Cho tam giác ABC có AB=10, AC=4, góc A bằng 60. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=6, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE=x. Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

Cho tam giác ABC có AB=10, AC=4, góc A bằng 60. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=6, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE=x. Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

Trong các tứ giác lồi ABCD với AB=BC=CD=a. Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

Trong các tứ giác lồi ABCD với AB=BC=CD=a. Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp đường tròn (O;r) cho trước. Tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất

TÌm nghiệm nguyên < 1000 của phương trình: 

$x^3+x^2-xy-y^2=0$

Đặt $\left ( x,y,z \right )=\left ( \tan A, \tan B, \tan C \right )$ thì $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ x+y+z=xyz \end{matrix}\right.$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$

$x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \frac{1}{3^{4}}\left ( x+y+z \right )^{5}$

 

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta thấy

$x+y+z=xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$

$\Rightarrow x+y+z\geq 3\sqrt{3}$

 

Do đó $x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \left ( \frac{3\sqrt{3}}{3} \right )^{4}\left ( x+y+z \right )=9\left ( x+y+z \right )$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\pi /3$

Bạn có thể viết rõ chỗ sử dụng bất đẳng thức  Holer được không. Nếu đk thì cm hộ mình vs

Cho tam giác nhọn ABC, tìm GTNN của $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+tanC}$

Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$

Tìm GTLN,GTNN của hàm số: $y=\sqrt{cos2x-4cosx+5}+\sqrt{cos2x+12cosx+27}$

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

Trong các nghiệm (x,y) của bất phương trình: $5x^2+5y^2-5x-15y+8\leqslant 0$. Hãy tìm nghiệm có tổng x+3y nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC, P thuộc miền trong của tam giác. Gọi K,M,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên BC,CA,AB. Xác định P sao cho tổng $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$

Cho tam giác ABC(a,b,c) ngoại tiếp đường tròn (O;r) cho trước. Tìm min a+b+c

Cho các số x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=(xy+yz+2xz)^2- \frac{8}{(x+y+z)^2-xy-yz+2}$

Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$

$P=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{\left ( x^2y^2+1 \right )^2}{x^2y^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2y^2+1}{xy}\geq \frac{17}{4}$ (1)

Thật vậy ta có (1) $\Leftrightarrow x^2y^2-\frac{17}{4}xy+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy\geq 4& \\ xy\leq \frac{1}{4}& \end{bmatrix}$

Mặt khác $1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Từ đó chứng minh được (1)

Suy ra $P\geq \left (\frac{17}{4} \right )^2$

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn

Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sum x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn$a+b+c=3$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$

Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}$

  Cho tam giác ABC, P thuộc miền trong của tam giác. Gọi K,M,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên BC,CA,AB. Xác định P sao cho tổng $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$ nhỏ nhất

Cho hai số thực dương a,b có $a\geq 3;2a+3b\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(-2;-5), B(-4;5) và đường thẳng d: x-2y+3 = 0

1. Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất

2. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB là nhỏ nhất