\sqrt{5})^x\ln (6+\sqrt{5})-(6-\sqrt{5})^x\ln (6-\sqrt{5})$, chứng minh $f'(x)>0$ thế nào vậy bạn?

Giải phương trình $(6+\sqrt{5})^x-(6-\sqrt{5})^x=2\sqrt{5}$

Mình đoán được 1 nghiệm $x=1$ nhưng làm sao để chứng minh nó là nghiệm duy nhất?

Bài 3.

Sử dụng BĐT Cô-Si $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+xy\ge \dfrac{2}{xy}+xy=\dfrac{2}{xy}+32xy-31xy\ge 2\sqrt{64}-31xy=16-31xy\ge 16-31.\dfrac{(x+y)^2}{4}=\frac{33}{4}$.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$.

Ở đây ta chú ý phân tích $xy$ thành $32xy-31xy$ để khi dùng BĐT Cô-si, dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{1-x}+\sqrt{3x-1}$.

Giải phương trình: $3-6x\sqrt{x^2-4x+1}=9x^2-8x$

Tìm $m$ để bất phương trình $\log 5+\log x^2+1 \ge \log mx^2+4x+m$ có nghiệm đúng với mọi $x\ne 0$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y=(m-4)$ cắt đồ thị hàm số $y=(x^2-1)(x^2-9)$ tại 4 điểm phân biệt?