tam giác ABC nhọn đường cao AD BE CF trực tâm H, K là trung điểm AH EF giao AD tại I.
CMR I là trực tâm tam giác KBC
p/s tớ là mem mới mong được mọi người ủng hộ

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trong tam giác ABC để $MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất

bạn ơi lâu rồi mà không ai trả lời post lời giải đi bạn

Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Trên d lấy M (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vuông góc MB, BD vuông góc MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

a) CMR AMBO là tứ giác nội tiếp.

b) CMR O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn.

c) CMR $OI.OM=R^2$; $OI.IM=IA^2$.

d) CMR OAHB là hình thoi.

e) CMR O, H, M thẳng hàng.

g) Tìm quỹ tích điểm H khi M chuyển động trên d.

P/s: Giúp mình câu cuối nhé, nghĩ mãi chưa ra!!!

theo mình bài này không nói rõ yếu tố thay đổi là gì và cũng không nói rõ yếu tố cố định.Nếu A cố định thì từ câu d ta suy ra luôn AH=AO suy ra H thuộc đường tròn tâm A bán kính R

$KD= \frac{1}{2}EF$ nên $EF = \frac{1}{4}AB$
Mà  tam giác ABH đồng dạng tam giác tam giác FEH nên $\frac{AB}{EF}= \frac{BH}{EH}$

$BH = BE
HE = 2DE$
nên BH/HE =BE/2DE=1/4
suy ra BE=2DE
suy ra $\widehat{BEA}= 60$

kéo dài  AO cắt O tại K suy ra AKB =60 đến đây tính được AB theo R nhờ có góc 60 thì dễ rồi

Áp dụng BĐT Buniacopski ta có:

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})\geqslant (xy+\frac{1}{xy})^{2}\geqslant (2\sqrt{xy.\frac{1}{xy}})^{2}=4$

Dấu bằng sai rồi bạn nhé

Cách làm

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2$

Áp dụng bdt cauchy ta có

$x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}$

$\frac{255}{256x^{2}y^{2}}\geq \frac{255}{16}$

vậy $P\geq \frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2$$=18.0625$

Dấu bằng sảy ra khi x=y=1/2

chào mọi người đây là bài tập tớ tổng hợp được từ topic.Tuy nhiên do thời gian có hạn nên chưa có lời giải và nhận xét của các anh,chị .Đây cũng là lần đầu tiên tớ làm cái này nên còn cần nhiều chỉnh sửa.Mong mọi người góp ý.

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$

 

Giờ ta cần chứng minh

 

$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)

 

Vậy ta có đpcm

C2.

Chọn a sao cho $Max(a,b,c)\geq a\geq Min(a,b,c)$ (dòng này suy ra cuối cùng nhưng viết ở đầu)

Áp dụng bdt cauchy cho 2 số dương

$2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}= 2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}.[a.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})]}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$= a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

Ta có đpcm nếu cm được

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c}+b\geq \frac{b^{2}}{a}+\frac{ab}{c}$

$\Leftrightarrow ab+ac\geq bc+a^{2}$

$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)\leq 0$

Đúng với cách chọn a ban đầu ta có đpcm 

1 cách khác

$a+b+c=3\Rightarrow a-1+b-1+c-1=0$

Đặt a-1=x b-1= y c-1=z

Ta có x+y+z=0

x,y,z thuộc [-1;1]

Ta có 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+\left ( z+1 \right )^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+3$

Mặt khác x+y+z=0 suy ra tồn tại 2 số dương hoặc 2 số âm g/s 2 số đó là x và y

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |=\left | x+y \right |+\left | z \right |=2\left | z \right |\leq 2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\leq 5$

đpcm

(có thể sd cách này để cm bài bdt trong kì thi hsg tp hà nội)

Chú ý: Trích dẫn đề bài ra?

Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$

$151/$

Thấy 1 bài dùng pp của bài 147 chém luôn

Đặt x-1=a

y-1=b

z-1=c

Từ giả thiết ta có a+b+c=0 a,b,c$\epsilon$ [-1;1]

A=$(a+1)^{4}+(b+1)^{4}+(c+1)^{4}-12abc$

$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+4(a+b+c)$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$ 

Mặt khác $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

                 a+b+c=0

Nên

A=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$

Đến đây giải tương tự bài 147

đoạn này biến đổi ntn?

Nhân tung dòng thứ 2 ra rồi chuyển vế thôi bạn ạ

146

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR

$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay 

145.Cho a,b,c>0 CMR

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$

 

38) Một xe máy đi từ $A$ đến $B$ trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm $14km/h$ thì đến sớm $2h$, nếu vận tốc giảm $4km/h$ thì đến muộn $1h$. Tính vận tốc và thời gian dự định.

Gọi vân tốc ban đầu của xe máy là x km/h (x>4)

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường AB là y (h) (y>2)

Nên chiều dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu tăng vt thêm 14 km thì đến sớm 2h

Giảm vt đi 4 km thì đến muôn 1 h ta có hpt

$\left\{\begin{matrix}(x+14)(y-2)=xy & & \\ (x-4)(y+1)=xy & & \end{matrix}\right.$

Nhân ra ta triệt tiêu được xy giải hpt ta tìm đuợc x

Dễ thấy nếu a không phải là số chính phương thì  $\sqrt{a}$ vô tỉ

Ta có sqrt{m^{2}+m+23}$ hữu tỉ

nên

$m^{2}+m+23=k^{2}(k\epsilon Z )$

$\Leftrightarrow 4m^{2}+4m+1+91=(2k)^{2}$

$\Leftrightarrow (2m+1)^{2}-(2k)^{2}=-91$

$\Leftrightarrow (2m-2k+1)(2m+2k+1)=-91$

Đến đây để rồi giải pt nghiệm nguyên

45) Tìm $x$ biết $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5$

Ta có 
$x^{2}+\frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$

$\Leftrightarrow (x-\frac{2x}{x+2})^{2}+2\frac{2x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$

$\Leftrightarrow (\frac{2x^{2}}{x+2})^{2}-2\frac{2x^{2}}{x+2}=5$

Đặt $\frac{2x^{2}}{x+2}=a$

Thay lại giải pt bậc 2 rồi tìm ra x

44) Tam giác $ABC$ có $\widehat{B}=60^o$; $BC=8cm$; $AB+AC=12cm$. Tính $AB$

kẻ đường cao AH ta có

$AB=2BH(\widehat{B}=60^{\circ})$

Dat BH =x suy ra AB=2x
CH=8-x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

$AB^{2}-BH^{2}=AH^{2}=CH^{2}-AC^{2}$
$\Leftrightarrow 4x^{2}-x^{2}=(12-2x)^{2}-(8-x)^{2}$

Đến đây giải phương trình bậc 2 ẩn x rồi nhân 2 tìm ra AB

42.

c) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1  &  & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1  &  &  \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{y}=\sqrt{y+1}+\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Dễ thấy
$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y}+1}< \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$
Suy ra x=y
Thay lại vào pt ban đầu dễ dàng tìm ra x,y

Giải thích giúp mình ở phép nhân 7 với 13, đồng dư cũng nhân đc?

 

đoạn này mình làm tắt (mặc dù vẫn sai vì ) 7*13=91

$P_{13}=1(mod7)\Rightarrow P=7m+1$\

$P_{13}\equiv 1(mod13)\Rightarrow P_{13}=13n+1$

Nên 7m+1=13n+1

suy ra , chia hết 13

nên m=13k

Nên $P_{13}=91k+1$ (đoạn này bị lạc đề) 

14)
Làm tiếp

$(m+1)(y+1)^{2}-2(m+2)(y+1)+2(m+1)=0$

$\Leftrightarrow (m+1)y^2-2y+m-1=0$

Có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0 thì tính sao. 

Chả có nhẽ $\Delta$ 4 trường hợp.

Chia làm 2 TH

TH1 Pt 1 có 2 nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta _{y}\geq 0 & & \\ S\geq 0 & & \\ P\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2\geq m^{2} & & \\ 2> 0 & & \\ m^{2}-1\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2}\geq m\geq 1 & & \\ \ -\sqrt{2}\leq m\leq -1 & & \end{matrix}\right.$

TH2 có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta > 0 & & \\ m^{2}-1\leq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

vậy để mình chém thay cho

Đặt x-1=y

Đề bài chuyển hướng thành tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm không âm

mặt khác x-1=y nên x=y+1

Thay vào pt ta có

$(m+1)(y+1)^{2}-2(m+2)(y+1)+2(m+1)=0$

Phá ra thì đây đã là bài toán quen thuộc

Giải pt:

65) $x^4+\sqrt{x^2+2}=2$

 

65.$x^{4}+\sqrt{x^{2}+2}=2$

$\Leftrightarrow$$x^{4}=-\sqrt{x^{2}+2}+2 \Leftrightarrow x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+2-\sqrt{x^2+2}+\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+2}-\frac{1}{2})^{2}$
tới đây dễ rồi

$2$ lần phương trình $(1)$ trừ pt $(2)$, ta được:

sao bạn biết nhân 2 lan pt 2 rồi trừ đi pt 1 hả bạn?

Từ  $x \in [-1;1]$ sao lại suy ra được phần đỏ?

vì x;y không âm nên suy ra x;y thuộc [0;1] mà bạn,cm ở trên ấy

Giải pt:

64) $\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

$\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt{2-x^3}=0$

Đặt $\sqrt[3]{x^2-2}=a\rightarrow x^{2}=a^{3}+2$ (1)

Mà từ pt ban đầu ta suy ra $\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$
$\Leftrightarrow a^{2}=2-x^{3}$ (2)
Đến đây từ 1 và 2 giải hệ phương trình đối xứng loại 2 với 2 ẩn a và -x thi ta được a=-x từ đó suy ra $-x=\sqrt[3]{x^{2}-2}\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-2=0$ 

Giải pt:

66) $\frac{2013x^4+x^4\sqrt{x^2+2013}+x^2}{2012}=2013$

Thôi chém nốt bài 66 
pt $\Leftrightarrow 2013x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}+x^{2}=2013.2012$

$\Leftrightarrow x^{2}+2013+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}=2013^{2}-2013x^{4}$

$\Leftrightarrow x^{2}+2013+x^{4}\sqrt{x^{2}+2013}+\frac{x^{8}}{4}=\frac{x^{8}}{4}+2013^{2}-2013x^{4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2013}+\frac{x^{4}}{2})^{2}=(\frac{x^{4}}{2}-2013)^{2}$
Đến đây giải tương tự câu 65