110 năm đã qua kể từ khi Poincare (P) viết tập kỉ yếu " Analysis Situs " (AS , 1894) . Topo , dưới cái tên AS , đã xuất hiện như là một lĩnh vực mới của toán học .
Tôi công bố công trình đầu tiên năm 1959 . Từ những năm 1970 , tôi làm việc trong vật lý toán và các lĩnh vực toán học khác . Tuy vậy , tôi vẫn tự thấy mình là một nhà topo học nguyên sơ . Trong cuộc đời mình , tôi đã nghe nhiều câu truyện lãng mạn về các công trình của P và các tiền bối của ông , chúng một phần dựa trên các câu chuyện truyền khẩu giữa các nhà topo .
Nếu không trích dẫn gì hơn , tôi luôn tham khảo cuốn bách khoa [14] và bài báo lịch sử gần đây [15]
Tôi sẽ cố gắng trả lời hai câu hỏi
1) P đã làm những gì trong các công trình của ông ?
Cho phép tôi dẫn ra danh sách tất cả các công trình topo của P : [1-11] .
Công trình [12] là nguồn gôc của cái mà ngày nay gọi là topo symplectic . Một cách chính xác , đó không phải là công trình về topo .
Công trình [13] về các đường trắc địa đóng không tự cắt trên biên một phần lồi trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 sẽ được nhắc đến sau . Việc giải nó dẫn đến cái ngày nay gọi là lý thuyết Morse ( xem [21]).
2)Các ý tưởng của ông đã ảnh hưởng đến các công trình topo trong thế kỉ 20 như thế nào ?
Ý kiến của tôi đã được trình bày chi tiết hơn trong [15] , bao gồm các tên tuổi lớn trong thời kì 1955-1970 .
.Người HL cổ đại , nút , Alexander đại đế :
Người HL cổ đại đã quan sát một vài tính chất topo khác nhau giữa các nút . Họ đã đặt một bài toán nút cho Alexander đại đế . Vị Hoàng đế đã tuốt kiếm và tháo nút theo cách riêng của ông . Không thật chắc chắn mọi sinh vật trên đời được quyết định bởi các chuỗi xoắn DNA . Nhưng nếu khác đi , chúng ta không thể ra đời .
.Euler: hai quan sát topo
Một cách vô tình , E là nhà toán học nghiên cứu topo đầu tiên . Đó chỉ là các chò chơi , không có mục đích ứng dụng. Hai quan sát sau được cho là của ông :
+Đẳng thức giữa các đỉnh (V) , các mặt (F) , các cạnh (E) của 1 đa diện lồi:
Theo P ( xem [3] ) thì một số ì sĩ quan hải quân ì Pháp đã mở rộng mối liên hệ này cho các diện không lồi ìcó các lỗ hổng ì
+Bài toán nhúng các đồ thị vào http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 : 3 ngôi nhà không thể nối với 3 cái giếng bằng các đường không cắt nhau .
. Gaus: Các đại lượng topo trong vật lý
Ông phát minh ra số liên kết cho các cặp đường cong đóng không cắt nhau http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{r_{1},r_{2}\}=\large\oint_{r_1}\oint_{r_2}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I=\int\int\int_{R^3}(v,curl http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?v)d^{3}x.
Quãng năm 1950 , J.H.C Whitehead mô tả cái gọi là bất biến Hopf cho các nhóm đồng luân của các mặt cầu dưới dạng tích phân Kelvin ( xem [14] ) .
Kelvin có ý muốn phân loại các nguyên tử thông qua topo của các nút ( và đó là ý tưởng hoàn toàn sai lầm ) . Học trò của ông là Tail bắt đầu nghiên cứu các nút vào cuối thế kỉ 19 . Một số quan sát của ông chỉ được chứng minh ở cuối những năm 1980 dựa trên những khám phá topo mới mẻ , chẳng hạn như đa thức Jones ( xem [19]) .
Cauchy và Riemann :
Giải tích phức và lý thuyết các diện Riemann chính là nguồn cảm hứng của P .
Betti:
Theo P thì Betti ( 1 nhà hoá học ) chính là người phát minh lý thuyết đồng điều .
Ta thấy rằng các nhà vật lý và hoá học rất yêu thích các tư tưởng topo trong những trường hợp đơn giản và không trừu tượng . Hình như ngày nay không như vậy ?
Ta biết rằng P đã xuất bản cả thảy 11 công trình về topo , trong đó công trình trung tâm là AS ( xem [3]). Ông coi Riemann và Betti là những người truyền cảm hứng cho công trình này . Riemann đã phát triển AS cho các diện Riemann còn Betti đã đề xuất khái niệm chu trình và đồng điều . Theo tôi biết thì Betti là một nhà hóa học , điều này giải thích thuật ngữ "đồng điều" .
Bây giờ , chúng ta tìm hiểu nội dung của AS :
-Không có bất kì ứng dụng nào được đưa ra . Ông chỉ nói một số ý tưởng trong này đã được ông sử dụng để xây dựng lý thuyết định tính của các hệ động lực . Ông tin tưởng các ý tưởng này sẽ có vai trò quan trọng đối với toán học trong tương lai .
Các vấn đề sau đã được tìm hiểu kĩ lưỡng trong AS :
1> ĐN các đa tạp
2> Các chu trình và đồng điều
3> Chỉ số tương giao và tính đối ngẫu .
4> Các dạng v.p và các chu trình .
5> Mở rộng Các đặc trương E cho các đa diện .
6> Nhóm cơ bản
7> Các đa tạp và các nhóm rời rạc
8> Các tiếp cận khác đối với đa tạp , đa diện .
ĐN đa tạp của P chính xác là các http://dientuvietnam...etex.cgi?C^1-đa tạp với phép nhúng không suy biến vào kg Euclide . P đã hiểu ý tưởng của việc định hướng và sử dụng chúng .
Như ta biết , những ý tưởng này không thể đem đến một nền móng cho lý thuyết topo của các đa tạp trong thời kì đó. Chỉ đến những năm 1930 , khi Whitney tìm ra tính chất cắt ngang và các công cụ phù hợp với các đa tạp khả vi thì một chương trình như thế mới được mở ra ( xem [14] ) . P đã bỏ rơi vấn đề này trong các công trình sau này của ông .
Betti đã đn các chu trình và các lớp đồng điều . Các chu trình là các tổ hợp tuyến tính các đa tạp con đóng với hệ số nguyên hoặc hữu tỉ . Sự tương đương đồng điều của các chu trình dựa trên các đa tạp con có biên . ĐN này là không đúng vì như ta biết , nó dựa trên các đối tượng không địa phương . Sau khi được nghiên cứu kĩ càng , nó dẫn đến lý thuyết các nhóm đồng biên và đối biên chứ không phải đồng điều . Lý thuyết đồng điều kì lạ này chỉ được tìm ra bởi Atiyah trong những năm đầu thập kỉ 60 . Lý thuyết đồng điều phi địa phương này rất rắc rối và phong phú một cách đáng ngạc nhiên ( xem [14] ). Chi tiết có thể xem bài báo [17] , trong đó tôi nhìn nhận các phương pháp AT theo quan điểm của lý thuyết đối biên . Cũng xin lưu ý là nó chỉ có thể xây dựng được sau khi topo đã trải qua thời kì huy hoàng (1935-1955 ) . Thom là người tìm ra mối liên hệ giữa các chu trình và các đa tạp con trong những năm đầu thập kỉ 50 . Các công trình của ông đã sử dụng những lĩnh vực mới nhất của AT . Không cách nào cm được các kết quả cơ bản của ông khi các đa tạp có chiều 5
Việc xây dựng chính xác đồng điều theo phương pháp tổ hợp địa phương chỉ xuất hiện ở các công trình sau . Vì vậy , ta có thể coi P là người tìm ra cái mà ngày nay ta gọi là đồng điều ( xem [18] , tập 3 ).
P đã thiết lập luật đối ngẫu cho các số Betti của đa tạp đóng định hướng : http://dientuvietnam...mimetex.cgi?C^1 – đẳng cấu thì số chiều của chúng dĩ nhiên là bằng nhau . Bài toán cơ bản của P đã được Brauer chứng minh năm 1913 bằng công cụ bậc của ánh xạ do chính ông tìm ra . Vào năm 1915 Alexander đã chứng minh tính bất biến đồng luân của đồng điều và đưa ra khái niệm kiểu đồng luân . Kêt quả này đâ được Eilenberg và những người thiết lập lý thuyết đồng điều kì dị xây dựng chặt chẽ vào những năm 1940 . Các phức ngăn cũng xuất hiện trong thời gian này . Thom đã sử dụng chúng và kỹ thuật cắt ngang để xây dựng chặt chẽ cái gọi là lý thuyết Morse trong những năm 1950 .
Tôi chia topo trong thế kỉ 20 thành các thời kì sau
I. Thời kì hậu P
Nhiều gương mặt nổi bật đã phát triển các ý tưởng của P . Những cái tên xuất sắc nhất đã xuất hiện ở phần trên . Cho phép tôi điền thêm H.Hofp vào danh sách đó . Ông đã khám phá nhiều tính chất đồng luân topo sâu sắc liên kết với các nhóm đồng luân mặt cầu trong những năm 1930 . Có thể nói , trong khoảng thời gian từ năm 1920 đến 1950 , ông là người khơi nguồn nhiều phương hướng cơ bản cho topo .
II. Thời kì huy hoàng ( 1935-1955 )
1. Lý thuyết các đa tạp trơn , bao gồm ý tưởng về tính chất cắt ngang và giải tích trên đa tạp đã được phát triển . Các phân thớ , các phép treo và các lớp đặc trưng đã được tìm ra .
2. Các lý thuyết về sự cản trở đông luân đã được xây dựng . Các lý thuyết đồng điều của các không gian , các bó và các phân thớ được phát triển đã dẫn đến các phương pháp đồng điều tuyệt vời như dãy khớp , dãy phổ , toán tử đối đồng điều và nhiềucông cụ khác ; Các lãnh vực dành cho tính toán các nhóm đồng luân của mặt cầu và của các không gian khác đã được xây dựng . Các nhóm đối biên thực sự được tính ; Đại số đồng điều và đại số Hofp được phát minh .
Cho phép tôi đưa ra một danh sách các tên tuổi gắn liền với thời kì này :
H.Whitney , H.Hofp , L.Pontryagin , S.Chern , N.Steenrod , J.H.C.Whitehead , S.Eilenberg , S.MacLane , J.Leray , J.P.Serre , H.Cartan , R.Thom , A.Borel .
J.Milnor và A.Grothendieck bắt đầu nghiên cứu topo vào thời điểm cuối cùng của thời kì này . Với những thành tựu mới mẻ và đẹp đẽ , họ là người mở đầu thời kì tiếp theo , đó là thời kì tôi nghiên cứu topo . Tên tuổi những diễn viên chính trong thời kì này sẽ không được nêu ra . Bạn đọc quan tâm có thể tìm trong các bài báo của tôi ( xem [14,15] ) .
III. Thành quả của thời kì huy hoàng (1955-1970 ) ; Sự giao thoa với các ngành toán học khác . ( xem [14,15,17-22,24-27] )
Trong thời kì này , nhiều bài toán cơ bản của topo đã được giải quyết . Các ứng dụng của topo vào những lĩnh vực toán học khác nhau đã được tìm ra . ( Những vấn đề mà tôi góp phần giải quyết sẽ được in nghiêng ) . Những vấn đề mà việc giải quyết cần đến những phương pháp đại số mới mẻ sẽ được đánh dấu (!) ở đầu . Những kết quả thu được ở cuối những năm 1960 mà chứng minh chưa được nhắc đến trong tác phẩm văn học này sẽ được đánh dấu (?) ở đầu .
1. Các đa tạp :
(!) Các cấu trúc khả vi không mẫu mực trên mặt cầu 7 chiều đã được tìm ra và với số chiều >4 thì chúng đã được phân loại ; Các đa tạp không trơn đã được tìm ra ; Đã biết sự xoắn của các lớp Pontryagin không phải là bất biến topo ; giả thuyết p và định lý h-đối biên đã được chứng minh khi n>4 ; (!) các phép chìm và nhúng đã được phân loại ; (!) Lý thuyết phân loại các đa tạp trơn nhiều chiều đã được xây dựng ; Đã biết được mối quan hệ giữa các đa tạp trơn với các đa tạp PL ; (!) Các chu kì của các lớp Pontryagin theo các chu trình đã được chứng minh là bất biến topo ; Cái gọi là giả thuyết Annulus đã được chứng minh ; (!)(?) Hauptvermutung (H) đã được chứng minh cho các đa tạp mà 3-đồng điều không có 2-xoắn ; (!)Đã xây dựng phản ví du của H , đầu tiên là cho các đa diện và sau đó là cho đa tạp ; Đã thu được một vài sự phân lớp các đa tạp topo khi n 3 .
Một số bài toán của topo 3 chiều và lý thuyết nút đã được giải quyết trong những năm 1960 . Ta nhắc lại rằng trong những năm 1980 , những con người này đã tìm được chương trình tính toán tuyệt vời dẫn tới lời giải cho bài toán 4 màu nổi tiếng ,
Sự tồn tại duy nhât 1 cấu trúc khả vi trên đa tạp 3 chiều được chứng minh bằng phương pháp khá cơ bản . Thành tựu của topo 3 chiều là đã tạo ra khả năng phát triển của lý thyết topo hyperbolic 3 chiều trong thập niên 1970 . Các kĩ thuật của topo vi phân đã được mở rộng trong những năm 1970 cho các đa tạp 4 chiều . Nó dẫn đến kết quả : nếu hai đa tạp đơn liên đồng luân với nhau thì chúng đồng phôi . Do đó , chỉ cần xây dựng các phép đồng phôi thuần túy mà thôi .
Việc phát hiện các cấu trúc khả vi khác nhau trên đa tạp 4 chiều trong những năm 1980 thuộc về một lĩnh vực topo mới . Đó là kết quả của sự giao thoa với lý thuyết trường lượng tử và lí thuyết định tính của các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến .
2. Các tính toán
Các nhóm đồng luân ổn định của các nhóm Lie cổ điển đa được tìm ra thông qua các phương pháp biến phân . (!) Bài toán bất biến Hofp đã được giải quyết ; (!) Việc không tồn tại các đại số chia được số chiều cao đã được chứng minh . (!) Các lí thuyết đồng điều kì lạ được phát minh : K-lý thuyết mang đến các yếu tố mới cho các phương pháp đồng điều ;(!) Lý thuyết đối biên đã được phát triển , nó cải tiến các phương pháp để tính các nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu và điểm các bất động của các nhóm compact tác động trên đa tạp . H-không gian hữu hạn chiều không tầm thường đã được tìm ra .
3. Sự giao thoa với các lĩnh vự toán học khác :
(!) Phép chứng minh định lý Riemann-Roch của hình học đại số trong những năm 1950 có thể coi như một ứng dụng của lý thuyết đối biên . Một cách tiếp cận hoàn toàn mới dẫn tới cái gọi là K-lý thyết ; (!) Định lý chỉ số cho các toán tử PD elliptic được chứng minh dựa trên lý thyết đối biên và K-lý thuyết ; Một cuộc cách mạng về lý thuyết topo của các hệ động lực nhiều chiều đã được các nhà topo học phát minh . Các bài toán quan trọng về số đối chiều của sự phân lá được giải quyết , bao gồm cả chứng minh sự tồn tại các lá compact trên mặt cầu 3 chiều ; một số lãnh vực mới của đại số được tạo ra như K-lý thuyết đại số , lý thuyết các đại số Hofp …
IV. Sự suy thoái của topo số chiều cao trong những năm 1970 và topo hyperbolic 3 chiều ; khám phá ra những hiện tượng topo có thể quan sát được trong vật lý .
V. Topo dần khôi phục phong độ ; Các nhà vật lý xâm nhập vào các lĩnh vực topo ( 1980-2000 )
VI. Các ý tưởng mới :
Đó là việc giải quyết các bài toán topo 3 chiều bằng phương pháp giải tích ? Ở thời điểm này , chúng ta không thể có câu trả lời !
Note(*) : H là một giả thuyết như sau : Bất kì hai phép phân hoạch tam giác của một đa diện đều tương đương tổ hợp với nhau .
------------------------------------------
http://www.ulb.ac.be...sHP/Novikov.pdf
Nếu cần references thì xem trực tiếp trong nguyên bản . Mình không đưa link lên vì ban đầu mình ăn bớt đoạn prehistory và các câu liên quan đến references ( không muốn nói vì ngại mọi người mất hứng ) . Nay đành phải nhọc công , híc !