Câu 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H

                  a, C/m: AE // BH

                  b, Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt  CE tại I. Tính diện tích $\Delta FID$  trong trường hợp tam giác đó đều ? ( Với $sin 15^{\circ}\approx 0,2588$ )Δtrong trường hợp tam giác đó đều? ( Với sin15∘≈0,2588

                  c, Trên đoạn BH lấy điểm K sao cho HK = HD, gọi J là giao điểm của AF và BH. Xác định ví trí của C để tổng các khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất

Câu 2: Trên 3 cạnh  AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=k$. Tìm k để $S \Delta MNP = \frac{5}{8} S\Delta ABC$

Câu 1: Đặt ẩn $\frac{1}{x-1}=a$. $\frac{1}{y-2}=b$, $\frac{1}{z-3}=c$     với x khác 1, y khác 2, z khác 3

              Ta được hệ mới a+b+c=1

                                        $a^{2}-2bc=-1$

            Được (a,b,c)=(-1;1;1) nên (x.y.z)=(0;3;4)

Câu 2: Ta có $a^{2}(b+c)+b^2(c+a)+c^2(b+a)+2abc=0$

               hay (a+b)(b+c)(c+a)=0 thay các trường hợp vào phương trình thứ hai thì tương ứng với các trường hợp được c=1; a=1; b=1.  Thay lần lượt vào biểu thức cần cm thì ra

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê 

bạn ns ai zậy, ko hiểu ko bx ko liên quan

 

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{ S₁+S₂+S₃ }{ S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê   Ai chỉnh lại zùm cái, lỗi rồi

 

bạn ghi như zậy thì ai hiểu mà sửa đc cơ chứ  

1a hay 1b??? ns rõ anh giải cho 

mình GIẾT, nhầm người rồi cha

Bài 3 :Theo Cauchy-Swtach có:$(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}})^2\leq 3.\sum \frac{a}{b+c+2a}=3.\sum \frac{a}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{3}{4}.(\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{a}{a+c})=\frac{3}{4}.(\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b})=\frac{3}{4}.3=\frac{9}{4}= > \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\leq \frac{3}{2}$

có cách giải khác ko bạn, vì mình chưa học BĐT này

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê 

thể theo nguyện vọng của mi đó

bài 1 :

bạn ns rõ hơn về BĐT bunhiacopxki hơn dc ko

câu 1 : a,Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

            b, Cho 3 số thực x,y,z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$

                          Chứng minh rằng : (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$ 1

câu 2 : cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P

                     Chứng minh : $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

câu 3 : cho a, b, c là 3 số thực dương.

                      Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$

câu 4 : cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB=c; BC=a; CA=b, Các góc của tam giác đó thỏa mãn: $\widehat{C}=2\widehat{A}+\widehat{B}$. Chứng minh rằng : $c^{2}< 2a^{2}+b^{2}$

@Viet Hoang 99: Chú ý tiêu đề

Câu 1: 

$ 2 ^{10} + 5^{12} = 15657^2 - 1000^2$

Vì vậy nó là hợp số

bạn làm kĩ hơn được không??? mình không hiều

Bạn tách hằng đẳng thức ra. Đó là hợp số vì lúc đó nó có hai ước số khác 1 và khác chính nó nữa.

 

$ 15657 + 1000 = 16657 $

$ 15657 - 1000 = 14657 $

không phải, ý mình là từ đề bài làm sao để biến đổi thành $15657^{2}-1000^{2}$ í ??????

câu 1: chứng minh 2^10+5^12 là hợp số

câu 2 tìm x, y, z biết xyy1+4z=z^2

1/ Chứng minh: a) tổng các góc ngoài của 1 đa giác không phụ thuộc vào số cạnh của đa giác đó.

                          b) 1 đa giác có số đường chéo gấp 3 lần số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đó.

2/ Cho ngũ giác ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và góc ABC = 2 góc DBE. C/m tam giác ABC đều

3/ Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA. C/m tam giác MNR và tam giác NQS có cùng trọng tâm

4 TH luôn hả bạn?

2 trường hợp 7;1 vs 1; 7 thôi mà

 Ta có p; q nguyên dương nên p+q >0

xét 2 trường hợp

 +)     p-q=7

         p+q=1

     ta được p=4; q=-3 (loại)

+)      p-q=1

         p+q=7

     ta được p=4 ; q=3

vậy (p;q)=(4;3)

câu 1 : Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+1}=x^{3}-15x^{2}+75x-131$

câu 2 : Cho phương trình : $2x^{2}-x-2=0$ có các nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình hãy thực hiện: 

             a, Tính giá trị của biểu thức: A= $\frac{x1^{2}}{x2+1}+\frac{x2^{2}}{x1+1}$

             b, Lập một phương trình bậc 2 theo y có 2 nghiệm là

                             $y1=x1+\frac{2}{x2}; y2=x2+\frac{2}{x1}$

câu 3 : a, Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn:

                         $(x-2006)^{2}= y(y+1)(y+2)(y+3)$

           b, Giải hệ phương trình x+y+z=6

                                          và   xy+yz-zx=7

                                         và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$

câu 4 : a, Giải phương trình : $\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}= \sqrt{x^{2}-8x+24}$

            b, Giải hệ phương trình : $x+y +\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}$                   

                                             và   $xy + \frac{1}{xy}=\frac{5}{2}$

a, Theo BĐT Bunhiacopxki: $(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x})^2\leq 2.4\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\leq \sqrt{8}$

$\sqrt{x^2-8x+24}=\sqrt{(x-4)^2+8}\geq \sqrt{8}$. Dâu bằng xảy ra khi x=4

bạn làm rõ hơn ở chỗ BĐT Bunhiacopxki dc ko ????

ai làm giúp câu 2 với

1/ Cho $\Delta ABC$ nhọn, có 2 đường cao BE và CF. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên EF. C/m Sbpqc = S$\Delta BCE$ + S$\Delta BFC$

2/ Cho $\Delta ABC$ có CB là phân giác của $\widehat{ACD}$. Lấy M, N thuộc đoạn CB sao cho $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$. Chứng minh rằng $\widehat{BDM}= \widehat{CDN}$

3/ Cho $\Delta ABC$, trung tuyến AM. Gọi D là điểm trên đoạn BM. Kẻ đường thẳng qua M song song AD cắt AC tại E. C/m $\frac{S\Delta DEC}{S\Delta ABC}=\frac{1}{2}$

cho x >0, y>0 và $x+y\leq 1$. Chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}\geq 4$

câu 1 : a, Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn 6x+5y+18=2xy

            b, Cho biểu thức A= $\frac{a^{3}}{24}+\frac{a^{2}}{8}+\frac{a}{12}$ với a là số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên

câu 2: chứng minh rằng $\frac{87}{89}< \frac{1}{2can1}+\frac{1}{3can2}+....+\frac{1}{2011can2010}< \frac{88}{45}$

câu 1 : tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho $(x-1)(x^{3}+1)$ biết p(x) chia cho (x-1) thì dư 1 và chia cho $(x^{3}+1)$ thì dư $x^{2}+x+1$

câu 2 : Cho hình bình hành ABCD và n đường thẳng, với n=4k+1 ( k nguyên dương ), mỗi đường thẳng đó chia hình bình hành ABCD thành 2 hình thang có tỉ số diện tích bằng m ( m là số dương cho trước ). Chứng minh rằng có ít nhất k+1 đường thẳng trong số n đường thẳng nói trên đồng quy với nhau ( hình bình hành cũng được xem như là hình thang) 

a, Chứng tỏ rằng: $a^{3}-b^{3}+c^{3}+3abc= (a-b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc-ca)$ với mọi số thực a,b,c

b, Chứng minh nếu d,e,f là các số nguyên thỏa mãn $d=e\sqrt[3]{2}+f\sqrt[3]{4}=0$ thì d=e=f

c, Tìm các số hữu tỉ p,q,r để có đẳng thức $\frac{3-3\sqrt[3]{4}}{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}= p+q\sqrt[3]{2}+r\sqrt[3]{4}$

Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$

mọi người giúp bài này nữa luôn ạ 

   Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:

a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

áp dụng bđt schwars ta có

$\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}\geqslant \frac{4}{(x+y)^{2}}\geqslant 4$

thế dấu " = " xảy ra khi nào vậy??????