Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{z^3+x^2}\le \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}.$$

Đề thi vào 10 - Tỉnh Nam Định 2018

Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Hai điểm $C,D$ tùy ý trên nửa đường tròn đó ($C$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $H=AD\cap BC$, $E=AC\cap BD$, $F=CD\cap AB$. CMR $OH\perp EF$.

Giải phương trình $$\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2.$$

Đề thi HK1 Toán 9 - Tỉnh Thái Bình 2017.

Câu 3:

Cách 2: Theo BĐT Cô-si (Cauchy, AM-GM) ta có

$$\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ac\ge 2(a^2+b^2+c^2)$$

Cũng có

$$\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ac+\dfrac{c^3}{a}+ab\ge 2\left( a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}\right)$$

Cộng vế suy ra

$$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}+a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}+(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}.$$

Ta sẽ chứng minh $\frac{5y^3-x^3}{xy+3y^2} \leq 2y-x$.

BĐT trên tương đương với $5y^3-x^3-(2y-x)(xy+3y^2) \leq 0$, hay $-(x-y)^2(x+y) \leq 0$, hiển nhiên đúng.

Tương tự, ta được $\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le (2y-x)+(2z-y)+(2x-z)=x+y+z=1.$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

 Quá khó cho một bài trong đề thi Học kì 1 lớp 9

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le 1.$$

Đề thi học kì 1 Toán 9 - Quận Hoàng Mai - 2017

Bạn xem lại đề tý ,k chọn điểm rơi đươch ak

Đúng rồi, mình đã sửa lại đề là $a,b,c\ge 0$. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $a=b=0$ và $c=1$.

Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge 10.$$

Đề thi HK1 Toán 9 - Huyện Đan Phượng HN - 2017 - 2018.

Ta qui về bài toán đối xứng với hai biến và sử dụng BĐT cauchy-schwarz 

Về ý tưởng mình cũng như thế, nhưng cách thực hiện có hơi khác một chút.

Bài toán: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\dfrac{27a^2}{2}+4b^2+c^2=1-2bc$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3a+2b+c$.

Đề thi vào 10 Chuyên Biên Hòa - Hà Nam (2016)

Em có cách này không biết có đúng không 

$\sum \frac{1}{(2x+y)(2y+z)}=\sum \frac{yz}{(2xz+yz)(2xy+yz)}\geq \sum  \frac{4yz}{(2xy+2yz+2zx)^{2}}=\sum yz =1$

Bạn giỏi quá, đề nguyên mẫu là như này $P=\sum\dfrac{1}{4x^2-yz+2}$. Bạn có ý tưởng nào khác không?

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $$P=\dfrac{1}{(2x+y)(2x+z)}+\dfrac{1}{(2y+x)(2y+z)}+\dfrac{1}{(2z+y)(2z+x)}$$

Hmm....

a, Do điều kiện bài toán nên ta có a+b=6-2c và $(a+2)(b+2)\geq 0 \rightarrow a^2+b^2+4ab+16=(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)+8\geq (a+b)^2-4(a+b)+8=(6-2c)^2-4(6-2c)+8=4c^2-16c+20$ ( Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a=-2 hoặc b=-2

b, Theo a, ta thấy $(a-b)^2+6ab+16\geq 4c^2-16c+20$

Do đó $A=\frac{4-b^2}{4c^2-16c+20}-\frac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\geq \frac{4-b^2-a^2}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5\geq \frac{4-(a+b)^2-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(6-2c)^2-4(6-2c)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4(2c-3)^2}{4c^2-16c+20}\geq 0$ ( Q.E.D)

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)\in \left \{ (-2,5,\frac{3}{2});(5,-2,\frac{3}{2}) \right \}$

Cảm ơn bạn nhiều nhé, mình đang tổng hợp tài liệu mà phần BĐT mình yếu quá nên đăng lên diễn đàn nhờ giúp đỡ phần này

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\ge -2$, $b\ge -2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng

a) $a^2+b^2+4ab+16\ge4c^2-16c+20$.

b) $\dfrac{4-b^2}{4\left[(c-2)^2+1\right]}-\dfrac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\ge 0$.

Đề thi vào 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017 - 2018 (Đề chung)

Gợi ý lời giải tham khảo của mình Tại đây

Bài toán: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{2}{xy+yz+zx}+\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2}$$

Đề thi xét tuyển vào 10 Lương Thế Vinh Hà Nội 2017 - 2018

Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $M$ thay đổi trên nửa đường tròn đó, tiếp tuyến tại $M$ cắt tiếp tuyến tại $A,B$ tại $C$ và $D$. Gọi $E=AM\cap OC$, $F=BM\cap OD$. Tìm vị trí của $M$ để chu vi đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$ nhỏ nhất.

Đề xét tuyển vào 10 Lương Thế Vinh HN 2017 - 2018

"Tam thức" trong "tam thức bậc 2" là gì? $$f(x)=ax^2+bx+c$$ Tương tự "nhị thức" trong "nhị thức bậc nhất" là gì? $$f(x)=ax+b$$

em nghĩ để không bị ăn cắp bản quyền thì VMF nên in chìm chữ VMF.net ở mỗi trang sách. Đây chỉ là ý kiến của em thôi ạ

Điều VMF mong muốn nhất vẫn là sự tiện lợi cho người đọc, ban biên tập cũng là những người thường xuyên đọc tài liệu và sách nên cảm thấy sự khó chịu khi giở trang nào cũng chềnh ềnh một dòng chữ to tướng không liên quan ở giữa! 

Suy cho cùng, tài liệu này trước hết là phục vụ cho việc học tập và giảng dạy của các thành viên trong ban biên tập, sau đó là hướng đến lợi ích cộng đồng, cuối cùng mới đến mục đích quảng bá cho VMF, vì vậy mặc dù BBT không đồng ý mọi hành vi ăn cắp trắng trợn (như ở trang luyenthithukhoa) nhưng BBT cũng không quá đau đầu vì chuyện đó. Điều đó có nghĩa là chẳng việc gì phải vì một chút lợi ích nhỏ bé cá nhân mà làm mất đi sự tiện lợi cho rất nhiều người đọc tài liệu. Nếu người ta muốn ăn cắp thì kể có in chìm thì người ta cũng ăn cắp được thôi, đến sách in người ta còn scan lại rồi cắt đầu cắt đuôi đi được cơ mà

Cho đường tròn $(I)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $IC$ cắt $(I)$ tại $D$, $AD\cap (I)=E$, $BE\cap AC=F$. CMR $F$ là trung điểm $AC$.

Cảm ơn mấy bạn, mấy anh chị. Mình đã nghĩ dc hướng giải: Chứng minh tứ giác ABCQ nội tiếp được đường tròn.

Khi đó A = AI giao với (C), với I là trung điểm BC, (C) là đtròn ngoại tiếp tứ giác ABCQ

Bạn chứng minh tứ giác nội tiếp kiểu gì nhỉ?

Có tất cả 12 ghế trống. 1. Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi bằng số chỉnh hợp chập 4 của 12 phần tử=11880 cách.

Ít nhất 12 ghế trống chứ không phải có 12 ghế trống :3

Một cách của bạn Hiếu Titus bên K2pi [Link]

Giải hệ phương trình sau $$\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{1-97y^2}+y\sqrt{1-97x^2}=\sqrt{97}(x^2+y^2)\\ 27\sqrt{x}+8\sqrt{y}=\sqrt{97}\end{array}\right.$$

(Chuyên Hạ Long - Lần 2)