Spoiler

Lời giải chỉ mang tính chất nêu ý tưởng,lập luận có phần hơi lủng củng mong các bạn sửa và góp ý giúp mình

Vì số nguyên dương $n$ là bội của $2003$ nên $n$ nhỏ nhất là 2003 có tổng các chữ số là $5$

Ta sẽ chứng minh $MinS_{n}=5$.Thật vậy,giả sử tồn tại $S(n)<5$

Khi đó $S(n)\epsilon \left [ 2;4 \right ]$ 

Suy ra chữ số tận cùng của bội 2003 lần lượt là $1,2,3$

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $1$ thì tồn tại 1 số $\overline{P7}$ sao cho $2003.\overline{P7}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P7}=20030.P+2003.7\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $2$ thì tồn tại 1 số $\overline{P4}$ sao cho $2003.\overline{P4}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P4}=20030.P+2003.4\Rightarrow P< 2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $3$ thì tồn tại 1 số $\overline{P1}$ sao cho $2003.\overline{P1}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P1}=20030.P+2003.1\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ nguyên dương)

Vậy $MinS_{n}=5$ khi $n=2003$

Sao lại có chỗ này???

Cho hệ phương trình sau

$(a-1)x-2y=1$

$3x+ay=1$

xác định a để x-y đạt GTLN

Bạn giải phương trình theo $a$, xong rồi tính $x-y$ theo $a$ rồi biến đổi là ra

Cho a,b,c,d khác nhau đôi một. Với giá trị nào của x,y,z,t thì A đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó x,y,z,t là hoán vị của a,b,c,d và: $A=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-t)^{2}+(t-x)^{2}$

Cái này thường thôi bạn, do máy tính quá thông minh nên chỉ chính xác khoảng 15 chữ số thập phân sau dấu phẩy

Xét 20 số đầu tiên của dãy luôn tồn tại 1 số chia hết cho 20

Gọi số này là A

=>Chứ số hàng đơn vị của A là 0;Chữ số hàng chục là 0;2;4;6;8

Gọi tổng các chữ số của A là B

=>Tổng các chữ số của 19 số sau A lần lượt là:B+1;B+2;...;B+9;B+1;B+2;...;B+10

Mà trong 11 số B;B+1;...;B+11 có đúng 1 số chia hết cho 11

Vậy ta có ĐPCM

Thứ nhất: Cho mình hỏi tại sao không xét 10 số đầu mà lại xét 20 số?

Thứ hai: khúc màu đỏ bạn bị sai kìa

Bài 3 : a) Cho a, b, c, d là 4 số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng: 
(a – b)(a – c)(a – d)(b – c)(b – d)(c – d) chia hết cho 12

Ý 1: Trong 4 số tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tồn tại ít nhất một trong sáu tích chia hết cho 3, suy ra: $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 3

Ý 2: G/S cả 4 số đều chẵn hoặc lẻ thì dễ thấy $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

G/S chỉ có 1 lẻ hoặc 1 chẵn thì trong 6 tích sẽ có 3 tích chia hết cho 2, suy ra $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

G/S có 2 chẵn, 2 lẻ thì tồn tại 2 tích chia hết cho 2. suy ra $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

Từ 2 ý, suy ra điều phải chứng minh.

Tìm x,y,z biết: $\frac{4x-5y}{2}=\frac{5z-3x}{3}=\frac{3y-4z}{4} và x+y+z=48$  

$\frac{4x-5y}{2}=\frac{5z-3x}{3}=\frac{3y-4z}{4}==\frac{x+z-2y}{9}=\frac{48-3y}{9}=\frac{48-3y+3y-4z}{13}=\frac{48-4z}{13}=...$

Lúc này tính $x$ theo $y$, $z$ thôi bạn

Tìm x,y biết : $\frac{x}{5}=\frac{y}{3} và x^{2}-y^{2}=4$

$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}\Rightarrow \frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2-y^2}{25-3}=\frac{2}{11}$

Tới đây giải tiếp đi bạn

Trong trang này http://dethi.violet....ntry_id/9517939 mình thấy người ta viết có vô số số nguyên tố có dạng 4x+3 với x là số tự nhiên nhưng không có nghĩa là các số có dạng 4x+3 đều là số nguyên tố phải không

Đúng rồi bạn, ví dụ như với $x=3$ thì không thoả $4x+3$ là số nguyên tố nhưng vẫn có thể tìm vô số giá trị khác của $x$ sao cho $4x+3$ là số nguyên tố

Chứng minh rằng ko tồn tại số chính phương có dạng 3k+2

Với số nguyên $a$ bất kỳ, xét 3 trường hợp: $a$ chia hết cho $3$, $a$ chia $3$ dư $1$ và $a$ chia $3$ dư $2$
Tính $a^2$ rồi xét đồng dư với 3 sẽ ra.

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

Tìm min của

A = $\sqrt{x^2-4x+5} + \sqrt{y^2-4y+5} + \sqrt{x^2+y^2}$ 

Mình sử dụng Mincopski cho 2 cái đầu rồi mà giờ không biết làm sao nữa

$\sqrt{x^2-4x+5} + \sqrt{y^2-4y+5} + \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-2)^2+1} + \sqrt{(y-2)^2+1} + \sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}+\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{2}$

Mình chiều ý bạn làm Mincopxki nhưng hình như không ổn lắm phải không? Làm sao có thể ra $\sqrt{2}$ được?? Vì lúc này dấu bằng xảy ra khi $x=y=3$ hoặc $x=y=1$
Bạn xem coi sai chỗ nào?

Ai co bo de hinh hoc khong

http://dethi.violet....try_id/10290126

các bạn cho mình xin tầm chục bài hình để mình làm trong 2 hoặc 3 ngày ko, mình ko hay lên mạng được

http://www.slideshar...p-9-n-thi-vo-10

Đây bạn, có giải luôn

giải câu 2 nha.

pt tương đương vs $(x+1)(\sqrt{2x^{2}-2x}-x-2)=x^{2}-6x-4$

$\Leftrightarrow (x+1)\frac{x^{2}-6x-4}{\sqrt{2x^{2}-2x}+x+2}=x^{2}-6x-4$

$\Leftrightarrow (x^{2}-6x-4)(\frac{x+1}{\sqrt{2x^{2}-2x}+x+2}-1)=0$

giải ra

cái này giải ntn bạn? Bình phương 2 vế lên à?

Thi chuyên toán người ta có cho xài Sigma ko nhỉ 

Hình như không đâu bạn, thi casio mới được thôi

Tìm $m \in Z$để P=$\frac{m^{2}+1}{2m + 1} \in Z$

$\frac{m^{2}+1}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{4m^{2}+4}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{(2m+1)^2-4m-2+5}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow \frac{5}{2m + 1} \in Z\Leftrightarrow 5\vdots (2m+1)$

Tới đây dễ rồi bạn

cảm ơn các bạn đã đóng góp vào topic thế nhưng khi đăng bài các bạn nhớ đánh số thứ tự giùm ! sửa lại giùm mình đi các bạn !

Mình nghĩ nên đánh STT lại từ đây đi, không ai đánh thì để mình khởi xướng cho.
1) Cho a là nghiệm của phương trình $x^2+x-1=0$. Tính $S=a+\sqrt{a^8+10a+13}$
2) Cho $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$

dấu sau dấu bằng là dấu cộng hả ,sao thế nhỉ

$\sum a=a+b+c;\sum a+a^2=a+a^2+b+b^2+c+c^2$ (2 ví dụ về cái dấu mà bạn hỏi)

Mình thì không biết giải thích thế nào nên đưa cho bạn 2 ví dụ để bạn hiểu

           $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & & \\ 3x^{2}+y+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4-5y}& & \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-1}{3};y\leq \frac{4}{5}$

Xét phương trình ở trên:

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1\Leftrightarrow (x^2-x^2-1)(y+\sqrt{y^2+1})=x-\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}$
Chứng minh tương tự ta cũng được: $x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}$ $\Rightarrow 2x+2y=0\Leftrightarrow x=-y$

Thế vào phương trình ở dưới rồi giải là ra

nhớ là sau 3 ngày phải giải đó nha !

Mình sẽ cố gắng nhớ và onl để giải

Làm sao chứng minh x₀ dương  để tính $x_{0}= \sqrt{8-4\sqrt{2}}$, bấm máy thì nó dương.

không cần chứng minh dương âm gì hết, như mình đã nói: tính $x_{0}^2$ và $x_{0}^4$ xong thế vào phương trình rồi kết luận thôi, không khó đâu

Vậy Min A = $2\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy bạn mình làm mà không được

Bđt Mincopxki: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Dấu bằng xảy ra khi $bc=ad$

Áp dụng vào đi bạn

Xin lỗi đã viết sai đáng lẽ phải là 

A= $ \sqrt{x^2-4x+5}+ \sqrt{y^2-2y+5} + \sqrt{x^2+y^2}$

mà bài này còn có thể sử dụng bđt khác hả bạn

Mình không biết nữa, nhưng nếu sửa đề lại như bạn thì Mincopxki là ổn rồi

Góp một bài rất hay

Với $x,y$ là các số thực, CM: $\sqrt{7x^2+6xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+6xy+7y^2}\geq 4(x+y)$

1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

Gợi ý + dự đoán:

1. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

3. Sử dụng tính chất: $ab\vdots p$ với $a,b,p$ là các số nguyên dương và $b$ là số nguyên tố thì $a\vdots p$