cho các số thực x, y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$ . tìm Min và Max của biểu thức 

  M=$\sqrt{3}xy+y^{2}$

Bài này đã có ở đây!

ai giúp m bài 1 vs . cám ơn trước

$A=\sum \frac{a}{b(ac+1)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)+\sum ab}=\frac{(\sum a)^2}{ab.bc+bc.ca+ca.ab+1}$

Lại có: $ab.bc+bc.ca+ca.ab\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=\frac{1}{3}, (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=3$

...đpcm

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Tìm max của biểu thức:

$\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}$

$GT\Rightarrow a,b,c\in \left [ 0;1 \right ]. Đặt (a^2+1;b^2+1;c^2+1)\Rightarrow (x,y,z)\Rightarrow x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]\Rightarrow A=\sum \frac{x}{y}$

$Không  mất tính tổng quát, gs 2\geq x\geq y\geq z\geq 1\Rightarrow (x-y)(y-z)\geq 0\Leftrightarrow xy-zx-y^2+yz\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{z}+1\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}$

$(2x-z)(2z-x)\geq 0..\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 2.5\Rightarrow A\leq 1+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 1+2.5=3.5$

giúp  mình bài này với.

1. cho a,b,c>0, ab+ac+bc=1 CMR a/b(ac+1)+b/c(ab+1)+c/a(bc+1) >= 9/4

2.a,b>0, ab+1<=b. tim Min a+1/a^2+b^2+1/b

 minh mới tham gia dd nên cách viêt chưa dc chuẩn mod sủa lại giúp. cám ơn trước

$1. Cho a,b,c>0, \sum ab=1.CM: \frac{a}{b(ac+1)}\geq \frac{9}{4}$

$2. a,b>0, ab+1\leq b. Tìm Min A=a+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b}$

2. Từ GT $\Rightarrow b+\frac{1}{a}\leq \frac{b}{a}\Rightarrow (\frac{b}{a})^2\geq (b+\frac{1}{a})^2\geq 4.\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{b}{a}\geq 4$

$A=(a+\frac{1}{8a^2})+(\frac{1}{b^2}+\frac{b^2}{8})+\frac{7}{8}(\frac{1}{a^2}+b^2)\geq \sqrt{\frac{1}{2a}}+\sqrt{\frac{b}{2}}+\frac{7b}{4a}\geq 2\sqrt[4]{\frac{b}{4a}}+\frac{7b}{4a}\geq 2\sqrt[4]{\frac{4}{4}}+\frac{7}{4}.4=9\Leftrightarrow a=0.5, b=2$

gpt $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^{2}+8x})=16(x-1)$

Đk: $x\geq 0$

$\Leftrightarrow 8(x-1).\frac{1}{3\sqrt{x}+\sqrt{x+8}}.(4+3\sqrt{x(x+8)})=16(x-1)$

N x=1(t/m)

N $4+3\sqrt{x^2+8x}=2(3\sqrt{x}+\sqrt{x+8})\Leftrightarrow 2(2-3\sqrt{x})+(3\sqrt{x^2+8x}-2\sqrt{x+8})=0\Leftrightarrow (4-9x)(\frac{2}{2+3\sqrt{x}}-\frac{x+8}{3\sqrt{x^2+8x}+2\sqrt{x+8}})=0$

$x=\frac{4}{9}. N x\neq \frac{4}{9},1: Đặt \sqrt{x+8}=a>0, \sqrt{x}=b\geq 0\Rightarrow a^2(2+3b)=2(3ab+2a)\Leftrightarrow (3ab+2a)(a-2)=0\Rightarrow a=2\rightarrow x=-4(l)$

Vậy $x\in \left \{ \frac{4}{9};1 \right \}$

2) Trong một hình vuông có cạnh bằng 10 cm, ta đặt 126 điểm bất kỳ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: có ít nhất 6 điểm trong số 126 điểm đã cho nằm trong một hình tròn có bán kính bằng 10/7 cm.

Chia HV cạnh 10cm thành 25 HV cạnh 2cm. Khi đó bk đt ngt mỗi HV cạnh 2cm=$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}< \frac{10}{7}$

Lại có: 126 điểm nằm (.) 25 HV cạnh 2cm nên theo nguyên lí đirichlet có ít nhất 6 điểm cùng nằm (.) HV cạnh 2cm $\Rightarrow$ đpcm

Nhìn kĩ hẵng nói chứ bạn

 

$x^{4}+16x^{2}+32=0$

 

$\Delta ^{'}=32> 0$

Nhưng khi đó: x²<0(vô lý)

Bài BĐT (đề thi chuyên toán tỉnh mình, năm nào thì không rõ nữa)

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$M=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$

$M=\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}=\sum \frac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2}\leq \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}$

$abc=1\Rightarrow \sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{abc}{b(a+1+ca)}+\frac{abc}{bc(1+ca+a)}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac+a+1}{ca+a+1}=1$

$\Rightarrow Max M=0.5\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài toán: Tìm số hữu tỉ $a$ sao cho $a^{2}+5a$ là số nguyên và là số chính phương

Xin lỗi. Mình nhầm

Ai giúp mình giải đề này với, câu nào dễ thì ghi kết quả ra thôi là được rồi.

p/s: do không có thời gian, mình không gõ nguyên cái đề ra, ai đánh máy nhanh gõ giúp nha!

5.$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}(x,y,z\in \mathbb{N})$

$\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}$. $\Leftrightarrow x-y-z=2(\sqrt{yz}-\sqrt{3})(1)$

$\Leftrightarrow (x-y-z)^{2}=4yz-8\sqrt{3yz}+12.$

$\Rightarrow \sqrt{3yz}\in \mathbb{N}. Đặt \sqrt{3yz}=a\in \mathbb{N}. Từ (1)\Rightarrow (x-y-z)\sqrt{3}=2a-6$

$x,y,z,a\in \mathbb{N}\Rightarrow x-y-z=0\Rightarrow yz=3\Rightarrow (y,z)=(1;3);(3;1)$ $\Rightarrow x=4$

Vậy (x;y;z)=(4;1;3);(4;3;1)

1. $P=\frac{3\sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}+2}$

2.a. m<2

b. $A=-2m^{3}-12m-14$

3.$a, x\in \left \{ 0;4 \right \} b, -8\leq m\leq -6$

chém bài cho vui : (Tuyển sinh lớp 10 Quốc Học Huế, năm 2008 - 2009 - Chuyên toán)

Cho phương trình: $x^{4}-2mx^{2}+2m-1=0$. Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sao cho:

$x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$ và $x_{4}-x_{1}=3(x_{3}-x_{2})$.

Đặt x²=y$\geq 0\Rightarrow y^{2}-2my+2m-1=0$(1)

Gọi y₁, y₂ là 2 no của (1) $\Rightarrow y_{1}+y_{2}=2m, y_{1}.y_{2}=2m-1$

Mà x₁<x₂<x₃<x₄ $\Rightarrow \sqrt{y_{1}}=-x_{1}=x_{4}, \sqrt{y_{2}}=x_{3}=-x_{2}$

Lại có $x_{4}-x_{1}=3(x_{3}-x_{2})\Rightarrow 2\sqrt{y_{1}}=6\sqrt{y_{2}}\Rightarrow y_{1}=9y_{2}$

$\Rightarrow 9y_{2}=2m-1,10y_{2}=2m\Rightarrow y_{2}=\frac{m}{5} thay  vào 9y_{2}=2m-1  tđ:9m^{2}-50m+25=0$

$\Rightarrow m\in \left \{ \frac{5}{9} ;5\right \}$

           $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & & \\ 3x^{2}+y+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4-5y}& & \end{matrix}\right.$

Đk: $x\geq \frac{-1}{3},y\leq 0.8$

Từ (1). Mà $(y+\sqrt{y^{2}+1})(\sqrt{y^{2}+1}-y)=1$, $(\sqrt{x^{2}+1}+x)(\sqrt{x^{2}+1}-x)=1$

$\Rightarrow x=-y$ thay vào (2) tđ:

$3x^{2}-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4+5x}$

$\Leftrightarrow 3x(x-1)=\left [ \sqrt{3x+1} -(x+1)\right ]+\left [ \sqrt{4+5x}-(x+2) \right ]$

$\Leftrightarrow 3x(x-1)=\frac{x(1-x)}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\frac{x(1-x)}{\sqrt{4+5x}+x+2}$

Mà $3+\frac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{4+5x}+x+2}> 0\vee x\geq \frac{-1}{3}$

$\Rightarrow x(x-1)=0$

N x=0(t/m) $\Rightarrow$ y=0(t/m)

N x=1(t/m) $\Rightarrow$ y=-1(t/m)

Ai giúp mình giải đề này với, câu nào dễ thì ghi kết quả ra thôi là được rồi.

p/s: do không có thời gian, mình không gõ nguyên cái đề ra, ai đánh máy nhanh gõ giúp nha!

6.a. $VT\geq \frac{4}{3(x+y)}\geq \frac{4}{3.2}=VP$(đpcm)

Dấu ''='' xr khi x=y=1

b. $\frac{9}{4}=\sum a+\sum ab\leq \sqrt{3\sum a^{2}}+\sum a^{2}$

$\Leftrightarrow (\sum a^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})(\sum a^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})\geq 0\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ đpcm

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

7. $AM.BP=1=AB.AB. Mà \hat{BAM}=\hat{ABP}=(60^{\circ})$

$\Rightarrow \bigtriangleup ABM~\bigtriangleup BPA\Rightarrow \hat{ABM}=\hat{BPA}$

Lại có: $\hat{ABM}+\hat{NBP}=60\Rightarrow \hat{BNP}=180^{\circ}-\hat{NBP}-\hat{NPB}=120^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{ANB}=180^{\circ}-\hat{BNP}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\hat{ACB}$

$\Rightarrow$ TG AMCB nt. Áp dụng đ/l Ptoleme và AB=BC=CA tc: AB.NC+BC.NA=NB.AC

$\Rightarrow NB^{2}=(NA+NC)^{2}\geq 4NA.NC$(đpcm)

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

Spoiler

Giải bài 210 bằng 10 cách. Còn bài 211 chỉ hi vọng tìm được 1 lời giải hay từ mọi người :v

Đk: $x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}],x\neq 0$

pt $\Leftrightarrow [\sqrt{2-x^2}-(2-x)]+[\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}-(2-\frac{1}{x})]=0$

$\Leftrightarrow \frac{-2(x-1)^2}{\sqrt{2-x^2}+2+x}-\frac{2(x-1)^2.\frac{1}{x^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+(2-\frac{1}{x})}=0\Leftrightarrow x=1$

ai có cho mình xin tài liệu về BĐT, cực trị trong đại số dành cho người đang ôn thi chuyên toán cho mình xin với

http://tailieu.vn/do...osi-892616.html

http://tailieu.vn/do...-si-169311.html

http://www.slideshar...hsg-mn-ton-lp-9

http://www.slideshar...-rt-chi-tit-v-y

http://www.slideshar...php-chn-im-ri-1

http://www.slideshar...c-ca-v-quc-b-cn

http://www.slideshar...ng-thuc-rat-hay

http://docs.vietnamd...n-2014-2015.pdf

https://toicodongiua...va-ung-dung.doc

present/show/entry_id/3038830/cm_id/3153091iews/605/2273018/preview.swf

1. 1 dãy ô vuông xếp thành hàng ngang được đánh STT từ 1 đến 9. Mỗi ô có 1 viên bi. Hỏi sau 1 số bước hữu hạn có thể nhận được kết quả như sau hay k với cách chơi lấy 2 viên bi ở 2 ô khác nhau rồi chuyển sang 2 ô kề vs nó theo chiều ngược nhau:

a. Cả 9 viên cùng ở 1 ô.

b. K có viên nào ở ô lẻ.

c. 5 viên ở ô số 9.

2. Trên bảng ghi các số từ 1 đến 2016. Mỗi lần thay đồng thời tất cả các số bằng tổng các chữ số của nó đến khi ta nhận được 2016 số trên bảng mà mỗi số chỉ có 1 chữ số thì khi ấy trên bảng sẽ só bao nhiêu chữ số 1?

20.ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=3$

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq a+1-\frac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq 3+\frac{\sum a}{2}-\frac{\sum ab}{2}\geq 4.5-\frac{(\sum a)^2}{6}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

49. ĐK: $a,b,c> 0$; $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

$ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Dễ CM: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc+(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{9}{8}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8\sum a}$

Lại có: $1=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{27}.(2\sum a)^3\Rightarrow \sum a\geq \frac{3}{2}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8.\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}$(đpcm)

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

46. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=1$

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

$VT=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+c).\frac{2}{3}}.\sqrt{\frac{3}{2}}}\geq \sqrt{\frac{2}{3}}.\sum \frac{2a}{b+c+\frac{2}{3}}\geq 2.\frac{2}{3}.\frac{(\sum a)^2}{2\sum ab+\frac{2}{3}\sum a}\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}}.\frac{1}{2.\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$

Dễ CM: $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq \frac{2}{3}(a+b+c)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{1}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

Ai có cuốn'' 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi toán 10'' không ạ?

đây nữa nè!

Cho (O;R), I là điểm cố định nằm trong đường tròn. AC,BD là 2 dây bất kì qua I. Xác định vị trí 2 dây AC,BD để P=$\frac{AB.AD+BC.CD}{AB.BC+AD.CD}$ Min,Max.

sao