Câu 1 : Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 

                    Chứng minh : $\frac{1}{ac}$ + $\frac{1}{bc}\geq$ 16

Câu 2 : cho a,b,c là các số thực dương 

                    Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+2012}{b+2012}+\frac{b+2012}{c+2012}+\frac{c+2012}{a+2012}$

Cho 2 số tự nhiên x và y (x, y khác 0) thỏa mãn điều kiện : 2$x^{2}+x =3y^{2}+y$

Chứng minh rằng x-y và 3x+3y+1 đều là các số chính phương      

Cho tứ giác ABCD  nội tiếp đường tròn (O) . Các cạnh đối AB và CD kéo dài cắt nhau tại E, các cạnh đối AD và CB cắt nhau tại F. Phân giác trong của góc DFC cắt AB tại P, cắt CD tại Q

   a, Chứng minh PE = QE

   b, Chứng minh $EF^{2}= FA.FD+EA.EB$

cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) , Các cạnh đối AB và CD kéo dài cắt nhau tại E, các cạnh đối AD và CB cắt nhau tại F. Phân giác trong của góc DFC cắt AB tại P, cắt CD tại Q

     a, chứng minh PE=QE

     b, chứng minh $EF^{2}= FA.FD + EA.EB$    

giải hệ phương trình

     $x^{3}+3xy^{2}=-49$

và$x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x$

Câu 1: Cho một góc nhọn và A là một điểm nằm trong góc đó. Hãy dựng một tam giác ABC có chu vi bé nhất mà các đỉnh B, C tương ứng nằm trên 2 cạnh của góc đó

Câu 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ Bc. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng AC)

                  a, C/m 2 tam giác MBC và MHK đồng dạng

                  b, Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất

Câu 3: Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm P được chọn bất kì trong hình bình hành đó không vượt quá bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 4: chứng minh một tam giác có diện tích bằng 1 không thể chứa trong một hình bình hành có diện tích nhỏ hơn 2

Câu 1: Từ điểm A ở ngoài đường tròn ( O;R ) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O), ( B, C là các tiếp điểm ), kẻ cát tuyến AMN và gọi E là trung điểm của MN. Tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Hãy xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AFN có giá trị lớn nhất. Tính theo R giá trị lớn nhất đó

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a, AB=c, AC=b nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ điểm P trên cung BC không chứa điểm A hạ PK vuông góc với BC, PL vuông góc với AC, Pm vuông góc với AB. Đặt PK=x, PL=y, PM=z. Khi P chuyển động trên cung BC, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S=$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$

Câu 3: Cho BC là dây cố định của đường tròn tâm O bán kính R ( BC < 2R ). A là một điểm di chuyển trên cung BC. M là điểm trên dây AC sao cho AC=3AM. Vẽ MN vuông góc với AB ( N $\epsilon$ AB ). Xác định vị trí của A để độ dài CN lớn nhất

Câu 4: GỌi H là hình chiếu đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD

             a, Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. C/m MO=$\frac{1}{2}$ IC

             b, Tính số đo góc BMK

             c, Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất

mọi người ơi!!!!! giúp mình với       

Câu 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H

                  a, C/m: AE // BH

                  b, Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt  CE tại I. Tính diện tích $\Delta FID$ trong trường hợp tam giác đó đều? ( Với $sin 15^{\circ} \approx 0,2588$ )

                  c, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AF và BH. Xác định ví trí của C để tổng các khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất

Câu 2: Trên 3 cạnh  AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k$. Tìm k để $S\Delta MNP=\frac{5}{8}S\Delta ABC$

Câu 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H

                  a, C/m: AE // BH

                  b, Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt  CE tại I. Tính diện tích $\Delta FID$  trong trường hợp tam giác đó đều ? ( Với $sin 15^{\circ}\approx 0,2588$ )Δtrong trường hợp tam giác đó đều? ( Với sin15∘≈0,2588

                  c, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AF và BH. Xác định ví trí của C để tổng các khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất

Câu 2: Trên 3 cạnh  AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k$. Tìm k để $S \Delta MNP = \frac{5}{8} S\Delta ABC$

câu 1 : a, Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn 6x+5y+18=2xy

            b, Cho biểu thức A= $\frac{a^{3}}{24}+\frac{a^{2}}{8}+\frac{a}{12}$ với a là số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên

câu 2: chứng minh rằng $\frac{87}{89}< \frac{1}{2can1}+\frac{1}{3can2}+....+\frac{1}{2011can2010}< \frac{88}{45}$

câu 1 : a,Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

            b, Cho 3 số thực x,y,z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$

                          Chứng minh rằng : (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$ 1

câu 2 : cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P

                     Chứng minh : $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

câu 3 : cho a, b, c là 3 số thực dương.

                      Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$

câu 4 : cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB=c; BC=a; CA=b, Các góc của tam giác đó thỏa mãn: $\widehat{C}=2\widehat{A}+\widehat{B}$. Chứng minh rằng : $c^{2}< 2a^{2}+b^{2}$

@Viet Hoang 99: Chú ý tiêu đề

bài 1 :

bạn ns rõ hơn về BĐT bunhiacopxki hơn dc ko

ai làm giúp câu 2 với

câu 1 : Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+1}=x^{3}-15x^{2}+75x-131$

câu 2 : Cho phương trình : $2x^{2}-x-2=0$ có các nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình hãy thực hiện: 

             a, Tính giá trị của biểu thức: A= $\frac{x1^{2}}{x2+1}+\frac{x2^{2}}{x1+1}$

             b, Lập một phương trình bậc 2 theo y có 2 nghiệm là

                             $y1=x1+\frac{2}{x2}; y2=x2+\frac{2}{x1}$

câu 3 : a, Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn:

                         $(x-2006)^{2}= y(y+1)(y+2)(y+3)$

           b, Giải hệ phương trình x+y+z=6

                                          và   xy+yz-zx=7

                                         và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$

câu 4 : a, Giải phương trình : $\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}= \sqrt{x^{2}-8x+24}$

            b, Giải hệ phương trình : $x+y +\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}$                   

                                             và   $xy + \frac{1}{xy}=\frac{5}{2}$

a, Theo BĐT Bunhiacopxki: $(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x})^2\leq 2.4\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\leq \sqrt{8}$

$\sqrt{x^2-8x+24}=\sqrt{(x-4)^2+8}\geq \sqrt{8}$. Dâu bằng xảy ra khi x=4

bạn làm rõ hơn ở chỗ BĐT Bunhiacopxki dc ko ????

câu 1 : tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho $(x-1)(x^{3}+1)$ biết p(x) chia cho (x-1) thì dư 1 và chia cho $(x^{3}+1)$ thì dư $x^{2}+x+1$

câu 2 : Cho hình bình hành ABCD và n đường thẳng, với n=4k+1 ( k nguyên dương ), mỗi đường thẳng đó chia hình bình hành ABCD thành 2 hình thang có tỉ số diện tích bằng m ( m là số dương cho trước ). Chứng minh rằng có ít nhất k+1 đường thẳng trong số n đường thẳng nói trên đồng quy với nhau ( hình bình hành cũng được xem như là hình thang) 

câu 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung Bc không chứa điểm A ( M không trùng với B và C ). Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB 

                a, C/m 3 điểm A', B', C' thẳng hàng

                b, C/m rằng : $\frac{BC}{MA'}=\frac{CA}{MB'}+\frac{AB}{MC'}$

câu 2 : Cho tam giác cân ABC ( AB=AC; $\widehat{A}< 90^{\circ}$) , một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M ($M \neq B; C$). Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH

              a, Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK

              b, Chứng minh PQ song song với BC

              c, Gọi ( O1)và (O2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp $\Delta MPK và \Delta MQH$ . Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2)

              d, Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1), (O2). Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng

câu 3 : Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm M, N, P

               a, Xét trường hợp AB<AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN. Chứng minh AD vuông góc với DC

               b, Gọi ( T) là tam giác có các đỉnh M, N, P. Xét trường hợp ( T) đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Hãy tính k

câu 4 : Cho hình bình hành ABCD . Trên cạnh AB lấy 2 điểm E và F ( E ở gần A hơn ). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPF cắt nhau tạị điểm thứ hai Q. C/m PQ song song với AD

câu 5 : Trong tam giác ABC, các điểm D, E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho$\widehat{BFD}=\widehat{AFE}, \widehat{BDF}=\widehat{CDE},\widehat{CED}=\widehat{AEF}$

              a, C/m $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$

              b, Cho AB=5, BC= 8, CA=7. Tính độ dài đoạn DB

Bài 3 :Theo Cauchy-Swtach có:$(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}})^2\leq 3.\sum \frac{a}{b+c+2a}=3.\sum \frac{a}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{3}{4}.(\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{a}{a+c})=\frac{3}{4}.(\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b})=\frac{3}{4}.3=\frac{9}{4}= > \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\leq \frac{3}{2}$

có cách giải khác ko bạn, vì mình chưa học BĐT này

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê 

bạn ns ai zậy, ko hiểu ko bx ko liên quan

 

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{ S₁+S₂+S₃ }{ S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê   Ai chỉnh lại zùm cái, lỗi rồi

 

bạn ghi như zậy thì ai hiểu mà sửa đc cơ chứ  

1a hay 1b??? ns rõ anh giải cho 

mình GIẾT, nhầm người rồi cha

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê 

thể theo nguyện vọng của mi đó

cho x >0, y>0 và $x+y\leq 1$. Chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}\geq 4$

áp dụng bđt schwars ta có

$\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}\geqslant \frac{4}{(x+y)^{2}}\geqslant 4$

thế dấu " = " xảy ra khi nào vậy??????