Cho $a+b+c+\sqrt{2abc}\geq 10$
Tìm GTNN:
$\sqrt{\frac{8}{a^{2}}+\frac{9b^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{b^{2}}+\frac{9c^{2}}{2}+\frac{a^{2}b^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{c^{2}}+\frac{9a^{2}}{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4}}$
__
NLT: Chú ý cách đặt tiêu đề !

Xin hỏi còn cách nào khác không ạ. Chứ làm sao mà nghĩ ra cái bổ đề dk.

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của ba chữ số còn lại là 3 đơn vị

Nhận dạng tam giác ABC biết rằng:
$\frac{1}{1+cos^{3}AcosB}+\frac{1}{1+cos^{3}BcosC}+\frac{1}{1+cos^{3}CcosA}=\frac{1}{1+cos^{4}A}+\frac{1}{1+cos^{4}B}+\frac{1}{1+cos^{4}C}$

Tam giác ABC không nhọn có các góc thỏa mãn đẳng thức:
$\left ( 1+\frac{sinB}{sinA} \right )\left ( 1+\frac{sinA}{sinC} \right )\left ( 1+\frac{sinC}{sinB} \right )=4+3\sqrt{2}$
CMR: Tam giác ABC vuông cân

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. CMR:
$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}+\frac{(z^{4}+y^{4})^{3}}{z^{6}+y^{6}}+\frac{(x^{4}+z^{4})^{3}}{x^{6}+z^{6}}\geq 12$

mình đã thử giải như thế này rùi nhưng giả sử 1 cái đúng và 2 cái sai thì sao

cho a,b,c là các số dương TM: $a+b+c\geq abc$. CMR: ít nhất 2 trong 3 bdt sau đúng:
$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6; \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}\geq 6;\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}\geq 6$

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=6$. CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2$

Với a,b,c là ba số thực dương. CMR
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}$

ĐK: cosx#0 và $cos\frac{x}{2}$#0
$tanx +cosx -cos^2x=sinx(1+\frac{sinxsin\frac{x}{2}}{cosxcos\frac{x}{2}})$
$\Leftrightarrow tanx +cosx -cos^2x=sinx\frac{sinxsin\frac{x}{2}+cosxcos\frac{x}{2}}{cosxcos\frac{x}{2}}$
$\Leftrightarrow tanx +cosx -cos^2x=\frac{sinxcos\frac{x}{2}}{cosxcos\frac{x}{2}}$
$\Leftrightarrow tanx +cosx -cos^2x=tanx$
$\Leftrightarrow cosx(1-cosx)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cosx=0 (loại)\\cosx=1 \end{matrix}\right.$
cosx=1$\Leftrightarrow x=k2\pi,k\epsilon Z$

với $t=tan\frac{x}{2}$ thì:
$tanx=\frac{2t}{1-t^{2}}; sinx=\frac{2t}{1+t^{2}} ; cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$;
Thế vào VP ta được VP= tanx $\Rightarrow tanx+cosx-cos^{2}x=tanx \Leftrightarrow cox\left ( 1-cosx \right )=0\Leftrightarrow cosx=0$ hoặc cosx=1

$(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y=3x+4& \\ 2y^{3}+z=6y+6& \\ 3z^{3}+x=9z+8& \end{matrix}\right.$

GPT:$\dfrac{2}{3}{\sqrt{4x+1}}-9x^2+26x+\dfrac{37}{3}=0$

Cho các số thực a,b,c $\geq$ 1 thỏa a+b+c+2=abc.CMR:
$bc\sqrt{a^2-1}+ac\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Nhận thấy hệ có nghiệm $x = y = z = 0$.

Xét $x,y,z \ne 0$. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với

$\dfrac{{3{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{y + z}}{{yz}}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{yz}}\,\,(1)$

Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:

$4 + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{xz}}\,\,(2)\,\,\,;\,\,\,\,5 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}}\,\,(3)$

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:

${\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 12 = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\,\,\,\,or\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = - 3$

Đến đây bạn giải tiếp ...

hjhj anh giải lun hộ em với, em thử giải rùi nhưng nó tùm lum rắc rối quá

CMR vs 3 số thực dương ta luôn có:
$\dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\dfrac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\dfrac{c^4+a^4}{ac(a^3+c^3)}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}(y+z)^{2}=(3x^2+x+1)y^2z^2 & \\ &y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 & \\ &z^2(x+y)^2=(5z^2+y+1)x^2y^2 & \end{matrix}\right.$

giai hpt:
$\left\{\begin{matrix} & x^2+y^2+\dfrac{8xy}{x+y}=16 & \\ & \sqrt{x+y}= x^2-y& \end{matrix}\right.$

mjnh` gjai thử ko bjt đúng ko (hơi dài dòng một tí )
$\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$(dk:tự tìm nghe mjnh` lười lém )
<=> $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=(x^2+x-1)+(x-x^2+1)+x^2-3x+2$
đặt $a=\sqrt{x^2+x-1}$
$b=\sqrt{x-x^2+1}$
ta có: $a+b=a^2+b^2+x^2-3x+2$
<=> $a+b-(a^2+b^2)=x^2-3x+2$(*)
mặt khác: $a=2x-b^2$ va` $b=2x-a^2$
thế vào (*) ta dk:
$4x-2(a^2+b^2)=x^2-3x+2$
thử $a^2+b^2=2x$
=> $x^2-3x+2=0$
<=> x=1 hoặc x=2(loại)
=> x=1 la` nghiem

C2a: (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx
<=> (2cosx-1)(2sinx+cosx)=2sinxcosx-sinx
<=> (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sinx(2cosx-1)
<=> (2cosx-1)(2sinx+cosx-sinx)=0
<=>cosx=1/2 hoặc sinx=cosx
=> x....

$A=\dfrac{x+y+z}{z}+\dfrac{x+y+z}{y}+\dfrac{x+y+z}{z}-3=(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})-3=0-3=-3$

MoD: Mong bạn gõ latex và gõ tiếng việt có dấu đàng hoàng trong VMF.