I. PHẦN CHUNG

Câu 1: Cho hàm số $y=x^3-3mx^2+2(1)$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐTHS đã cho khi $m=1$.

b) Tìm $m\in \mathbb{R}$ để ĐTHS (1) có 2 điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox một góc $\varphi$ sao cho $cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}$

 

Câu 2: Giải phương trình $sinx+sin5x=2cos^2(\frac{\pi}{4}-x)-2cos^2(\frac{\pi}{4}+2x)$$sinx+sin5x=2cos^2(\frac{\pi}{4}-x)-2cos^2(\frac{\pi}{4}+2x)$

KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN- LỚP 11 CHUYÊN TOÁN

Thời gian: 90 phút

I. GIẢI TÍCH

 

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$

..................

Đề dài làm không kịp câu 5 hình tính diện tích thiết diện T.T'' người ta bắt tính $S_{xq}$ lại đi tính $S_{tp},$ câu 2.2 kết luận nhầm.

RIP T.T

1. Cho S.ABCD có ABCD là hình thoi, I là giao điểm của AC với BD, SI vuông góc với mp (ABCD), SI=a$\sqrt{3}$, AC=4a, BD=2a

a) tính d (B; (SAD))

b) tính d (B; (SAC))

c) Gọi M trung điểm SC. Tính d (SA; MB)

 

1.

 

Ta có: $V_{SDAB}=\frac{1}{3}.SI.S_{\bigtriangleup DAB}$

$=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}.2a.2a=\frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$

 

 

 

 

 

Cho $n \in Z^+ $
Chứng minh: $1+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt[n]{n}$

 

 

 

$SB\perp AC,AB\perp AC\Rightarrow (SBA)\perp AC\Rightarrow SA\perp AC$

 

 

Xét tam giác $NBM$ có $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2},MB=\frac{a\sqrt{5}}{2},NB=\frac{3a}{2}$

 

 

Muốn ảnh chứ rì? Nhảy hết vào đây và đây

Up hộ bạn namheo cái ảnh của chị Trang chị Trang bên trái nha mọi người

Vâng, thưa ông bạn vàng alex_hoang, đúng như lời hứa hôm qua hôm nay mình xin đăng kí thi cái cuộc thi hoàn hảo này. Đơn vị đăng kí bao gồm bạn Joker9999 và mình. (Vừa mới quen trên VMF lúc sáng xong.). Đội mình tham gia với mục tiêu vui là chính, phần thưởng nếu có là của bạn gái hết. Mong BGK cho nhất luôn ạ.





-----------------------------------------------------------------------------------------
@alex_hoang: 1 lần này thôi đấy

Tội nghiệp em ý, xinh thế mà đi cặp với 1 lão tâm địa hiểm ác...

GPT $\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2\sqrt{x^{2}-x+1}=9x-3$

Lời giải:


Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x^2+5x+1}=a&&\\2\sqrt{x^2-x+1}=b&&\end{matrix}\right.$ khi đó ta có $a-b=9x-3.$

Mặc khác, $a^2-b^2=9x-3$

Suy ra $a-b=a^2-b^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b-1)=0$

TH $a-b=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

TH $a+b-1=0\Leftrightarrow ...$ (nhác làm tiếp, nhường em )

...

Câu 5:(1 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số dương thõa mãn điều kiện $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Lời giải:


$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a(a+b+c)}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b(a+b+c)}}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}+\frac{b+c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{c+a}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\geq 3$

Đặt $x=\sqrt{a+b},y=\sqrt{b+c},z=\sqrt{c+a}$, BĐT trên

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\geq 3$

Theo hệ quả BĐT Bunhiakovsky ta có:

$VT\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}$

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}\geq 3$ thì bài toán coi như ok.

Thật vậy:

$\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}\geq 3$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ (BĐT luôn đúng)

Vậy, vấn đề đã được giải quyết. Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

Can't Let Go - Tokyo Square

Đề sai rồi em, đề đúng phải là

Cho ba số dương a,b,c thoả $a+ b + c = 1$

CMR: $\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}\leq \frac{1}{2}$

Lời giải:


$\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}$

$=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{ab}{2}(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})$

Tương tự ta cũng có:

$\frac{bc}{a+bc}\leq \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

$\frac{ca}{b+ca}\leq \frac{ca}{2}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a})$

Cộng vế theo vế ta có:

$\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}\leq ...\leq \frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Giải BPT sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$

Lời giải: (Boxmath)

$ĐKXĐ:\left\{ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}\geq 0\\2-x+\frac{3}{2-x}\geq 0\\x\neq 0\\x\neq 2\end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<2$

Với ĐKXĐ trên ta có:

$2VT=2\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}=\sqrt{(1+3)(x+\frac{3}{x})}+\sqrt{(1+3)(2-x+\frac{3}{2-x})}$

$\geq \sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-x}+\frac{3}{\sqrt{2-x}}$ (BĐT Bunhiakovsky)

$=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}+2(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{2-x}})$

$\geq 4+4\frac{1}{\sqrt[4]{x(2-x)}}\geq 4+\frac{4}{\sqrt{\frac{x+2-x}{2}}}=4+4=8$(BĐT Cauchy)

Suy ra $VT\geq 4$ mà theo đề thì $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$ nên $x=1$

Giải phương trình sau $\sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-x}=2$

Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{1+x}=a,\sqrt{1-x}=2$ ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}a+b=2(1)\\a^3+b^2=2(2)\end{array} \right.$

Ta có $(1)\Leftrightarrow b=2-a$, thay vào $(2):$

$a^3+(2-a)^2=2\Leftrightarrow a^3+a^2-4a+2=0\Leftrightarrow (a-1)(a^2+2a-2)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=1\\a=-1-\sqrt{3}\\a=-1+\sqrt{3}\\ \end{array} \right.$

Với $a=1$ ta có $x=0$

Với $a=-1-\sqrt{3}$ ta có $x=-11-6\sqrt{3}$

Với $a=a=-1+\sqrt{3}$ ta có $x=-11+6\sqrt{3}$

Thử lại đúng.

Giải phương trình
$16x^4-2x^2+8\sqrt{3-4x}+25=0$.

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\leq \frac{3}{4}$

$16x^4-2x^2+8\sqrt{3-4x}+25$

$=x^4-2x^2+1+15x^4+8\sqrt{3-4x}+24$

$= (x^2-1)^2+15x^4+8\sqrt{3-4x}+24 >24\forall x\leq \frac{3}{4}$ nên vô nghiệm

???

Tìm không ra răng không hỏi chị
Đây là lời giải của nthoangcute:
Xét $a=1$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=99+10b+c\leq 99+90+9=198 \to 0 \leq b,c \leq 5.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-99=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-108=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-111=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-75=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $(c-3)(c^2+3c+8)=0$. Suy ra $c=3$

Xét $a=2$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=192+10b+c\leq 192+90+9=291 \to 0 \leq b,c \leq 6.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-192=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-201=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-204=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-195=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-168=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-36=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=3$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=273+10b+c\leq 273+90+9=372 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-282=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-285=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-276=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-249=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-198=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c(c+1)(c-1)=0$. Suy ra $c=0$ hoặc $c=1$

Xét $a=4.$ Khi đó ta có: $b^3+c^3=336+10b+c\leq 336+90+9=435 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $(c-7)(c^2+7c+48)=0.$ Suy ra $c=7$
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-345=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-348=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-339=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-261=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-180=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-63=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=5$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=375+10b+c\leq 375+90+9=474 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-375=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-384=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-387=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-378=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-351=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-219=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=6$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=384+10b+c \to 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-384 \to b$ chẵn.
$b^3+c^3=384+10b+c \leq 483 suy ra 0 \leq b \leq 7$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-384=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-396=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-228=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=7$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=357+10b+c\leq 357+90+9=456 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Cũng từ đó ta có:$ 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-357$ suy ra $b$ lẻ
Nếu $ b=1$ thì $c^3-c-366=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $ b=3$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-282=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-84=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=8$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=288+10b+c\leq 288+90+9=387 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-288$ suy ra $ b$ chẵn
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-288=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-264=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-132=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=9$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=171+10b+c\leq 171+90+9=270 \to 0 \leq b,c \leq 6.$
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-171$ suy ra $b $ lẻ
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-180=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-174=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-96=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Tóm lại, ta tìm được $(a,b,c)=(1,5,3);(3,7,0);(3,7,1);(4,0,7)$
Thử lại thấy thỏa mãn

Đây là mở rộng của nguyenta98
Tổng quát của bài toán này:
$$\overline{a_1a_2...a_n}=a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$$
Giải như sau:
$$\overline{a_1a_2...a_n}\geq 10^{n-1} \rightarrow a_1^n+...+a_n^n\geq 10^{n-1}<1>$$
Mặt khác
$$a_1^n+...+a_n^n\le 9^n.n <2>$$
Từ $<1><2>$ suy ra $9^n.n\geq 10^{n-1}<*>$
Nhận thấy $<*>$ gọi tạm là hàm số học đồng biến nhưng sau đó nghịch biến, có nghĩa là $n$ đến một thời điểm nào đó $9^n.n<10^{n-1}$ kể từ đó $n$ tăng thì $<*>$ không còn đúng, đó cũng là lí do tại sao bài toán này chỉ đến một giới hạn đúng, kể từ lúc nào đó sẽ không còn đúng.
Nhận thấy $9^{61}.61<10^{60}$ (theo http://www.wolframal...(9^61)*61-10^60 )
Do đó bài toán tổng quát không còn đúng với $n=61$
Ta sẽ cm không còn đúng với $n\geq 61$
$n=61$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay $9^k.k<10^{k-1}$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $9^{k+1}.(k+1)<10^k$
Thật vậy do GTQN suy ra
$$10^{k-1}>9^k.k \rightarrow 10^k>9^k.k.10=9^{k+1}.(k.\dfrac{10}{9})>9^{k+1}.(k+1)$$
Do $k\geq 9$ thì $k.\dfrac{10}{9}\geq k+1$
Do đó bài toán không đúng với $n\geq 61$
Còn $n<61$ thì nghiệm phụ thuộc vào các chuyên gia lập trình thôi ta chỉ có khả năng làm TH đơn giản như $n=1,2,3,4,5$

P/S:Như vậy về căn bản bài toán tổng quát được giải, điều đó chứng tỏ phương trình trên chỉ có hữu hạn nghiệm đây cũng là một kiến thức quan trọng trong lý thuyết số, ngoài ra $n=60$ vẫn có thể đúng http://www.wolframal...(9^60)*60-10^59 (vì có nghiệm hay không tùy thuộc vào trường số N)

Giải hệ :
$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0(1)&&\\x^2+x^2y^2-2y=0(2)&&\end{matrix}\right.$

Lời giải

Từ $(1)$ ta có:

$x^3=-3-2y^2+4y\Leftrightarrow x^3=-2(y^2-1)^2-1\leq -1$

$x^3\leq -1\Leftrightarrow x\leq -1(*)$

Từ $(2)$ ta có:

$x^2=\frac{2y}{1+y^2}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu, ta suy ra được $x^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $x=-1,$ thế vào hệ được $y=1$

Vậy $\boxed{(x;y)=(-1;1)}$

$\left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0&&\\4x^2+2y+2\sqrt{3-4x}=7&&\end{matrix}\right.$

Đầu tiên, mình có góp ý là bạn nên đưa ra yêu cầu của bài toán...

Lời giải:

ĐKXĐ:$\left\{\begin{matrix} x\leq \frac{3}{4}&&\\y\leq \frac{5}{2}&&\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0(1)&&\\4x^2+2y+2\sqrt{3-4x}=7(2)&&\end{matrix}\right.$

Đặt $2x=a,\sqrt{5-2y}=b,$ từ $PT(1)$ ta có:

$\frac{a}{2}.(a^2+1)+b(\frac{5-b^2}{2}-3)=0$

$\Leftrightarrow a^3-b^2+a-b=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$

$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}$

$\Leftrightarrow y=\frac{5-4x^2}{2}$

Thế vào $PT(2)$ ta có:


$4x^2+5-4x^2+2\sqrt{3-4x}=7\Leftrightarrow \sqrt{3-4x}=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=2$

Vậy $\boxed{(x;y)=(\frac{1}{2};2)}$

Giải hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} x(x^2+1)+xy(2x-3y)+y(x-2)=2y^2(1+5y)(1) & & \\ (x^2+17y+12)^2=4(x+y+7)(x^2 +3x+8y+5)(2) & & \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta có: $(1)\Leftrightarrow x^3+x+2x^2y-3xy^2+xy-2y-2y^2-10y^3=0$

$\Leftrightarrow x^3+2x^2y-3xy^2-10y^3+xy-2y^2+x-2y=0$

$\Leftrightarrow x^3-2x^2y+4x^2y-8xy^2+5xy^2-10y^3+xy-2y^2+x-2y=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2y)+4xy(x-2y)+5y^2(x-2y)+y(x-2y)+(x-2y)=0$

$\Leftrightarrow (x-2y)(x^2+4xy+5y^2+y+1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2y\\x^2+4xy+5y^2+y+1=0\\ \end{array} \right.$

Mặc khác, ta có $x^2+4xy+5y^2+y+1=x^2+4xy+4y^2+y^2+y+1$

$=(x+2y)^2+(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên $x=2y$


Với $x=2y,$ thế vào $(2)$:

$(4y^2+17y+12)^2=4(3y+7)(4y^2+14y+5)$

Đặt $u=3y+7, v=4y^2+14y+5.$ Để ý rằng:

$(3y+7)+(4y^2+14y+5)=)4y^2+17y+12$

Do đó ta có: $(u+v)^2=4uv$

Mặc khác, theo BĐT Cauchy ta có $(u+v)^2\geq 4uv,$ dấu $"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow 3y+7=4y^2+14y+5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=\frac{-11+3\sqrt{17}}{8}\\y=\frac{-11-3\sqrt{17}}{8}\\ \end{array} \right.$

Mặc khác, $x=2y$ nên $\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{matrix} x=\frac{-11+3\sqrt{17}}{4} & & \\ y=\frac{-11+3\sqrt{17}}{8} & & \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x=\frac{-11-3\sqrt{17}}{4} & & \\ y=\frac{-11-3\sqrt{17}}{8} & & \end{matrix}\right.\\ \end{array} \right.$

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix}x+\frac{y}{x+\sqrt{1+x^2}}+y^2=0 & \\ \frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{1+x^2}+y^2=3 & \end{matrix}\right.$

Lời giải:


$\left\{\begin{matrix}x+\frac{y}{x+\sqrt{1+x^2}}+y^2=0 (1)& \\ \frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{1+x^2}+y^2=3(2) & \end{matrix}\right.$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow x+y^2+y(\sqrt{x^2+1}-x)=0$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm, chia hai vế cho $y$ ta được:

$\frac{x}{y}+y+\sqrt{x^2+1}-x=0$

$(2)\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+y)^2+2(\sqrt{x^2+1}-x)=3$

Tới đây đặt ẩn phụ là OK

Giải phương trình: $(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x^2\geq \frac{1}{2}$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=t,t\geq,$ PT trở thành:

$-2t^2+(3x+1).t-x^2-\frac{3x}{2}+1=0$

Phương trình bậc $2$ ẩn $t$ này có $\bigtriangleup =(x-3)^2\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t=\frac{x}{2}+1\\
t=x-\frac{1}{2} \\
\end{array} \right.$

Với $t=\frac{x}{2}+1\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-1}=\frac{x}{2}+1\Leftrightarrow x=\frac{2\pm 2\sqrt{15}}{7}$

Với $t=x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-1}=x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$

Thử lại, kết luận nghiệm của PT là $\boxed{S={\frac{2+2\sqrt{15}}{7};\frac{2-2\sqrt{15}}{7};\frac{\sqrt{6}-1}{2}}}$