2/
*Chú ỷ rằng một số chính phương chia 8 dư 0;1 hoặc 4.
a. $ b^2 \equiv 0;4 (mod 8) <=> b \vdots 2 <=> abc \vdots 2 $
b. $ b^2 \equiv 1 (mod 8) & b^2-4ac \equiv 0;1;4 (mod 8) <=> 4ac \vdots 8 <=> ac \vdots 2 <=> abc \vdots 2$
*Một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
a. $ b^2 \equiv 0 (mod 3) <=> b \vdots 3 <=> abc \vdots 3 $
b. $ b^2 \equiv 1 (mod 3) & b^2-4ac \equiv 0;1 (mod 3) <=> 4ac \equiv 0;1 (mod 3)$
$ b^2 \equiv 1 (mod 3) & b^2+4ac \equiv 0;1 (mod 3) <=> 4ac \equiv 0;2 (mod 3)$
$\rightarrow 4ac \equiv 0 (mod 3) <=> ac \equiv 0 (mod 3) (do (3,4)=1) <=> abc\vdots 3$
*Một số chính phương chia 5 dư o;1 hoặc 4.
a.$b^2 \vdots 5 <=> abc \vdots 3$
b. $b^2 \equiv 1 (mod 5); b^2-4ac \equiv 0;1;4 (mod 5) <=> 4ac \equiv 1;0;2 (mod 5)$
$b^2+4ac \equiv 0;1;4 (mod 5) <=> 4ac \equiv 4;0;3$
Vậy $4ac \equiv 0 (mod 5) <=> abc \vdots 5$
* Do (2,3,5)=1 $=>abc \vdots (2.3.5=30)$

$\dfrac{x^{100}-1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)(x^{99}-x^{98}+...+x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^{99}-x^{98}+...+x-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)+x^2(x-1)+...+x^{98}(x-1)}{x-1}=1+x^2+x^4+...+x^{98}$
Vậy $x^{100}-1 \vdots (x-1)^2$
Suy ra $x^{100}$ chia $(x-1)^2$ dư 1.

$x^{100}-1=(x^{50}-1)(x^{50}+1)=(x^{25}-1)(x^{25}+1)(x^{50}+1)
=(x^{25}-1)(x+1)(x^{24}-x^{23}+...-x+1).(x+1)(x^{49}-x^{48}+...-x+1) \vdots (x+1)^2$
Vậy $x^{100}$ chia $(x+1)^2$ dư 1.

nhìn lại đề thi mới thấy sao lớp 9 mình dốt đến thế :L
01,cho các số thực a,b:CMR:
$(a^2+1)(b^2+1)$ $(a+1)(b+1)(ab+1)$
02,ch0 các số $1,2,,4,5,6,7,8,9$
chia các số này thành 3 tập .Xét tích các phần tử trong mỗi tập .Gọi A là tích lớn nhất CMR:
$A$ $71$

2, Có số 3 không anh? Nếu có thì:
Giả sử cả 3 tích này đều bé hơn 71 thì tích của cả chín số trên sẽ bé hơn $71^3$
Ta lại có: 1.2.3.4.5.6.7.8.9=(8.9)(2.5.7)(3.4.6)=72.70.72=72.(71+1).(71-1)=72.($71^2$-1)>72. $71^2$>$71^3$ (trái với điều ở trên)
Vậy: tích lớn nhất phải lớn hơn hoặc bằng 71.

Gọi vận tốc tàu khi nước lặn là a (km/h)
Theo đề bài: $\dfrac{80}{a+4}+\dfrac{80}{a-4}=8h30'=\dfrac{17}{2} (h)
<=> 80 (\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4})=\dfrac{17}{2}
<=> \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4}=\dfrac{17}{160} <=>\dfrac{2a}{a^2-4}=\dfrac{17}{160}
<=> 2a=\dfrac{17a^2-68}{160} <=> 320a=17a^2-68 <=> 17a^2-320a-68=0$
Tời đây giải pt bậc 2 để tìm a

Cách em hơi dở >"<...
$A=\dfrac{1}{5}(1+\dfrac{1}{3}+...)$
$=\dfrac{1}{5}[1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+(\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{15})+(\dfrac{1}{17}+...+\dfrac{1}{25})+(\dfrac{1}{27}+...+\dfrac{1}{35})+(\dfrac{1}{37}+...+\dfrac{1}{45})+...]$
$>\dfrac{1}{5}(1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+5.\dfrac{1}{15}+5.\dfrac{1}{25}+5.\dfrac{1}{35}+5.\dfrac{1}{45})$
$>\dfrac{1}{5}.(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9})=\dfrac{1}{5}.(\dfrac{31}{15}+\dfrac{16}{63})>\dfrac{1}{5}.(2+\dfrac{1}{4})=\dfrac{9}{20}$

3. $ n^2 $ chia 4 dư 0 hoặc 1.
Nên $ n^2+2002$ chia 4 dư 2 hoặc 3 (2002 chia 4 dư 2) ->không thể là số chính phương được.

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình trên.
Th1: x=0
=>q=0 (không thỏa mãn)
Th2: $x \neq 0$
=>$0 \vdots x$ => $x^4-px+q \vdots x$ => $q \vdots x$
Suy ra x=q hoặc x=1.
*Nếu x=1 thì p-q=1=>Có một số chẵn và một số lẻ. Chú ý rằng p,q nguyên tố, ta được p=3;q=2.
*Nếu x=q thì: $q^4-pq+q=0$
$=>q(q^3-p+1)=0 <=>q^3-p+1=0$ (do q nguyên tố, khác 0).
$=> p-q^3=1$ =>$p$ và $q^3$ khác tính chẵn lẻ. => p và q khác tính chẵn lẻ. Ta đc p=3;q=2 hoặc p=2;q=3.
Thử lại:không có trường hợp nào thỏa mãn.
*Kết luận: p=3;q=2;x=1.

Cho a,b là hai số kô âm. CMR:
$a^2 + b^2 \ge (a + b)\sqrt[{a + b}]{{a^a b^b }}$

Chia vế phải cho ab:
$(a + b) \dfrac{\sqrt[a + b]{a^a b^b }}{ab} = (a + b) \dfrac{\sqrt[a + b]{a^a b^b}}{\sqrt[a + b]{a^{a+b} b^{b+a}}} = (a+b) \sqrt[{a+b}]{\dfrac{1}{a^b.b^a}} \leq (a+b) . \dfrac{\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}}{a+b} = \dfrac{a^2+b^2}{ab}$ .
=> $ VP \leq \dfrac{a^2+b^2}{ab}.ab=a^2+b^2=VT$.

Lúc đầu có 2005 tấm xanh,0 tấm đỏ. Hiệu chia 4 dư 1.
Sau khi lật 4 tấm bất kì, giả sử trong đó có n tấm xanh và m tấm đỏ (n+m=4). thì số tấm đỏ sau đó tăng thêm n giảm m; số tấm xanh giảm n tăng thêm m. Hiệu của chúng so với trước đó là $x+n-m-(y-n+m)=x-y+2(n-m)$.
Ta có $n-m=n+m-2m=4-2m$ chẵn. => Hiệu số tấm xanh và số tấm đỏ sau và trước khi chuyển đổi có cùng dư khi chia cho 4 (chia 4 dư 1).
Nếu 2005 tấm đỏ, 0 tấm xanh thì hiệu là -2005 chia 4 dư 3 => Không thể thực hiện được.

Tìm x,y,z nguyên: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$.

98=2.7.7 chia hết cho 7.
Ta có: x nguyên.=>$x^3$ chia 7 dư -1;0;1.
$19x^3$ chia 7 dư 0 hoặc 2.
=> $19x^3-98y^2$ chia 7 dư 0 hoặc 2. Mà 1998 chia 7 dư 3.
=> Pt vô nghiệm nguyên.

Giải PT nghiệm nguyên : $3^{x}+4^{y}=5^{z}$

Do 4 chia 3 dư 1 nên $4^y \equiv 1 (mod 3) $=>$5^z \equiv 1 (mod 3)$
Ta có: $5^z \equiv 2^z (mod 3)$ nên $2^z \equiv 1 (mod 3)$. Mà $2 \equiv -1 (mod 3)$ nên ta có z chẵn. Đặt z=2a (a là một số tự nhiên).
=>$3^x=(5^a-2^y)(5^a+2^y)$.
Suy ra cả 2 số $5^a-2^y;5^a+2^y$ đều là lũy thừa của 3.
Nếu $5^a-2^y>1$ thì $5^a-2^y; 5^a+2^y$ phải đồng thời chia hết cho 3.
=>$(5^a-2^y)+(5^a+2^y)=2.5^a$ chia hết cho 3. Điều này không thỏa mãn do cả 2 và $5^a$ đều nguyên tố cùng nhau với 3 nên không thể chia hết cho 3 được.
=>$5^a-2^y=1$ và $5^a+2^y=3^k$
=>$2.5^a \equiv 2. (-1)^a \equiv 1 \equiv -2 (mod 3)$=>a phải là một số lẻ.
Ta có: $5^a$ tận cùng bằng 5. Suy ra $2^y$ phải tận cùng bằng 4.
=> y chia 4 dư 2 (chia hết cho 2). Đặt a=2p+1; y=2q
Ta có pt: $5^{2p+1}+2^{2q}=3^x$.
Nếu q=1 thì: $5^{2p+1}-4=1$ nên 2p+1=1=>p=0.=>a=1=>z=2;y=2 và x=2.
Nếu q>1 thì: $2^{2q}$ chia hết cho 8.
$5^{2p+1}=25^p.5 \equiv 5 (mod 8)$.
$3^x \equiv 0;3 (mod 8)$ mà $5^{2p+1}+2^{2q} \equiv 5 (mod 8)$ nên không thỏa mãn.
Vậy ta có duy nhất bộ (x;y;z)=(2;2;2) thỏa mãn.

Giải các phương trình sau :
1, $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\dfrac{1}{2^{2005}}$

2,$ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+3} $

2.$ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+3}= \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-(x^{3}+3x-3)}=0 \forall x$

1. $2008^{2008} \equiv 1(mod 3)$
$\Rightarrow 2008^{2008}+1 \equiv 2 (mod 3)$
Ta có $n^3+2006n=(n^3-n)+2007n=(n-1)n(n+1)+2007n \vdots 3 \forall n \in Z$
Vậy pt vô nghiệm nguyên

1)Một số khi chia cho 3 sẽ nhận 1 trong 3 số dư. Mà có 5 số => Có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 3.
+Nếu có 3 số cùng dư trở lên thì lấy 3 trong số các số đó cộng lại sẽ được tổng chia hết cho 3.
+Nếu chỉ có 2 số có cùng số dư thì chia 5 số thành 3 cặp: $(a_1,a_2);(a_3,a_4);a_5$. Trong đó các số cùng cặp sẽ có cùng số dư khi chia cho 3.Các cặp này phải lần lượt nhận các số dư khác nhau khi chia cho 3. Chọn một số bất kì từ mỗi cặp và cộng lại sẽ được tổng chia hết cho 3 (do tổng 3 số dư chia hết cho 3)
2)Nếu trong 52 số có 2 số chia 100 nhận cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 100.
Nếu 52 số chia cho 100 nhận các số dư đôi một khác nhau. Chia 100 số dư có thể nhận được khi chia 1 số cho 100 thành các nhóm: (0,0);(1,99);...;(50,50). Tổng 2 số trong mỗi cặp chia hết cho 100. Ta có: Có 51 cặp. Mà lại có 52 số nên phải có ít nhất 2 số cùng tập. Khi đó, tổng 2 số này chia hết cho 100.

Không nhất thiết. Ta có thể xét 10 có cùng số dư khi chia cho 10. Khi cộng mỗi số với stt trong hàng sẽ nhận 10 số dư khác nhau.

Sử dụng tc dãy tí số bằng nhau:
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z$ (do a+b+c=1)
$\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+y^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)
$\Rightarrow (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=(\dfrac{x}{a})^2-\dfrac{x^2}{a^2}=0$
$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)=0 \rightarrow xy+yz+zx=0$

$ P=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$
Với$ x$ ko phải là số chính phương thì $\sqrt{x}$ là số vô tỉ nên $1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$ là số vô tỉ nên P vô tỉ ( loại )
Với $x$ là số chính phương thì$ \sqrt{x}$ nguyên, rồi làm ước số binh thường.

Dạ, em thấy không ổn lắm. Nếu x hữu tỉ thì $\sqrt{x}$ vẫn có thể hữu tỉ. Nếu như vầy thì ko dùng cách xét ước được.

Giải pt: $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\dfrac{3}{4}=0$

ai giải đi, mình quên cách giải rồi!!!!!!!!!!!

Nghiệm là $x=\sqrt[3]{3}$.
Phản chứng, giả sử $\sqrt[3]{3} $ có dạng $\dfrac{a}{b}$ trong đó (a,b)=1; a,b là các số nguyên.
=>$\dfrac{a^3}{b^3}=3$ nên $a^3 = 3.b^3 => a^3 \vdots b^3$.
Do (a,b)=1 nên ta có $a \vdots b$ (trái với điều kiện)
=>đpcm

$3A+B=15x+3y+4x-3y=19x \vdots 19$
Mà $A \vdots 19 \Rightarrow 3A \vdots 19$
Suy ra $B \vdots 19$.

P nguyên $\Leftrightarrow (\sqrt x + 1) \vdots (\sqrt x-1) $
$ \Rightarrow 2 \vdots (\sqrt x-1)$
$\Rightarrow \sqrt x-1 \in (2,1,-1,-2) \Rightarrow x \in (9,4,0) $

Anh à, mình đâu có biết được $\sqrt{x}$ có là số nguyên hay không nên đâu dùng cách xét ước được đâu anh.
Cả tử và mẫu đều là số hữu tỉ thì phân số đó vẫn có thể nguyên mà.

Một cô gái đưa cho ông nhân viên bưu điện 1 đô la và nói:
- Xin ông bán cho tôi ba loại tem: 2 xentơ, 1 xentơ và 5 xentơ. Số tem 1 xentơ gấp 10 lần số tem 2 xentơ. Còn bao nhiêu ông bán cho tem 5 xentơ.
Bạn hãy cho biết, ông nhân viên bưu điện giải bài toán này thế nào cho nhanh?

Lập hệ: Gọi số tem 1 xento là a; 2 xento là b và 5 xento là c.
Ta có: a+2b+5c=100
a=10b
Suy ra: 12b+5c=100
=>12b chia hết cho 5.
=>b chia hết cho 5.
Mà 12b<100.
Suy ra b<9.
b khác 0 nên b=5.
Suy ra a=50.
Vậy, c=8.

Cho x,y,z dương thỏa: x+2y+3z=1.
Tìm GTNN của: $x+4y+9z+\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{13}{x+y}+\dfrac{5}{x+z}+\dfrac{10}{y+z}+\dfrac{14}{x+y+z}$