Em sẽ mang máy PS II của em theo. Bạn nào muốn giao lưu thì tối về cứ qua phòng chuyentoan

Đợt này diễn đàn toán học tổ chức offline hoành tránh quá Lâu lâu mới thấy thày Nam Dũng active nhiều thế này. Tiếc là mình không bay về kịp để tham dự.

Chúc các bạn tổ chức hoạt động này thành công và chúc diễn đàn luôn phát triển.

Tớ dị ứng công nghệ lắm, đấu thầu nhá, bạn nào nhận chế cho VMF 1 cái portal pro 1 chút, tớ xin tặng 10 cuốn sách toán (sơ cấp hay cao cấp đều có cả), hehe

He nay co tgian to lam cho Ko can tinh gia dau.

Latex a

http://www.dongmaula...m/latexhelp.php

Live Checking nhe.

He nay chac co tgian, anh se giup dien dan tich hop bo go chuan cua Latex. Van la Mimetex, nhung ma bo go thi chi la 2 dau dollar thoi.

IE8 no the. Unikey ko dung dc. JS thi bi chan, cha hieu sao.

MrMath dao nay chac cung biet dc khoi kien thuc ve lam web day nhi

Tot roi Chuc Dien Dan som phat trien tro lai.

....

Cáp 2 có www.diendan3t.net
Cấp 3 có www.maths.vn

Diễn đàn 3T mà hieuchuoi@ và Nesbit khởi xướng ban đầu dưới mác diễn đàn chính thức của tạp chí 3T, nay cho dù chỉ có liên quan tới 3T qua khoản tài trợ tiền host và domain, vẫn có khả năng phát triển tiếp, đơn giản vì đối tượng học sinh cấp 2 là rất đông đảo

Tương tự với toanthpt (tiền thân của maths.vn), mặc dù admin bên đó là bác Phú Khánh đợt trước có gặp chút rắc rối, nhưng cũng như các scandal ở nước mình, "nạn nhân" hầu như chỉ có lợi. Và do việc thi đại học ở nước mình vẫn còn rất "phát triển", nên toanthpt sẽ còn phát triển mạnh mẽ hơn nữa trong thời gian tới

Tuy nhiên xét một cách tổng thế thì hầu như hoạt động thảo luận online trên forum đã bão hòa rồi. Và do đó có thể trong thời gian tới sẽ có sự chuyển hướng, từ việc thảo luận trên forum, các thành viên sẽ rút dần vào các weblog cá nhân. Cá nhân tớ cho rằng đây cũng có thể là một phương án tốt để phát triển diễn đàn

Không biết có bạn nào có hứng thú với weblog và đã ngâm cứu nhiều về wordpress, blogspot, vnweblogs không. Tớ đang muốn phát triển một module na ná như vậy trước là cho cộng đồng toán, sau sẽ mở rộng dần cho các đối tượng khác. Đang hi vọng tìm được người cùng ý tưởng

Nhận xét của MrMath trong topic này về các diễn đàn là khá sâu sắc.

Thực ra web2.0 (& blog) mới là sự chuyển hướng sau này. Còn việc phát triển module như MrMath nói hình như ko khả khi lắm.

Vâng, em thấy nhận xét của thầy Nam Dũng là đúng. Có điều vấn đề chương trình giáo dục hiện tại có quá nhiều vấn đề, và những thay đổi như vậy chỉ là quá nhỏ.

Thỉnh thoảng cũng phải ăn phở chứ, ăn cơm mãi sao được

Chuyentoan chưa vợ con mà đã có suy nghĩ ... bậy bạ Học hành sao rồi em

Anh thấy ảnh bạn gái tuấn post lên nhìn cute nhất.

Mọi người thông cảm. Sách vol2 là 356 trang, bị cắt mất khoảng 100 trang. 100 trang này sẽ đc post online trong thời gian sớm nhất. Hungkhtn cũng muốn post lâu rồi nhưng vì một số ràng buộc với nhà xuất bản nên chưa post đc.

Quan trọng là học sinh hiểu được đc học BDT không phải để trở thành nhà toán học, mà là để tìm tòi và (một phần để) giải trí. Nhận xét chủ quan của em, bất đẳng thức là tương đối dễ, và như em đã nói, sự sáng tạo là khá giới hạn.

Bây giờ không phải là 20-30 năm trước khi tất cả kiến thức, thậm chí quyết định của học sinh phụ thuộc vào thày cô giáo hay chương trình giáo dục, và học sinh chỉ cần biết những thứ "bày ra trước mắt". Ở thời đại hiện nay, học sinh phải ý thức được mình cần học cái gì, và học như thế nào để thi cử (or apply) có hiệu quả, cho tương lai về sau. Em nghĩ đây mới là cách quan trọng nhất để cải thiện chất lượng giáo dục, nếu không thì sẽ mãi ở phía sau phần còn lại của thế giới.

Các bạn thành viên thân mến,

Diễn đàn toán học tồn tại trong suốt 4+ năm qua, là do sự quan tâm truy cập, đóng góp trí tuệ, thời gian, bài viết của tất cả 29 000 + thành viên, cùng đội ngũ CTV, QLV, BTV. Sau nhiều lần down lên, down xuống, diễn đàn toàn vẫn được hồi phục và duy trì cho đến ngày hôm nay, điều đó thể hiện sự gắn bó của nhiều lớp thành viên đối với diễn đàn toán nói riêng và cộng đồng toán học online nói chung.

Yes! I totally agree! I sometimes went up & down with VMF, but I still like it & always worry about it!

Đã có một số cuộc thay đổi, có thể gọi là cải cách, nhưng DĐTH xưa nay vẫn chỉ là nơi mà sinh viên, học sinh, trao đổi kiến thức, giải quyết các bài tập còn vướng mắc. Nói cách khác, DĐTH vẫn chỉ là một cái bóng thụ động, và không có một tầm ảnh hưởng nhất định nào đến cộng đồng toán học thực sự của Việt Nam. Cái quy luật Sinh - Lão - Bệnh - Tử không chỉ được áp dụng cho con người, mà dường như nó còn có tác động đến thế giới mạng, cụ thể là các diễn đàn, trong đó có diễn đàn toán học của chúng ta. Có lúc, các bạn sẽ nhận thấy diễn đàn nào cũng phải già, và sự già cỗi, ì ạch đó làm cho các bạn không còn mấy ưng ý nữa.

Vì vậy, trong đợt thay đổi cơ cấu diễn đàn lần này, chúng tôi muốn thay đổi đối tượng thành viên, thay vì các lớp bị động ( học sinh, sinh viên ), sang lớp chủ động, có tầm ảnh hưởng ( giáo viên, giảng viên, người nghiên cứu, làm toán ), đến nền toán học Việt Nam. Các Categories về trao đổi bài tập sẽ bị hạn chế, thay vào đó là các mục Thảo luận có định hướng và có tổng kết. Từ vị trí của những người chịu tác động của nền giáo dục toán, đối tượng mới của diễn đàn là những con người có thể làm thay đổi bộ mặt nền giáo dục toán của Việt Nam trong tương lai. Đó có thể cũng là những học sinh, sinh viên, nhưng với ý tưởng và mục đích đổi mới, đó có thể là các giáo viên, giảng viên, với cách tiếp cận, và truyền đạt mới, đó có thể là các lớp nghiên cứu, người mang đến các kiến thức bổ ích, và không thể bỏ qua, đó là những con người áp dụng toán học vào đời sống, thực tiễn, họ chính là chỉ sổ thay đổi của nền toán học Việt Nam.

Nghe, Đọc, Nói, Viết, Hành Động, Tương Tác và Chịu Trách nhiệm - đó là mô hình diễn đàn toán học trong tương lai, các bạn có muốn cùng ban quản lý diễn đàn toán học, thay đổi cơ cấu hiện tại của forum hay không ?

Chủ trương thay đổi về nội dung thế này là hợp lý, nhưng mà chủ trương thay đổi đối tượng thành viên em không đồng tình (cái này rất không đồng tình)! Những người "có tầm ảnh hưởng" nhưng a nói sẽ ảnh hưởng đến toán học VN, chứ không ảnh hưởng đễn diễn đàn được đâu. Chỉ có học sinh mới online để post bài được thôi, chứ professors thì làm gì có thời gian.

Em ko hoàn toàn đồng ý với quan điểm của thày Nam Dũng. Về cơ bản, dạy BDT ở trường PT như vậy là đủ. Mức độ khó của BDT trong các kỳ thi Olympiad cũng vừa đủ để thử thách HS phổ thông. Thế nên tại thời điểm hiện tại cũng không có gì là bất hợp lý hay không lành mạnh cả. Toán học là như thế, ai hứng thú với cái gì, thì dành thời gian cho cái đó - đây là điều em cảm thấy rất khâm phục những nhà toán học chân chính, vì họ ít khi quan trọng những lợi ích vật chất.

Điều bất hợp lý hiện tại, không phải vì chương trình dạy, không phải vì các kỳ thi, mà vì các em học sinh. Phải thừa nhận rằng sự sáng tạo trong BDT là rất giới hạn (really finite). Nó không như number theory, combinatorics hay algebra nói chung.

Công bằng mà nói, các em học sinh đam mê bất đằng thức vì 2 lý do: 1, BDT nói chung rất đẹp & đơn giản về hình thức. 2, Học bất đằng thức có phần hứng thú hơn các phần khác, vì các em học sinh sẽ nhận thấy rõ sự tiến bộ của mình sau một thời gian ngắn. Học BDT là rất tốt để giúp học sinh rèn luyện các phép biến đổi đại số và áp dụng một số kết quả toán học cơ bản - đây là lợi ích quan trọng nhất, ngoài ra rất khó tìm ra một lợi ích thực sự quan trọng nào khác. Tuy nhiên, ai học tốt toán thì việc áp dụng các phép biến đổi đại số thông thường cũng không có gì là khó khăn cả.

Người học BDT rất giỏi, giải được tất cả các bài toán, chứng tỏ họ có khả năng biến đổi đại số tốt, và có khả năng sáng tạo ... fair - nhưng nó không đồng nghĩa với việc họ có khả năng sáng tạo tuyệt vời. Sự sáng tạo trong việc giải BDT là rất giới hạn. Bất kỳ ai khi học BDT cũng nên nhớ điều này. Nhưng cũng có vẻ không công bằng lắm khi mọi người có cách nhìn phủ định về BDT or nghĩ rằng nó không lành mạnh. Nó hoàn toàn lành mạnh & joyful, chỉ có điều nó không phải là công cụ giúp bạn trở thành một nhà nghiên cứu tài năng - that's all!

Đây là cách nhìn của Hungkhtn về bất đằng thức sau một thời gian dài không dành thời gian cho BDT, có lẽ cũng giống với suy nghĩ của nhiều người.

Trường tớ vừa được nghỉ Thanksgivings break nên hungkhtn tranh thủ ghé qua diễn đàn ngay. Diễn đàn mới trông khá đẹp mắt. Hungkhtn thích cái skin này nhất trong số các skin đã có. Những sự thay đổi nhỏ thế này thực ra rất có ích cho diễn đàn.

Sự thay đổi hoàn toàn về nội dung theo hungkhtn là hợp lý về thời điểm hiện tại.

Nội dung cơ bản của phương pháp đã được trình bày như trên. Hi vọng các bạn có thể hiểu rõ tư tưởng của phương pháp trong lời giải các bài toán đã trình bày. Cuối cùng, chúc diễn đàn toán luôn phát triển !

Tạm biệt các bạn,

Trong hệ thống của EMV, hungkhtn sẽ đưa ra proof cho định lý CID mà hungkhtn nêu ra từ khá lâu (tuy nhiên, chưa có một lời giải nảo được đưa ra). Chứng minh có thể mang cho bạn hình dung ban đầu về sự nhẹ nhàng & tinh tế của định lý EMV tổng quát.

I posted the CID theorem before (http://www.mathlinks...148928&start=20), mentioned that the proof used EMV theorem, so now I will show a detailed proof to it.

Theorem (CID theorem). If $P(a,b,c)$ is the cyclic polynomial of degree $3$, then the inequality $P(a,b,c)\ge $ holds for all $a,b,c\ge 0$ if and only if two following conditions hold at once
(i). $P(1,1,1)\ge 0.$
(ii). $P(a,b,0)\ge 0$ for all $a,b\ge 0$.

Proof.
The necessary condition is clearly true. We will prove the sufficient condition. Consider

$P(a,b,c) = m(a^3 + b^3 + c^3) + n(a^2b + b^2c + c^2a) + p(ab^2 + bc^2 + ca^2) + 3qabc.$

The condition $P(1,1,1)\ge 0$ gives us $m + n + p + q\ge 0$. Now consider the global derivative of $P$:

$[P] = (3m + n + p)(a^2 + b^2 + c^2) + (2n + 2p + 3q)(ab + bc + ca)$

$= 3(m + n + p + q)(ab + bc + ca) + (3m + p + q)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca).$

In order to show $[P]\ge 0$, we only need to show that $3m + n + p\ge 0$. Since $P(a,b,0)\ge 0$, we have

$m(a^3 + b^3) + na^2b + pab^2 \ge 0.$

Let $b = 0$, we have $m\ge 0$. Let $a = b = 1$, we refer $2m + n + p\ge 0$, so $3m + n + p\ge 0$. So $[P]\ge 0$. Since $P(a,b,0)\ge 0$, according to EMV-theorem 1, we refer that $P(a,b,c)\ge 0$ for all $a,b,c\ge 0$. That finishes the proof to CID theorem.

Nhận xét: đọc kỹ định lý trc đã. Trong định lý 1, có 2 điều kiện, và điều kiện (1) để thử là khá quan trong.

Để áp dụng định lý, cần đưa về dạng đồng bậc (homogeneous first). Có thể áp dụng với căn thức, nhưng áp dụng với dạng đa thức or phân thức sẽ đơn giản hơn.

Sau đây là một vài lời giải tiêu biểu:

Nếu $a+b+c=3$ và a$,b,c\ge 0$ thì
$a^2b+b^2c+c^2a+abc \le 4$

Lời giải. Viết bất đẳng thức về dạng:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3.$

Lấy đạo hàm (global derivative), ta được bất đẳng thức

$2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca) \le \dfrac{4}{3}(a+b+c)^2$

Bất đẳng thức này tương đương với

$ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2.$

Điều này hiển nhiên đúng. Do đó bất đẳng thức ứng với đạo hàm toàn miền đúng. Ta chỉ cần kiểm tra BDT ban đầu khi $c=0$. Trong trường hợp này bất đẳng thức cũng hiển nhiên đúng (much easier). Ta có đpcm.

Một điều rất đặc biệt đối với EMV là đạo hàm xong bằng Global derivative, bất đẳng thức trở nên rất đơn giản.

Chẳng hạn với BDT mạnh như Suranji, khi đạo hàm xong, nó chỉ đơn giản là n-1 cái suranji với cặp n-1 biến cộng lại, cộng thêm một đại lượng yếu với AM-GM. Nói chung, với tất cả các bất đẳng thức 3 biến bậc 3, dạng thu gọn trong đạo hàm đều là bất đẳng thức đơn giản

$ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2.$

Đây là nhận xét trong CM định lý SID-CID.

Sau đây là một vài lời giải tiêu biểu:

Nếu $a+b+c=3$ và a$,b,c\ge 0$ thì
$a^2b+b^2c+c^2a+abc \le 4$

Lời giải. Viết bất đẳng thức về dạng:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3.$

Lấy đạo hàm (global derivative), ta được bất đẳng thức

$2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca) \le \dfrac{4}{3}(a+b+c)^2$

Bất đẳng thức này tương đương với

$ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2.$

Điều này hiển nhiên đúng. Do đó bất đẳng thức ứng với đạo hàm toàn miền đúng. Ta chỉ cần kiểm tra BDT ban đầu khi $c=0$. Trong trường hợp này bất đẳng thức cũng hiển nhiên đúng (much easier). Ta có đpcm.

Feel it first, zaizai

@zaizai. VIF a làm lại lúc nào cũng đc, có điều anh làm lại thì cần một người thay anh làm admin

Thêm một số ví dụ ở đây:

http://www.mathlinks...1129490#1129490

Ngoài ra, các bạn có thể giải 2 bất đẳng thức rất đẹp sau:

Nếu $ a,b,c$ không âm có tổng là 3 thì
$ a^2b+b^2c+c^2a+abc \le 4. $

Nếu $ a,b,c,d$ không âm có tổng là 4 thì
$ a^3b+b^3c+c^3d+d^3a+23abcd \le 27. $

Bài đầu rất nổi tiếng và có một lời giải rất đẹp. Bài 2 hungkhtn post trên VIF và mathlinks khá lâu nhưng chưa có một lời giải nào đẹp cả. Với cả 2 bài, dùng EMV (global derivative) đều có thể giải ngắn gọn trong vài dòng.

Để các bạn hiểu thêm về phương pháp này, ví dụ sau khá điển hình:

Chú ý rằng bài toán nằm ở tập 1 cuốn "Secrets In Inequalities", do đó hungkhtn không thể đưa EMV vào để giải. Theo cách giải trên, điều rất thú vị là các bất đẳng thức (1), (2), (3) lần lượt thu được từ bất đẳng thức ban đầu bằng cách lấy đạo hàm (toàn miền) - global derivative.

...............................

EMV method starts its original form in Mathematics Reflection here:

http://reflections.a...irelymixing.pdf

As a matter of fact, the idea of this method is extremely simple, because you are just assumed to rewrite the inequality in form of $a - b,b - c,c - a$, then compare other terms.

The drawback of this method is that it only deals with 3 or 4 variables. Moreover, it requires (sometimes) some computations to transform inequality to $a - b,b - c,c - a$.

In this paper, I will write about the Global derivative, one general form for EMV theorem. Specially, this theorem is very simple but have numerous kinds of applications. One application I like the most is the solution to Suranji's Inequality - one of the most beautiful inequality ever.

---------------------------------------------------------------------------------------

Chapter. The Global Derivative

Section. The Foundation

You may know everything about the normal derivative of a single-variable function or multi-variable function, but it is unlikely that you hear about the global derivative and its application to inequalities. Before we start, let's have a look at a simple method of proving inequalities, call the entirely mixing variable method. Entirely mixing variable method is my first and foremost motivation to create of the Global Derivative.

The complete article about the entirely mixing variable method can be found in Mathematics Reflection, volume 5/2006, or can be directly accessed at
[url=http://reflections.awesomemath.org/2006\_5/2006\_5\_entirelymixing.pdf]http://reflections.a...memath.org/2006

The second motivation comes from the following famous inequality which first appeared in Crux Mathematics Corum, and was reused in some national mathematical competitions recently. It is found by a mathematician, Vasile Cirtoaje.

Example 1.
Let $a,b,c$ be three real numbers. Prove that

$(a^2 + b^2 + c^2)^2\ge 3(a^3b + b^3c + c^3a).$

At the first glance, you may think that this simply-looking problem has nothing to do but an easy and direct application of basic inequalities. So perhaps you cannot imagine why it has the equalities for both $a = b = c$ (certainly) and $(a,b,c) = \left(\sin^2 \dfrac {4\pi}{7}, \sin^2 \dfrac {2\pi}{7}, \sin^2 \dfrac {\pi}{7}\right).$ I'll say that the second case of equality is nice but "bad" since it has nothing in common with the original form. Finally, we really want to know "how did people solve it"?

The original solution of the author (Vasile Cirotaje) is "incredible" as the problem itself. It comes from an identity

$4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\left((a^2 + b^2 + c^2)^2 - 3(a^3b + b^3c + c^3a)\right)$


$= \left((a^3 + b^3 + c^3) - 5(a^2b + b^2c + c^2a) + 4(ab^2 + bc^2 + ca^2)\right)^2$


$+ 3\left((a^3 + b^3 + c^3) - (a^2b + b^2c + c^2a) - 2(ab^2 + bc^2 + ca^2) + 6abc\right)^2.$

Some may spontaneously respond that this solution is not fully mathematically acceptable since the identity is too much unusual and accidental. As a matter of fact, there is another solution \footnote{This solution was sent to Crux Magazine by a reader named Stefan.} that you may like more

$2(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 6(a^3b + b^3c + c^3a) = \sum_{cyc} (a^2 - 2ab + bc - c^2 + ca)^2 \ge 0.$

This solution inspired me to discover another identity as follow

$6(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 12(a^3b + b^3c + c^3a) = \sum_{cyc} (a^2 - 2b^2 + c^2 + 3bc - 3ca)^2 \ge 0.$

We can not deny that all three identities above are really miraculous, but in some sense, or at least for me, they are still not mathematically convincing since we can't explain what drives us to them! I found the third identity in a fortune when expanding a general formulation (when I do so, I don't know what I will get)

$(a^2 - 2b^2 + c^2 + kbc - kca)^2 + (b^2 - 2c^2 + a^2 + kca - kab)^2 + (c^2 - 2a^2 + b^2 + kab - kbc)^2,$

and you may agree with me that this kind of "lucky, subjective and obscure mathematics" is not what we want to pursue. In the mean time, the same story continues with another simply-looking inequality.

Example 2.
If $a,b,c$ are three real numbers, then

$a^4 + b^4 + c^4 + ab^3 + bc^3 + ca^3\ge 2(a^3b + b^3c + c^3a).$

How could you imagine that in this inequality, the equality holds for

$(a,b,c) \sim \left(1 + 2\cos \dfrac {\pi}{9}, 1 + 2\cos \dfrac {2\pi}{9}, - 1\right).$

In the proposal, I will present a general solution to prove them by the global derivative. More interestingly, every property of global derivative can be easily proved by elementary knowledge of analysis, and applications of global derivative is not only for $3 -$variable inequalities but also for the general $n -$variable inequalities as well.

Section. The Global Derivative - The method and Theorems.

Definition.
Assume that $f(x_1,x_2,...,x_n): R^n\to R$ is a continuous $\mathbb{C}^1$ function of $R^n$. The global derivative of $f$, denote $[f]$, is defined as follow

$[f] = \sum_{i = 1}^n D_i f,$

in which $D_i f$ is the partial derivative of $f$ regard to the variable $x_i$.

The global derivative, in general, has every beautiful property that the normal derivative has. Following are some of its properties

$ [f(g)] = [f](g).[g] \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ [af + bg] = a[f] + b[g];$


$ [fg] = [g]f + [f]g \ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \left[\dfrac{f}{g}\right] = \dfrac{[f]g - [g]f}{g^2};$

Moreover, it has some other special properties. The most important property is that it is eliminated with difference. That is

$[x - y] = 0,$

for any two variables $x,y$. This simple property ensures many applications of the original EMV theorem. In term of inequalities, global derivative plays a very important role by the following theorem

Theorem 1.
Suppose that $f(x_1,x_2,...,x_n): R^n\to R$ is a continuous $\mathbb{C}^1$ function. The inequality $f(x_1,x_2,...,x_n)\ge 0$, with $x_1,x_2,...,x_n\ge 0$, holds if two following conditions are fulfilled at once

$(i). f(x_1,x_2,...,x_n)\ge 0 \mbox{\ if \ } x_1x_2...x_n = 0.$
$(ii). [f] \ge 0 \ \forall x_1,x_2,...,x_n\ge 0.$

This theorem has so many applications in inequalities. For example, it provides a way to generalize the famous Schur inequality (although people always try to generalize this important inequality, there is no real generalization of Schur inequality as for now) and it also leads to a simple proof of Sujanri inequality\footnote{This inequality is given in the Miklos Schweitzer Mathematical competition (a competition for undergraduate students) with a pretty complicated solution.}, one of the most beautiful elementary inequalities ever.

Example 3 [Sujanri]
If $a_1,a_2,...,a_n$ are non-negative real numbers then

$(n - 1)(a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n) + na_1a_2...a_n\ge (a_1 + a_2 + ... + a_n)\lt(a_1^{n - 1} + a_2^{n - 1} + ... + a_n^{n - 1}\rt).$

Another important property of the global derivative is the following statement

Theorem 2.
Assume that $f(x_1,x_2,...,x_n): R^n\to R$ is a smooth function. Denote $f_0 = f$ and $f_k = [f_{k - 1}]$ for $k > 1$. We have the following identity

$f(x_1 + t,x_2 + t,...,x_n + t) = \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{f_k(x_1,x_2,...,x_k)}{k!}t^k.$

Theorem 1 can be proved by introductory knowledge about 1-variable derivative, and theorem 2 can be proved by Taylor formulation.

The above theorem is the main key for us to prove the 4-degree inequalities which have miraculous cases of equalities as we mention in the previous section. It can actually provide the necessary and sufficient conditions for an inequality to hold.

Theorem 3.
Assume that $F(x_1,x_2,...,x_n)$ is a cyclic polynomial of $n$ real variables $x_1,x_2,...,x_n$ with degree $4$ such that $F(x_1,x_2,...,x_n) = 0$ if $x_1 = x_2 = ... = x_n$. Denote $F_0 = F, F_1 = [F_0]$ and $F_2 = [F_1]$, then

(i).The inequality $F\ge 0$ holds for all real numbers $x_1,x_2,...,x_n$ if and only if for any $x_1,x_2,...,x_{n - 1}\ge 0$, the following condition holds

$F_0|_{x_n = 0}\ge 0 \text{\ and \ } F_1^2|_{x_n = 0}\le 2(F_0F_2)|_{x_n = 0}.$

(ii).The inequality $F\ge 0$ holds for all non-negative real numbers $x_1,x_2,...,x_n$ if and only if for any $x_1,x_2,...,x_{n - 1}\ge 0$, then at least one of two following conditions holds

$(1).\ F_0|_{x_n = 0} \ge 0 ; F_1|_{x_n = 0} \ge 0 \text{\ and \ } F_2|_{x_n = 0} \ge 0.$
$(2). \ F_0|_{x_n = 0}\ge 0 \text{\ and \ } F_1^2|_{x_n = 0}\le 2(F_0F_2)|_{x_n = 0}.$

This theorem can help prove the mentioned Vasile's Inequality in a few lines.

We will advance to another exciting application of the global derivative. Some years ago, Ho Joo Lee found a great result on symmetric polynomial of degree 3, generally known as PID theorem, as follow

Theorem [Ho Joo Lee theorem]
Let $P(a,b,c)$ be a symmetric polynomial of degree $3$. The following conditions are equivalent to each other
$(i).\ P(1,1,1),P(1,1,0),P(1,0,0) \ge 0.$
$(ii).\ P(a,b,c) \ge 0 \ \forall a,b,c\ge 0.$

Nowadays, symmetric polynomial inequalities of degree $3$ become one of the most basic and easiest form of inequalities, but problems with the cyclic forms are still challenging. With helps of global derivative, I found another result that can give proofs for all cyclic inequalities of degree $3$.

Theorem 4.
Let $P(a,b,c)$ be a cyclic homogeneous polynomial of degree $3$.
The inequality $P \ge 0$ holds for all non-negative variables $a,b,c$ if and only if

$P(1,1,1) \ge 0 \ ;\ P(a,b,0) \ge 0 \ \forall a,b\ge 0;$

Global derivative is one of the simplest method but most powerful method that I found in the proposal. Some examples above are applications for three-variable inequalities, but its strength is not lost when dealing with $n$-variable inequalities. The article on global derivative ends here and I wish that it can convey the first sign about the structure of the whole paper.

---------------------------------------------------------------------

Hi vọng các bạn yêu bất đẳng thức sẽ tìm thêm nhiều phương pháp tốt hơn. Tuy rằng, các bạn hãy tâm niệm rằng BDT chỉ giống như một trò chơi trong toán học, tuy rằng đẹp, hay, nhưng không thực sự có một ảnh hưởng đối với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung (so, học giỏi bất đẳng chưa đủ để trở thành một nhà toán học). Hi vọng diễn đàn sẽ có đc không khí thảo luận sôi nổi, nhiệt tình, trong sáng, trên tinh thần tôn trọng lẫn nhau.

Nhiều bạn (trong đó có hungkhtn) đã, or sẽ thích BDT vì BDT thường nhìn rất gọn và đẹp. Và những ý tường tuyệt vời trong BDT là những ý tường giúp bạn có được những lời giản đẹp dẽ nhất.

Như đã hứa lần trước trên diễn đàn, hungkhtn sẽ post lên phương pháp cuối cùng trong sách Secrets In Inequalities 2 (các phương pháp khác như SOS, SMV, n-SMV, quy nạp tổng quát or phản chứng đều đã được đưa lên thảo luận). Đây cũng là lời chia tay của hungkhtn với diễn đàn, cũng là lời chia tay-cảm ơn đến những người bạn rất thân thiết như MrMath (Khánh), Hatucdao (a Nam), thày Nam Dũng (with my best respect), Zaizai, Nesbit, 10maths, voquocbacan, và cả VAnh. Chúc các bạn luôn học tập tốt, và diễn đàn sẽ có những thành viên mới trẻ tuổi, nhiệt tình hơn thế hệ trước kia.

Sau phương pháp này, hungkhtn ... cũng hết vốn rồi, chả còn tìm đc cái gì mới nữa cả. Các bạn trẻ bây giờ càng ngày càng giỏi, thấy mình thụt lùi quá. Anyway, hungkhtn đã chia tay BDT hơn 1 năm, nhưng hi vọng EMV method- the last method, vẫn sẽ useful với các bạn.


--------------------------------------------------------

Nói qua một chút về EMV. Viết EMV cho gọn thôi, chứ thực tế tư tưởng của nó là phương pháp dồn biến toàn miền đã được viết trong Sáng Tạo bất đẳng thức và Secrets In Inequalities, vol 1. EMV sẽ giúp các bạn dễ dàng chứng minh định lý mở rộng của PID (Ho Joo Lee) cho bất đẳng thức hoán vị. Định lý này được mình đưa ra cách đây khoảng 1 năm, nhưng trước đó chưa post cách chứng minh.

Phương pháp EMV cũ, tuy rằng ý tưởng rất đơn giản, nhưng phép chứng minh lại dài, vì việc phân tích để xuất hiện $ a-b,b-c,c-a $ thường khá phức tạp. Một số định lý mới của EMV sẽ giúp lời giải trở nên vô cùng ngắn gọn và sáng sủa. Có thể nói, trong tất cả 5 phương pháp bao gồm SOS, SMV, IGI, contradiction, EMV, thì EMV là phương pháp mình ấn tượng nhất: áp dụng cực kỳ đơn giản, chứng minh định lý cũng chỉ 2-3 dòng, và lời giải nảo cũng rất nhẹ nhàng, ngắn gọn. Nói chung, khi sử dụng phương pháp này, bạn có thể cảm thấy rất thoải mái và nhàn hạ so với các phương pháp khác.

Bài viết bằng Tiếng Anh, do hungkhtn chỉ có thể copy trực tiếp từ paper, ko có thời gian type lại (ai có tgian translate ra Tiếng Việt thì mình thank you very much). Bài viết được hoàn thành cách đây khá lâu, hơn 1 năm, nhưng do cuốn Secrets In Inequalities 2 được edit quá "kỹ", thế nên vẫn chưa kịp xuất bản.

Hiện tại VIF đang mắc phải một số lỗi kỹ thuật (nhiều khả năng là một pass của admin đã bị mất sử dụng sai mục đích, và có người đã tráo đổi+xóa mọi thứ trên host). Database dã đc back up.

Hungkhtn sẽ cố gắng chỉnh sửa sớm trong thời gian tới.