Giải

ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
 

Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$

Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$

Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$

Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$ 

$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$

Do $- \pi < \alpha < 0 \Rightarrow \sin{\alpha} < 0 \Rightarrow \cos{\alpha} < 0$ vì $\tan{\alpha} > 0$

Ta có:
$\cos^2{\alpha} = \dfrac{1}{1 + \tan^2{\alpha}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \cos{\alpha} = \dfrac{-2}{\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \sin{\alpha} = \dfrac{-1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cot{\alpha} = 2$

Giải

ĐK: $x \leq 4; y \leq \dfrac{3}{2}; x \geq \dfrac{8y}{7}$ và $x \geq \dfrac{9y}{7}$

Đặt $\sqrt{4 - x} = a; \sqrt{3 – 2y} = b \, (a, b \geq 0)$

Phương trình (1) của hệ tương đương:
$(2000 + 3a^2)a - (2000 + 3b^2)b = 0 \Leftrightarrow 3(a^3 - b^3) + 2000(a - b) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left [3(a^2 + ab + b^2) + 2000\right ] = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow 2y = x - 1$

Thế $2y = x - 1$ vào phương trình (2) của hệ, ta được:
$$2\sqrt{3x + 4} + 3\sqrt{5x + 9} = x^2 + 6x + 13$$

Với điều kiện $x \geq \dfrac{-4}{3}$, phương trình trên tương đương:

$x^2 + x + 2\left (x + 2 - \sqrt{3x + 4}\right ) + 3\left (x + 3 - \sqrt{5x + 9}\right ) = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + x + \dfrac{2(x^2 + x)}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3(x^2 + x)}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 + x)\left ( 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}}\right ) = 0$

Do $x \geq \dfrac{-4}{3} \Rightarrow 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} > 0$

Vậy $x^2 + x = 0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-1}{2}\\x = -1 \Rightarrow y = -1\end{matrix}\right.$

Giải

ĐK: $xy \geq 0$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$xy^2 + 2y^2\sqrt{2xy} + 2y^3 + \sqrt[3]{y + 8} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow y(xy + 2y\sqrt{xy} + 2y^2) + \dfrac{y}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4} = 0$

$\Leftrightarrow y \left [ (\sqrt{xy} + \sqrt{2}y)^2 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4}\right ] = 0$

$\Leftrightarrow y = 0$

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
$x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^3 = (x - 2)^3 \Rightarrow x = \dfrac{2}{1 - \sqrt[3]{2}}$

Giải

Ta có: $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 2} = x + 3 + \dfrac{7}{x - 2}$

Đặt $A\left (a; a + 3 + \dfrac{7}{a - 2} \right )$ và $ B\left (b; b + 3 + \dfrac{7}{b - 2} \right )$

Khi đó, để A, B đối xứng với nhau qua d thì: $\left\{\begin{matrix}AB \perp d\\d_{(A; (d))} = d_{(B; (d))}\end{matrix}\right.$

Hệ số góc của AB là:
$k_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{b - a + \dfrac{7}{b - 2} - \dfrac{7}{a - 2}}{b - a} = 1 - \dfrac{7}{(a - 2)(b - 2)}$

Khi đó, để $AB \perp (d)$ thì: $k_(d).k_{AB} = -1 \Rightarrow k_{AB} = -1 \Rightarrow \dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}$

Ta có:

$d_{A; (d)} = \dfrac{\left | a + 1 - (a + 3 + \dfrac{7}{a - 2})\right |}{\sqrt{2}} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right |}{\sqrt{2}}$

Tương tự: $d_{B; (d)} = \dfrac{\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right |}{\sqrt{2}}$

Vậy:
$ d_{A; (d)} = d_{B; (d)} \Leftrightarrow \left | 2 + \dfrac{7}{a - 2}\right | =\left | 2 + \dfrac{7}{b - 2}\right | $

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}2 + \dfrac{7}{a - 2} = 2 + \dfrac{7}{b - 2}\\2 + \dfrac{7}{a - 2} = - 2 - \dfrac{7}{b - 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = b\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$

Vì A, B phân biệt nên $a \neq b$. Vậy, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{(a - 2)(b - 2)} = \dfrac{2}{7}\\\dfrac{1}{a - 2} + \dfrac{1}{b - 2} = \dfrac{-4}{7}\end{matrix}\right.$

Hệ vô nghiệm.

Giải

a) ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 0$

Với điều kiện trên, phương trình (2) tương đương: $\sqrt{y} = x - 1$

Thế vào phương trình (1), ta được:
$\sqrt{x - 1} - (x - 1) = 8 - x^3$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1}(1 - \sqrt{x - 1}) = 8 - x^3$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1}\dfrac{2 - x}{1 + \sqrt{x - 1}} = (2 - x)(4 + 2x + x^2)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2\\\dfrac{\sqrt{x - 1}}{1 + \sqrt{x - 1}} = x^2 + 2x + 4 \, (3)\end{matrix}\right.$

Nhận thấy, phương trình (3) có: $VT < 1 < 3 + (x + 1)^2 = VF$.

Vậy ta chỉ nhận $x = 2 \Rightarrow y = 1$

Giải

ĐK: $x \neq 0$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$(xy + 2)^2 - 2\dfrac{1}{x}(xy + 2) + \dfrac{1}{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left (xy + 2 - \dfrac{1}{x} \right )^2 = 0 \Rightarrow xy + 2 = \dfrac{1}{x}$

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có:
$\left ( \dfrac{1}{x^2} - 1 \right )^3 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} = \left ( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x}\right )^3$

Đặt $a = \dfrac{1}{x} \Rightarrow  (a^2 - 1)^3 + a - \dfrac{1}{2} = (a^2 - 2a)^3$

$\Leftrightarrow \left [(a^2 - 1)^3 - (a^2 - 2a)^3 \right ] + \dfrac{2a - 1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow (2a - 1)\left [ (a^2 - 1)^2 + (a^2 - 1)(a^2 - 2a) + (a^2 - 2a)^2 + \dfrac{1}{2}\right ] = 0$

$\Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{-3}{4}$

Giải

Giải phương trình:
$\sin{x} + 2 = 2\cos{x}\cos{(2x - \dfrac{\pi}{6})} + 4\sin^2{x}$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin{x} + 2(1 - 2\sin^2{x}) = 2\cos{x}\cos{(2x - \dfrac{\pi}{6})}$

$\Leftrightarrow \sin{x} + 2\cos{2x} = 2\cos{x}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}\sin{2x} \right )$

$\Leftrightarrow \sin{x} + 2\cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x}\cos{2x} + 2\sin{x}\cos^2{x}$

$\Leftrightarrow 2\cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x}\cos{2x} + \sin{x}\left (  2\cos^2{x} - 1\right )$

$\Leftrightarrow \cos{2x}\left ( \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} - 2 \right ) = 0$

- Nếu $\cos{2x} = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \, (k \in \mathbb{Z})$

- Nếu $\sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} + \frac{1}{2}\sin{x} = 1$

$\Leftrightarrow \sin{\left ( x + \frac{\pi}{3} \right )} = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \, (k \in \mathbb{Z})$

Giải

Giải

Giải

Giải

ĐK: $x, y \neq 0$

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix} x^2 - 3xy = 4y & & \\ y^2 - 3xy = 4x& & \end{matrix}\right.$

Lấy hai phương trình trừ cho nhau vế theo vế, ta được:
$x^2 - y^2 = 4y - 4x \Leftrightarrow (x - y)(x + y + 4) = 0$

- Với x = y, hệ tương đương: $\left\{\begin{matrix} x - 3x = 4 & & \\ x = y & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = y = -2$

- Với x + y = - 4, hệ tương đương: $\left\{\begin{matrix} x^2 - 3x.(-4 - x) = 4(- 4 - x)& & \\ x = - 4 - y & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = y = -2$

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; -2)

Giải

Chú ý bất đẳng thức:

$0 < \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} \leq \dfrac{3}{2}$

Ta có:
$P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}} + \cot^2{\dfrac{A}{2}} + \cot^2{\dfrac{B}{2}} + \cot^2{\dfrac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow P = \sin{\dfrac{A}{2}} + \sin{\dfrac{B}{2}} + \sin{\dfrac{C}{2}}$ + $\dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{C}{2}}} - 3$

Do A, B, C là số đo 3 góc của 1 tam giác nên ta luôn có $\sin\dfrac{A}{2}, \sin\dfrac{B}{2},\sin\dfrac{C}{2} > 0$
Nhận thấy:

$8\sin\dfrac{A}{2} + 8\sin\dfrac{A}{2} + \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{A}{2}} \geq 3\sqrt[3]{64} = 12$

Do đó:
$P \geq 3.12 - 3 - 15(\sin\dfrac{A}{2} + \sin\dfrac{B}{2} + \sin\dfrac{C}{2}) \geq \dfrac{21}{2}$

Vậy $Min_P = \dfrac{21}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$

Giải

Bài 1. Điều cần chứng minh vô lý khi $(a; b; c) = (0; 0; 0); (0; 1; -1)...$

Bài 2.

Theo định lý Viét, ta có:

• $x_1 + x_2 = 2m \, (1)$
• $x_1.x_2 = 2010.2011 \, (2)$

Giả sử phương trình đó có nghiệm nguyên.

- Vì $m \in Z$ nên từ (1), suy ra: $x_1$ và $x_2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. (Nói đúng hơn là cùng có dạng 2k hoặc 2k + 1).

- Mặt khác: $x_1.x_2 = 2010.2011$ nên suy ra, hai nghiệm này cùng chẵn.

Vì vậy: $x_1.x_2 $ $\vdots$ $4$. Mà $2011.2010$ $\not \vdots$ $4$.

Vậy, điều giả sử là sai. Tức là phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.

Bài 3.

a) $x = -2 \pm \sqrt{7}$

b) Xét biệt thức $\Delta' = (m + 1)^2 - (m - 4) = m^2 + m + 5 = (m + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{19}{4} > 0$ $\forall m \in R$

Vậy, phương trình có nghiệm với mọi m.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{CP}{CD} = \dfrac{1}{3}$

Giải