bbboylion nội dung

#377952 Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)=aP(x)+bP'(x)+cP''(x)...

Đã gửi bởi bbboylion on 15-12-2012 - 23:50 trong Đa thức

Tông quát:
Nếu đa thức $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ (với $a_i$ nguyên) có n nghiệm và $Q(x)=a_n.P(x)+a_{n-1}.P'(x)+...+a_0.P^{(n)}(x)$ vô nghiệm thì $P(x)$ vô nghiệm.

#377947 Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)=aP(x)+bP'(x)+cP''(x)...

Đã gửi bởi bbboylion on 15-12-2012 - 23:34 trong Đa thức

Bổ đề:
Chứng mình rằng: nếu $P(x)-t.P'(x)$ vô nghiệm thì $P(x)$ vô nghiệm.
Chứng minh:
+ Với $t=0$ thì hiển nhiên.
+ Với $t\neq 0$.
Xét hàm số: $ f(x)=e^{\frac{1}{-t}}.P(x)$
$f'(x)=\frac{e^{\frac{1}{-t}}}{-t}(P(x)-t.P'(x))$
Theo giả thiết thì $ P(x)-t.P'(x)$ vô nghiệm nên $f'(x) $ vô nghiệm.
Lại có: $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi x thuộc $\mathbb{R}$
nên theo định lí Roll$ f(x)$ có tối đa 1 nghiệm
$\Rightarrow P(x)=0 $có tối đa 1 nghiệm. (1)
Vì $P(x)-t.P'(x)$ vô nghiệm nên bậc của nó chẵn
Mà bậc của $P(x)$ bằng bậc của$ P(x)-t.P'(x)$ nên$ P(x)$ bậc chẵn.(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$P(x)$ vô nghiệm.
Trở lại bài toán.
vì$b^2-4ac>0$ nên phương trình $ax^2+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1$ và $x_2$.

Xét $H(x)=P(x)-x_1.P'(x)$
và $G(x)=H(x)-x_2.H'(x)$
Ta có:
$G(x)=P(x)-x_1.P'(x)-x_2.(P'(x)-x_2.P"(x))$
$=\frac{aP(x)+bP'(x)+xP"(x)}{a}$
Hiển nhiên $G(x)$ vô nghiệm
Áp dụng bổ đề trên ta có:
$H(x)$ vô nghiệm và $P(x)$ vô nghiệm.

#370975 các định lí được dùng trong kì thi hsg

Đã gửi bởi bbboylion on 20-11-2012 - 17:30 trong Kinh nghiệm học toán

sao lúc mình thi tỉnh dùng stolz mà không được điểm

#370827 các định lí được dùng trong kì thi hsg

Đã gửi bởi bbboylion on 20-11-2012 - 08:57 trong Kinh nghiệm học toán

cho em hỏi những định lí nào được dùng trong kì thi hsg quốc gia.
ví dụ như định lý stolz hay định lí cơ bản của tích phân

#370821 Chứng minh rằng trực tâm của 4 tam giác này thẳng hàng.

Đã gửi bởi bbboylion on 20-11-2012 - 07:12 trong Hình học phẳng

Bốn đường thẳng đôi một cắt nhau tạo thành bốn tam giác.
Chứng minh rằng trực tâm của 4 tam giác này thẳng hàng.
______________________

Xem cách đặt tiêu đề bài viết tại đây

#368335 f(x+y)=f(x) + f(y)

Đã gửi bởi bbboylion on 10-11-2012 - 06:12 trong Phương trình hàm

Vậy nếu mình đặt $g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}\Rightarrow g\left( 2x \right)=g\left( x \right)$ thì có ỏn không bạn

vậy thì chỉ chứng minh được f(x)=kx với x là số nguyên thôi

#368315 f(x+y)=f(x) + f(y)

Đã gửi bởi bbboylion on 09-11-2012 - 23:14 trong Phương trình hàm

Mình làm như thế này (chắc là sai)
$f\left( x+y \right)=f\left( x \right)+f\left( y \right)$ thì cho $x=y$ ta có $$f\left( 2x \right)=2f\left( x \right)\Rightarrow \frac{f\left( 2x \right)}{2x}=\frac{f\left( x \right)}{x}$$ với mọi $x\ne 0$
Đặt $2x=u$ thi $$\frac{f\left( u \right)}{u}=\frac{f\left( x \right)}{x}=a\Rightarrow f\left( x \right)=ax$$
Còn $x=0$ thì $f\left( 0 \right)=0$

sai cơ bản lun bạn ơi! bạn đặt u=2x thì bạn phải thay cả vế bên phải chứ!

#367964 Tìm tất cả các hàm $f:R\to R$ thỏa mãn

Đã gửi bởi bbboylion on 08-11-2012 - 19:38 trong Phương trình hàm

Ta có $f(f(x))=f(f(x-0))=f(x)-f(0)\quad (1)$ và $f(f(-x))=f(f(0-x))=f(0)-f(x)\quad (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra $f(f(x))$ là hàm số lẻ. Suy ra $0=f(f(0))=f^2(x)-x^2\Leftrightarrow f(x)=\pm x$.
Vậy có hai hàm thoả mãn là $f(x)=x$ và $f(x)=-x$.

hình như $$f(x)=-x$$ không thỏa mãn