Spoiler

Lời giải chỉ mang tính chất nêu ý tưởng,lập luận có phần hơi lủng củng mong các bạn sửa và góp ý giúp mình

Vì số nguyên dương $n$ là bội của $2003$ nên $n$ nhỏ nhất là 2003 có tổng các chữ số là $5$

Ta sẽ chứng minh $MinS_{n}=5$.Thật vậy,giả sử tồn tại $S(n)<5$

Khi đó $S(n)\epsilon \left [ 2;4 \right ]$ 

Suy ra chữ số tận cùng của bội 2003 lần lượt là $1,2,3$

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $1$ thì tồn tại 1 số $\overline{P7}$ sao cho $2003.\overline{P7}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P7}=20030.P+2003.7\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $2$ thì tồn tại 1 số $\overline{P4}$ sao cho $2003.\overline{P4}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P4}=20030.P+2003.4\Rightarrow P< 2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $3$ thì tồn tại 1 số $\overline{P1}$ sao cho $2003.\overline{P1}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P1}=20030.P+2003.1\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ nguyên dương)

Vậy $MinS_{n}=5$ khi $n=2003$

Sao lại có chỗ này???

Cho hệ phương trình sau

$(a-1)x-2y=1$

$3x+ay=1$

xác định a để x-y đạt GTLN

Bạn giải phương trình theo $a$, xong rồi tính $x-y$ theo $a$ rồi biến đổi là ra

Cho a,b,c,d khác nhau đôi một. Với giá trị nào của x,y,z,t thì A đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó x,y,z,t là hoán vị của a,b,c,d và: $A=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-t)^{2}+(t-x)^{2}$

Cái này thường thôi bạn, do máy tính quá thông minh nên chỉ chính xác khoảng 15 chữ số thập phân sau dấu phẩy

Xét 20 số đầu tiên của dãy luôn tồn tại 1 số chia hết cho 20

Gọi số này là A

=>Chứ số hàng đơn vị của A là 0;Chữ số hàng chục là 0;2;4;6;8

Gọi tổng các chữ số của A là B

=>Tổng các chữ số của 19 số sau A lần lượt là:B+1;B+2;...;B+9;B+1;B+2;...;B+10

Mà trong 11 số B;B+1;...;B+11 có đúng 1 số chia hết cho 11

Vậy ta có ĐPCM

Thứ nhất: Cho mình hỏi tại sao không xét 10 số đầu mà lại xét 20 số?

Thứ hai: khúc màu đỏ bạn bị sai kìa

Bài 3 : a) Cho a, b, c, d là 4 số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng: 
(a – b)(a – c)(a – d)(b – c)(b – d)(c – d) chia hết cho 12

Ý 1: Trong 4 số tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tồn tại ít nhất một trong sáu tích chia hết cho 3, suy ra: $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 3

Ý 2: G/S cả 4 số đều chẵn hoặc lẻ thì dễ thấy $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

G/S chỉ có 1 lẻ hoặc 1 chẵn thì trong 6 tích sẽ có 3 tích chia hết cho 2, suy ra $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

G/S có 2 chẵn, 2 lẻ thì tồn tại 2 tích chia hết cho 2. suy ra $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

Từ 2 ý, suy ra điều phải chứng minh.

Tìm x,y,z biết: $\frac{4x-5y}{2}=\frac{5z-3x}{3}=\frac{3y-4z}{4} và x+y+z=48$  

$\frac{4x-5y}{2}=\frac{5z-3x}{3}=\frac{3y-4z}{4}==\frac{x+z-2y}{9}=\frac{48-3y}{9}=\frac{48-3y+3y-4z}{13}=\frac{48-4z}{13}=...$

Lúc này tính $x$ theo $y$, $z$ thôi bạn

Tìm x,y biết : $\frac{x}{5}=\frac{y}{3} và x^{2}-y^{2}=4$

$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}\Rightarrow \frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2-y^2}{25-3}=\frac{2}{11}$

Tới đây giải tiếp đi bạn

chỗ này có cách khác được k?

9b+1 la so chinh phuong =>Đặt  9b+1 = x^2

                                   => 9b= (x-1)(x+1) (la tich cua hai so cach nhau 2 don vi)

                                    ma b<9 => b=7

mình chỉ nghĩ vậy thôi mong các bạn góp ý ...

Được bạn, cách bạn thuần tuý hơn cách kia, bởi đây ko phải là bài tập dạng casio nên làm như bạn chặt hơn

Đặt $n^2$ = $\overline{bbcc}$

$n^2 = 11(100b+c)=11(99b+b+c)$

Vì 99b+b+c chia hết 11  nên b+c chia hết 11

Dễ suy ra b+c =11

Vậy $n^2=11(99b+11)=11^2(9b+1)$

Vậy 9b+1 phải là số chính phương 

Thay các giá trị 1..10 tìm được b=7 => c=4

Vậy số tự nhiên đó là 69774496

Chả hiểu cái "Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$" để làm gì nữa?

Mình thật sự cũng chả hiểu, sách nó ghi vậy, chỉ là mình sửa lại các số xung quanh bbcc cho hấp dẫn thôi :v với mình nghĩ làm như vậy để thay cho câu "b khác 0"

nhớ là sau 3 ngày phải giải đó nha !

Mình sẽ cố gắng nhớ và onl để giải

dấu sau dấu bằng là dấu cộng hả ,sao thế nhỉ

$\sum a=a+b+c;\sum a+a^2=a+a^2+b+b^2+c+c^2$ (2 ví dụ về cái dấu mà bạn hỏi)

Mình thì không biết giải thích thế nào nên đưa cho bạn 2 ví dụ để bạn hiểu

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

gpt $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^{2}+8x})=16(x-1)$

Mình nghĩ là đặt ẩn phụ

Cụ thể:

$a=\sqrt{x}$ và $b=\sqrt{x+8}$

Chứng minh rằng ko tồn tại số chính phương có dạng 3k+2

Với số nguyên $a$ bất kỳ, xét 3 trường hợp: $a$ chia hết cho $3$, $a$ chia $3$ dư $1$ và $a$ chia $3$ dư $2$
Tính $a^2$ rồi xét đồng dư với 3 sẽ ra.

Lời giải:  Áp dụng BĐT $Mincopxki$, ta có:

$\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}=\sqrt{3(x+y)^{2}+4x^{2}}+\sqrt{3(x+y)^{2}+4y^{2}}\geq \sqrt{12(x+y)^{2}+4(x+y)^{2}}=4\left | x+y \right |\geq 4(x+y).$

Đẳng thức rảy ra khi $x=y$.

Bạn thử làm cách khác đi, biến đổi biểu thức dưới căn thức sao có tồn tại $(x-y)^2$ mới là hay

Vậy Min A = $2\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy bạn mình làm mà không được

Bđt Mincopxki: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Dấu bằng xảy ra khi $bc=ad$

Áp dụng vào đi bạn

cảm ơn các bạn đã đóng góp vào topic thế nhưng khi đăng bài các bạn nhớ đánh số thứ tự giùm ! sửa lại giùm mình đi các bạn !

Mình nghĩ nên đánh STT lại từ đây đi, không ai đánh thì để mình khởi xướng cho.
1) Cho a là nghiệm của phương trình $x^2+x-1=0$. Tính $S=a+\sqrt{a^8+10a+13}$
2) Cho $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$

Góp một bài:

Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$ sao cho $\overline{bbcc}$ là số chính phương.

           $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & & \\ 3x^{2}+y+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4-5y}& & \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-1}{3};y\leq \frac{4}{5}$

Xét phương trình ở trên:

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1\Leftrightarrow (x^2-x^2-1)(y+\sqrt{y^2+1})=x-\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}$
Chứng minh tương tự ta cũng được: $x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}$ $\Rightarrow 2x+2y=0\Leftrightarrow x=-y$

Thế vào phương trình ở dưới rồi giải là ra

Tìm $m \in Z$để P=$\frac{m^{2}+1}{2m + 1} \in Z$

$\frac{m^{2}+1}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{4m^{2}+4}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{(2m+1)^2-4m-2+5}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{5}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow 5\vdots (2m+1)$

Tới đây dễ rồi bạn

Góp một bài rất hay

Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$

Xin lỗi mình nhầm rồi không có A bạn ạ. Còn phương pháp này hả mình chả biết ở đâu nữa . Mình thấy phân thức nên nghĩ giống với tìm cực trị của phân thức nên làm theo thôi

Phương pháp của bạn cũng được, nhưng mình nghĩ nó không phù hợp với loại bài này đâu

Không tồn tại các số nguyên a,b,c và k nguyên dương sao cho $a^2+b^2+c^2=2^k$

Mệnh đề trên đúng hay sai , chứng minh điều ấy

Mình nghĩ mệnh đề này sai, chứng minh thì trong link: http://diendantoanho...-nghiệm-nguyên/

1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

Gợi ý + dự đoán:

1. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

3. Sử dụng tính chất: $ab\vdots p$ với $a,b,p$ là các số nguyên dương và $b$ là số nguyên tố thì $a\vdots p$