Đến nội dung

Poseidont nội dung

Có 336 mục bởi Poseidont (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#547692 $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}...

Đã gửi bởi Poseidont on 17-03-2015 - 01:27 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài 3

 Ta có $xy+z=xy+z(x+y+z)=z^2+xy+yz+xz=(z+x)(z+y)\geq (z+\sqrt{xy})^2$

            $2x^2+2y^2\geq (x+y)^2$

Suy ra điều phải chứng minh




#529681 $3\prod \left ( a^3+1 \right )\geqslant \left (...

Đã gửi bởi Poseidont on 20-10-2014 - 16:50 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Câu 2 cũng tương tự chỉ thay đổi đoạn $VT+3\geq VP+a+b+c$




#529649 $3\prod \left ( a^3+1 \right )\geqslant \left (...

Đã gửi bởi Poseidont on 20-10-2014 - 06:20 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Câu 1 

 

BĐT $\Leftrightarrow 3(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq a+b+c$

 Ta sẽ chứng minh $VT+3\geq VP+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt $x=a+\frac{1}{a}$ , $y=b+\frac{1}{b}$ , $z=c+\frac{1}{c}$

$3(x-1)(y-1)(z-1)\geq x+y+z\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-12+3(x+y+z))\geq 3(xy+yz+xz))$

(Đúng vì $x\geq 2$ , $y\geq 2$, $z\geq 2$ )

Suy ra điều phải chứng minh




#463262 $\frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+...

Đã gửi bởi Poseidont on 10-11-2013 - 13:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất

$P=\frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}$

 




#463261 \frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\...

Đã gửi bởi Poseidont on 10-11-2013 - 13:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất

$P=\frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}$




#443547 $\left\{\begin{matrix} 3x^2-3xy+3y^2-9x+3y...

Đã gửi bởi Poseidont on 17-08-2013 - 10:39 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 3x^2-3xy+3y^2-9x+3y+4=0& & \\ 3x^2-6xy+2x-10y+3=0 & & \end{matrix}\right.$




#424274 Tìm max $a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c...

Đã gửi bởi Poseidont on 05-06-2013 - 20:54 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Không, cái mình không phụ thuộc vào đạo hàm, cái hàm số bậc nhất $y=ax+b$ đôi khi bạn vẫn có thể "$a^2$" ..., bạn hiểu mình chứ




#424122 Tìm max $a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c...

Đã gửi bởi Poseidont on 05-06-2013 - 15:03 trong Bất đẳng thức - Cực trị

@:Bofake

Hoàn toàn cố thể coi bạn à,bạn có thể tham khảo trên mạng nhiều,chắc hẳn cách này quá lạ so vs mọi người mà




#423455 Tìm max $a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c...

Đã gửi bởi Poseidont on 03-06-2013 - 15:22 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Ta sẽ chứng minh $a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\leq 1$

Sau đây là 1 cách chứng minh ít ai nghĩ tới

Ta đưa biểu thức về hàm bậc nhất $f(a)=a(ab^3+a^2c^2)+b^2c^3-1$

Xét $ab^3+a^2c^2=0\Rightarrow b^2c^3-1\leq 0$ (Luôn đúng vì $b,c\leq 1$)

Xét $ab^3+a^2c^2\neq 0$

Suy ra đây là hàm đồng biến và $a\in [0,1]$

Cần chứng minh $f(0)\leq 0$ và $f(1)\leq 0$

Ở trường hợp 2

$f(1)=ab^3+a^2c^2+b^2c^3-1\leq ab+bc+ca-1\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}-1< 0$

....




#418584 TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{1}{2+...

Đã gửi bởi Poseidont on 15-05-2013 - 18:16 trong Các bài toán Lượng giác khác

Mình có bổ đề này có thể giúp bạn, tỏng quát luôn, chưng minh cứ dùng tam thức bậc hai thôi.

Với mọi $k<0$

$cos{2nA}+cos{2nB}+kcos{2nC}\leq \frac{-2k^2-1}{2k}$




#418242 Các công thức lượng giác cơ bản

Đã gửi bởi Poseidont on 13-05-2013 - 20:45 trong Chuyên đề toán THPT

I/ Các công thức lượng giác cơ bản :

$sin^2x+cos^2x=1$                        $1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}$

$1+cot^2x=\frac{1}{sin^2x}$           $tanx.cotx=1$

1/Công thức cộng:

$sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa$

$cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.sinb$

$tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tana.tanb}$  $(a,b,a\pm b\neq \frac{\pi }{2}+k\pi$

$cot(a\pm b)=\frac{cota.cotb\mp 1}{cota\pm cotb}$   $(a,b,a\pm b\neq k\pi$

2/ Công thức nhân

$sin2x=2sinx.coss$

$cos2x=cos^2x-sin^2x \Rightarrow cos2x=1-2sin^2x=2cos^2x-1$

$tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}$

$sin3x=3sinx-4sin^3x=4sinx.sin(\frac{\pi }{3}-x).sin(\frac{\pi}{3}+x)$

$cos3x=4cos^3x-3cosx=4cosx.cos(\frac{\pi }{3}-x).cos(\frac{\pi}{3}+x)$

$tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}=tanx.tan(\frac{\pi }{3}-x).tan(\frac{\pi}{3}+x)$

3/Biến đổi tổng thành tích

$cos a+cosb=2cos \frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$cos a-cosb=-2sin \frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$

$sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}$

4/Biến đổi tích thành tổng

$cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b))]$

$sina.sinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b))]$

$sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b))]$

$cosa.sinb=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b))]$

Ở đây mình chỉ nêu một số công thức cơ bản, vì vậy sẽ còn rất nhiều công thức khác, các bạn hãy tự tìm tòi nhé.

II/ Bài tập

Câu 1: Chứng minh rằng

$cos\frac{\pi}{15}.cos\frac{2\pi}{15}.cos\frac{3\pi}{15}.cos\frac{4\pi}{15}.cos\frac{5\pi}{15}.cos\frac{6\pi}{15}.cos\frac{7\pi}{15}=(\frac{1}{2})^7$

Ta nghĩ ngay đến sử dụng công thức nhân đôi,hiển nhiên sẽ triệt tiêu được một số "biến"

$sin2x=2sinx.cosx$ (Đặc biệt là có 7nhân tử và có con số $(\frac{1}{2})^7$

$VT=\frac{sin\frac{2\pi}{15}}{2sin\frac{\pi}{15}}.\frac{sin\frac{4\pi}{15}}{2sin\frac{2\pi}{15}}...\frac{sin\frac{14\pi}{15}}{2sin\frac{7\pi}{15}}=...=(\frac{1}{2})^7$

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 




#417452 TÌm Min của: $$\frac{x}{x^2+2y+3}+\fr...

Đã gửi bởi Poseidont on 09-05-2013 - 15:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Anh nhớ không nhầm thì bài này tim Max chứ:

Nếu tìm max ta giải như sau :

$P\leq \sum \frac{x}{2(x+y+1)}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{x}{x+y+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{y+1}{x+y+1}\geq 2$

Theo $Cauchy-Schwarz$

$\sum \frac{y+1}{x+y+1}=\sum \frac{(y+1)^2}{(x+y+1)(y+1)}\geq \frac{(\sum x+3)^2}{\sum (x+y+1)(y+1)}$

Nhân bung cái dưới rồi dùng $a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow \sum (x+y+1)(y+1)=\frac{1}{2}(\sum x+3)^2$

Ta có điều phải chứng minh




#417404 T=$2^{n}+3^{n}+4^{n}$

Đã gửi bởi Poseidont on 09-05-2013 - 10:03 trong Số học

Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho T=$2^{n}+3^{n}+4^{n}$ là số chính phương

Ta có $n=1\Rightarrow TM$

$n=2\Rightarrow T\in \varnothing$

Xét $n> 2\Rightarrow T\equiv 3^n(mod8)$

$\cdot n=3k\Rightarrow 3^n=3^{3k}\equiv 3(mod8)$

$\cdot n=3k+1\Rightarrow 3^n=3^{3k+1}\equiv 7(mod8)$

$\cdot n=3k+2\Rightarrow 3^n=3^{3k+2}\equiv 3(mod8)$

Mặt khác $a^2\equiv 0,1,4(mod8)$

Nên chi có 1 giá trị $n=1$




#417400 Chứng minh : $2n^2 +n+8 $không là số chính phương.

Đã gửi bởi Poseidont on 09-05-2013 - 09:44 trong Số học

Ta có $n(n+1)$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow n=3k+1$

$\Rightarrow 2n^2+n+8=2(3k+1)^2+(3k+1)+8\equiv 2(mod3)$

Mặt khác $a^2\equiv 0,1(mod3)$

($a=3k\Rightarrow a^2=(3k)^2\equiv 0(mod3)$

$a=3k+1\Rightarrow a^2=(3k+1)^2\equiv 1(mod3)$

$a=3k+2\Rightarrow a^2=(3k+2)^2\equiv 1(mod3)$)

$\Rightarrow Q.E.D$




#417389 CM: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq...

Đã gửi bởi Poseidont on 09-05-2013 - 08:52 trong Bất đẳng thức và cực trị

Tại sao lại ra được thế ạ

Ý bạn là thế nào:

Cụ thể hơn nhé $3=ab+bc+ca\geq^{AM-GM} 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq 1\Rightarrow abc\leq 1$ (Vì $a,b,c>0$)

@trauvang97




#417376 $\sum ab+\sum \frac{ab}{c} \geq...

Đã gửi bởi Poseidont on 08-05-2013 - 23:04 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài này dùng $SOS$

Ta có 

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{bc}-1)(b-c)^2+(\frac{b}{ca}-1)(c-a)^2+(\frac{c}{ab}-1)(a-b)^2\geq 0$

Theo tiêu chuẩn 2 của định lí $SOS$

Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_b,S_b+S_c,S_b+S_a\geq 0$ thì $S\geq 0$

Ta có

$S_b=\frac{b}{ac}-1\geq \frac{1}{a}-1\geq 0$ (theo giải thiết đầu bài )

$S_b+S_c=\frac{1}{2}(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab})-1=\frac{b^2+c^2}{2abc}-1\geq \frac{2bc}{2abc}-1\geq 0$

Tương tự ta có điều phải chứng minh.




#417369 CM: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq...

Đã gửi bởi Poseidont on 08-05-2013 - 22:43 trong Bất đẳng thức và cực trị

Từ giải thiết $\Rightarrow abc\leq 1$

$\Rightarrow VT\leq \sum \frac{1}{abc+a^2(b+c)}=\sum \frac{1}{a(ab+ac+bc)}=\frac{1}{abc}$




#417290 $5^{2p}+1997=5^{2q^{2}}+q^{2}$

Đã gửi bởi Poseidont on 08-05-2013 - 18:15 trong Số học

Theo bossulan239

$VT\equiv 2(mod5)\Rightarrow q^2\equiv 2(mod5)$

 Ta có

$q=5k+1\Rightarrow q^2\equiv 1(mod5)$

$q=5k+2\Rightarrow q^2\equiv 4(mod5)$

$q=5k+3\Rightarrow q^2\equiv 4(mod5)$

$q=5k+4\Rightarrow q^2\equiv 1(mod5)$




#417082 $x+y+z\geq xy+yz+zx$

Đã gửi bởi Poseidont on 07-05-2013 - 18:07 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bạn xem thêm 1 số dạng về bài toán này1




#416492 $P=\frac{(a+b+c-1)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}+\fra...

Đã gửi bởi Poseidont on 04-05-2013 - 21:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

$\Rightarrow a+b+c\geq a^2b+b^2c+c^2a$ (vì $a^2+b^2+c^2=3$)

$P\geq \frac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c}+\frac{9}{a+b+c}=\sum a+\frac{9}{\sum a}+\frac{1}{\sum a}-2$

Ta lại có $\sum a\leq \sqrt{3\sum a^2}=3$

Suy ra $P_{Min}=\frac{13}{3}$ dấu $"="$ $\Leftrightarrow a=b=c=1$




#413574 $\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}...

Đã gửi bởi Poseidont on 19-04-2013 - 09:25 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bạn xem thêm tại đây

P/s:PTKBLYT9C1213 sai rồi bạn à




#413390 Tìm min của $\frac{x^2+1}{y}+\frac{y...

Đã gửi bởi Poseidont on 18-04-2013 - 16:46 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có $\sum _{cyc}x^2y\leq \frac{1}{3}.\sum _{cyc}x^2.\sum _{cyc}x$

$\Rightarrow \sum _{cyc}\frac{x^2}{y}=\sum _{cyc}\frac{x^4}{x^2y}\geq \frac{(\sum _{cyc}x^2)^2}{\sum _{cyc}x^2y}\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}$

Mặt khác $\sum _{cyc}\frac{1}{x}\geq \frac{9}{\sum x}$

$\Rightarrow P\geq \frac{17}{\sum x}\geq \frac{17}{\sqrt{3\sum {}x^2}}=\frac{17}{3}$




#413385 Tìm min của $P=\frac{1}{(1+a)^3}+\frac...

Đã gửi bởi Poseidont on 18-04-2013 - 16:22 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1 :Gợi ý : bạn dùng $AM-GM$ (2 lần)  với 3 số

Bài 2 $(x,y,z)\rightarrow (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{3a^2+ab}{(a+b)^2)}\geq 3\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sum (\frac{a-b}{a+b}+1)^2+\frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a-b}{a+b})^2\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$
Mặt khác $\prod \frac{a-b}{a+b}\leq 1\Leftrightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 0$
$\square.$

http://diendantoanho...y3y12fracz3z12/

(Tham khảo thêm)




#413165 $\left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \righ...

Đã gửi bởi Poseidont on 17-04-2013 - 11:54 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Em làm lại phát

$(a,b,c)\rightarrow (x+y,y+z,x+z)$

 BĐT $\Leftrightarrow \sum _{cyc}(x+y)^2.\sum_{cyc} 2x\leq \sum_{cyc} (x+y)(y+z).\prod_{cyc} (x+y)$

$\Leftrightarrow 16(\sum _{cyc} x^2+\sum_{cyc}  xy)xyz\leq VP$

Vì bất đẳng thức trên đồng bậc nên ta chuẩn hóa $xyz=1$

Ta có

$2(\sum_{cyc} x^2+\sum_{cyc} xy )=(\sum_{cyc}  x)^2+\sum_{cyc}x^2$

$\prod _{cyc}(x+y).\sum_{cyc}x^2\geq \frac{8}{9}\sum _{cyc} x.\sum _{cyc} xy.\sum_{cyc} x^2\geq 8\sum _{cyc} x^2$ (Vì $xyz=1$)

$\prod_{cyc} (x+y).3\sum _{cyc}xy\geq \frac{8}{9}\sum _{cyc}x.\sum_{cyc} xy.3\sum_{cyc} xy\geq 8\sum_{cyc} x.\sum_{cyc} x.xyz=8\sum_{cyc} (x)^2$

Từ các điều trên ta có điều phải chứng minh




#412764 BĐT -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

Đã gửi bởi Poseidont on 15-04-2013 - 13:57 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài 10: Hoàn toàn có thể làm theo cách THCS, chậm hơn chú rồi

$VT=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab^2+3ca}}\geq ^{Cauchy-Schwarz}\frac{(\sum a)^2}{\sum \sqrt{a}.\sqrt{ab^2+3ca}}\geq \frac{1}{\sqrt{\sum_{cyc} ab^2}+3\sum_{cyc}ab}$

Mà ta có

$\inline 1+3abc=(\sum _{cyc}a)^3+3abc=\sum_{cyc} a^3+3\prod_{cyc}(a+b)+3abc\geq \sum _{cyc}ab^2+\sum 3\sum _{cyc}a.\sum _{cyc}ab\geq \sum _{cyc}ab^2+\sum _{cyc}3ab$

Suy ra điều chứng minh