Đặt 11...1=k (trong đó có 8 chữ số 1). Ta có:
$\dfrac{5.10k+3}{5.10k+7}=1-\dfrac{4}{50k+7}$
$\dfrac{6.10k+4}{6.10k+9}=1-\dfrac{5}{60k+9}$
Ta có: 4(60k+9)=240k+36=240k+1+35<250k+35=5(50k+7) (do 240k+1<250k)
Vì vậy $\dfrac{4}{50k+7}<\dfrac{5}{60k+9}$
$=> \dfrac{5.10k+3}{5.10k+7}=1-\dfrac{4}{50k+7}>1-\dfrac{5}{60k+9}=\dfrac{6.10k+4}{6.10k+9}$

Giải pt: $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\dfrac{3}{4}=0$

Chắc là anh nhầm rồi, vì $\dfrac{1}{k^2}>\dfrac{1}{k^2+k}$ mà!
$\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{4a^2}<\dfrac{4}{(2a-1)(2a+1)}=2(\dfrac{1}{2a-1}-\dfrac{1}{2a+1})$
$=> \dfrac{1}{1^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1+\dfrac{1}{4}+2(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})=1,25+2.(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2n+1})<1,25+2.\dfrac{1}{5}=1,25+0,4=1,65$

$A=a^{3k}-a+b^{3k}-b+...+n^{3k}-n=a[(a^k)^2-1]+b[(b^k)^2-1]+...+n[(n^k)^2-1]=a(a^k-1)(a^k+1)+b(b^k-1)(b^k+1)+...+n(n^k-1)(n^k+1)$
Xét số có dạng $x(x^k-1)(x^k+1)$. Lần lượt xét từng số dư của x khi chia cho 3 được $A \vdots 3$
$=>a^{3k}+b^{3k}+...+n^{3k} \vdots 3$

$3A+B=15x+3y+4x-3y=19x \vdots 19$
Mà $A \vdots 19 \Rightarrow 3A \vdots 19$
Suy ra $B \vdots 19$.

1/$\dfrac{\dfrac{(x-1)^{2}}{3x+(x-1)^{2}}-\dfrac{1-2x^{2}+4x}{x^{3}-1}+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{x^{2}+x}{x^{3}+x}} (x \neq 0;1)$
$=\dfrac{\dfrac{(x-1)^3}{(x^2+x+1).(x-1)}-\dfrac{1-2x^2+4x}{(x-1)(x^2+x+1)}+\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}}{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
$=\dfrac{\dfrac{x^3-3x^2+3x-1-1+2x^2-4x+x^2+x+1}{(x^2+x+1).(x-1)}}{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
$=\dfrac{x^3-1}{x^3-1}.\dfrac{x^2+1}{x+1}=\dfrac{x^2+1}{x+1}$
Do $x^2+1>0$ nên D>0 khi $x+1>0 <=> x>-1$
2/ $Q=\dfrac{3x^{2}+9x+17}{3x^{2}+9x+7}=1+\dfrac{10}{3x^2+9x+7}$
Để Q đạt max thì $\dfrac{10}{3x^2+9x+7}$ đạt max.
$3x^2+9x+7=3(x^2+2.1,5x+2,25)+0,25=3(x+1,5)^2+0,25 \geq 0,25 (>0)$
Vậy để Q đạt max thì $(3x^2+9x+7)$ đạt min.
$\Leftrightarrow x=-1,5$
Khi đó: $Max Q = 1+\dfrac{10}{0,25}=1+40=41$

Sử dụng tc dãy tí số bằng nhau:
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z$ (do a+b+c=1)
$\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+y^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)
$\Rightarrow (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=(\dfrac{x}{a})^2-\dfrac{x^2}{a^2}=0$
$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)=0 \rightarrow xy+yz+zx=0$

P nguyên $\Leftrightarrow (\sqrt x + 1) \vdots (\sqrt x-1) $
$ \Rightarrow 2 \vdots (\sqrt x-1)$
$\Rightarrow \sqrt x-1 \in (2,1,-1,-2) \Rightarrow x \in (9,4,0) $

Anh à, mình đâu có biết được $\sqrt{x}$ có là số nguyên hay không nên đâu dùng cách xét ước được đâu anh.
Cả tử và mẫu đều là số hữu tỉ thì phân số đó vẫn có thể nguyên mà.

$ P=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$
Với$ x$ ko phải là số chính phương thì $\sqrt{x}$ là số vô tỉ nên $1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$ là số vô tỉ nên P vô tỉ ( loại )
Với $x$ là số chính phương thì$ \sqrt{x}$ nguyên, rồi làm ước số binh thường.

Dạ, em thấy không ổn lắm. Nếu x hữu tỉ thì $\sqrt{x}$ vẫn có thể hữu tỉ. Nếu như vầy thì ko dùng cách xét ước được.

ai giải đi, mình quên cách giải rồi!!!!!!!!!!!

Nghiệm là $x=\sqrt[3]{3}$.
Phản chứng, giả sử $\sqrt[3]{3} $ có dạng $\dfrac{a}{b}$ trong đó (a,b)=1; a,b là các số nguyên.
=>$\dfrac{a^3}{b^3}=3$ nên $a^3 = 3.b^3 => a^3 \vdots b^3$.
Do (a,b)=1 nên ta có $a \vdots b$ (trái với điều kiện)
=>đpcm

Bài này phân tích được dttnt

Vậy mình phải phân tích bằng cách nào ạ?

3. $ n^2 $ chia 4 dư 0 hoặc 1.
Nên $ n^2+2002$ chia 4 dư 2 hoặc 3 (2002 chia 4 dư 2) ->không thể là số chính phương được.

Bài 14 :
Các chữ số a;b;c phải bé hơn 6 do 7!>1000.
Nếu có 2 chữ số 6 thì a!+b!+c!>1000. Vậy trong 3 số có nhiều nhất 1 chữ số 6.
*Giả sử đó là a thì không thỏa do 6bc=720 (!)
*Nếu đó là các số b hoặc c thì a phải bé hơn 6 (do chỉ có nhiều nhất 1 số bằng 6). Khi đó abc cũng bé hơn 6!=720.
Do đó, các chữ số a;b;c bé hơn 6.
a;b;c không cùng bằng hoặc bé hơn 4 do a!+b!+c!>99
Vậy, trong a;b;c có ít nhất 1 chữ số 5.
Ta có: a!+b!+c!<3.5!=360
Do đó, a không bằng 5.
*b=5: Ta có a=1 hoặc a=2.
Nếu a=1 thì 29<c!<79 ->vô nghiệm.
Nếu a=2 thì c=5. abc=255 không thỏa mãn.
*c=5. Tương tự, ta có a=1 hoặc a=2.
Nếu a=1 thì 1b5=121+b!. Suy ra b! tận cùng bằng 4. Do đó b=4.
Thử lại thấy số 145=1!+4!+5! thỏa mãn.
Nếu a=2 thì b=5. Số 255 không thỏa mãn.

Đáp số: abc=145.
***Các số có 3 chữ số đều có dấu gạch đầu.

Theo em nghĩ trường hợp 0<x<1 có thể làm thế này: $1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8=(1-x)+x^3(1-x)+x^5(1-x)(1+x)+x^8>0$

Em nghĩ bảng 9*9 là đủ rồi phải ko anh?
Vì bất cứ ô nào không nằm trên rìa bên ngoài của bảng sẽ có cạnh chung hoặc đỉnh chung với 8 ô khác.
Trong các số nguyên từ 1 đến 10, chỉ có 3 số 1;5;7 nguyên tố cùng nhau với ít nhất 8 số khác.
Xét bảng 9*9, số ô không nằm trên rìa bên ngoài là 7.7=49 ô.
Có 49 ô, điền bởi 3 số. Do đó, theo nlí Dirichlet, có 1 số được viết trên ít nhất 17 ô.

Giải các phương trình sau :
1, $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\dfrac{1}{2^{2005}}$

2,$ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+3} $

2.$ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+3}= \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-(x^{3}+3x-3)}=0 \forall x$

1/ Em có cách này
$(1) <=> 1=2y^2-x^2y^2; (2) <=>(xy+2y^2-x^2y^2)(2y-x)-2x^3y^2=0$
$<=>y[(x+2y-x^2y)(2y-x)-2x^3y]=0$
$<=>y[(x+2y)(2y-x)-x^2y(2y-x)-2x^3y]=0$
$<=>y[(x+2y)(2y-x)-x^2y(2y+x)]=0$
$<=>y(2y+x)(2y-x-x^2y)=0$
Từ pt(1) có y>0.
Nếu x=-2y thì thế vào pt(1) được $4y^4-2y^2+1=0$ vô nghiệm.
Vậy $2y-x=x^2y$
$<=>x^2y(xy+1-2xy)=0 <=> (1-xy)x^2y=0$
*x=0 <=> y=0 (loại)
*$xy=1 <=> x= 1 <=> y=1$(theo pt(2) )
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(1,1)

Giải PT nghiệm nguyên : $3^{x}+4^{y}=5^{z}$

Do 4 chia 3 dư 1 nên $4^y \equiv 1 (mod 3) $=>$5^z \equiv 1 (mod 3)$
Ta có: $5^z \equiv 2^z (mod 3)$ nên $2^z \equiv 1 (mod 3)$. Mà $2 \equiv -1 (mod 3)$ nên ta có z chẵn. Đặt z=2a (a là một số tự nhiên).
=>$3^x=(5^a-2^y)(5^a+2^y)$.
Suy ra cả 2 số $5^a-2^y;5^a+2^y$ đều là lũy thừa của 3.
Nếu $5^a-2^y>1$ thì $5^a-2^y; 5^a+2^y$ phải đồng thời chia hết cho 3.
=>$(5^a-2^y)+(5^a+2^y)=2.5^a$ chia hết cho 3. Điều này không thỏa mãn do cả 2 và $5^a$ đều nguyên tố cùng nhau với 3 nên không thể chia hết cho 3 được.
=>$5^a-2^y=1$ và $5^a+2^y=3^k$
=>$2.5^a \equiv 2. (-1)^a \equiv 1 \equiv -2 (mod 3)$=>a phải là một số lẻ.
Ta có: $5^a$ tận cùng bằng 5. Suy ra $2^y$ phải tận cùng bằng 4.
=> y chia 4 dư 2 (chia hết cho 2). Đặt a=2p+1; y=2q
Ta có pt: $5^{2p+1}+2^{2q}=3^x$.
Nếu q=1 thì: $5^{2p+1}-4=1$ nên 2p+1=1=>p=0.=>a=1=>z=2;y=2 và x=2.
Nếu q>1 thì: $2^{2q}$ chia hết cho 8.
$5^{2p+1}=25^p.5 \equiv 5 (mod 8)$.
$3^x \equiv 0;3 (mod 8)$ mà $5^{2p+1}+2^{2q} \equiv 5 (mod 8)$ nên không thỏa mãn.
Vậy ta có duy nhất bộ (x;y;z)=(2;2;2) thỏa mãn.

[quote name='tuanrint' post='201106' date='Jun 12 2009, 10:35 AM']Giúp em mấy bài toán này với !

Bài 1: Ngày 2 tháng 9 năm 1998 là ngày thứ tư .Hỏi
a/ Ngày 1-5-1999 vào ngày thứ mấy trong tuần .
b/ Ngay 2-9-2001 vào ngày thứ mấy trong tuần .
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên m ta có
a/ m(m+1)(2m+1)chia hết cho 6 .
b/ m(2m+7)(7m+1) chia hết cho 6.
Bài 3: Chứng minh rằng ba số tự nhiên liên tiếp có tổng 1số lẻ thì tích của ba số đó chia hết cho 24.
Bài 4: Chứng minh rằng $3+ 3^2+3^3+.....+3^99+3^100$ chia hết cho 120.
Bài 5: Với mọi số nguyên a và b chứng minh rằng:
a/ $a^2+1$ không chia hết cho 3.
b/Nếu $a^2+b^2$ chia hết cho 3 thì cả a và b chia hết cho ba.
c/ $a^5+b^5$ chia hết cho 5 khi và chi khi a+b chia hết cho 5.[/quote]
[quote name='pth_tdn' date='Jun 12 2009, 02:59 PM' post='201122']
5/ $x^2$ chia 3 dư 0 hoặc 1.
a) Suy ra $a^2+1$ chia 3 dư 1 hoặc 2 (không chia hết cho 3)
b)$a^2+b^2$ chia hết cho 3.
Nếu a và b chia khác số dư thì a+b chia 3 dư 1 (do 1 sốchia 3 dư 0, số còn lại dư 1)
Nếu a và b chia cùng dư thì hoặc a+b chia 3 dư 2 (cùng dư 1) hoặc a và b cùng chia 3 dư 0 thì ta có đpcm.
c)$a^5-a+b^5-b=a(a^4-1)+b(b^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)+b(b^2-1)(b^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2+1)+(b-1)b(b+1)(b^2+1)$
Xét tích $(k-1)k(k+1)(k^2+1)$ với k bằng a hoặc b. Ta có: Nếu k chia 5 dư 0;1;4 thì (k-1)k(k+1) chia hết cho 5.
Nếu k chia 5 dư 2 hay 3 thì $k^2+1$ chia hết cho 5.
Suy ra tích trên luôn chia hết cho 5.=>$(a^5+b^5)-(a+b)$ luôn chia hết cho 5.
Mà $a^5+b^5$ chia hết cho 5 nên (a+b) chia hết cho 5.
3/ 3 số tự nhiên liên tiếp có tổng lẻ nên phải có 2 số chẵn và 1 số lẻ.
Trong 2 số chẵn phải có một số chia 4 dư 2(chia hết cho 2) và 1 số chia hết cho 4.=> Tích chia hết cho 8.
Vì là tích 3 stn liên tiếp nên tồn tại một thừa số chia hết cho 3.=> Tích chia hết cho 3.
Do (8,3)=1 nên tích chia hết cho 24.
4/ Đặt tổng bằng A.
=> $3A=3^2+...+3^{101}$
=> $2A=3^{101}-3=3(3^{100}-1)=3(3^{50}-1)(3^{50}+1)=3(3^{25}-1)(3^{25}+1)(3^{50}+1)$
*2A chia hết cho 3. Mà (2,3)=1 nên A chia hết cho 3.
*$3^{25}-1; 3^{25}+1$ là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. $3^{50}+1$ chia hết cho 2.=> 2A chia hết cho 16.=> A chia hết cho 8.
*Xét chữ số tận cùng, có $3^{50}+1$ tận cùng bằng 0 chia hết cho 5.
Suy ra A chia hết cho 3;5 và 8. Mà (3,5,8)=1 nên A chia hết cho 3.5.8=120.

p nguyên tố và p lớn hơn 3 => p chia 3 dư 1 hoặc 2.
*Nếu p chia 3 dư 1: p=3k+1 (k là một số tự nhiên).
2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3=3(2k+1) hay 2p+1 chia hết cho 3. Mà 2p+1>3 nên 2p+1 không thể là số nguyên tố được. (loại)
*Nếu p chia 3 dư 2: p=3q+2 (q là một số tự nhiên)
4p+1=4(3q+2)+1=12q+8+1=12q+9=3(4q+3) hay 4p+1 chia hết cho 3. Có 4p+1>3 => 4p+1 là hợp số.
(Bạn chú ý rằng nếu một số tự nhiên n>k và n chia hết cho k với k nguyên tố thì n là một hợp số.

đây là bài rút gọn em làm ra kết quả là
$\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$
ĐKXĐ 0, x 4,x 9
còn câu cuối em không làm được
Tìm a để P.(x-4) > x + a với mọi x lớn hơn 2009

Ta có: $P(x-4)-x-a=[1+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}](x-4)-x-a=x-4+\dfrac{5(x-4)}{\sqrt{x}-2}-x-a=\dfrac{5(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}-(4+a)=5(\sqrt{x}+2)-(4+a)>0$
<=>$5(\sqrt{x}+2)>4+a$
Ta có: $5(\sqrt{x}+2)-4>5(\sqrt{2009}+2)-4=5\sqrt{2009}+10-4=6+5\sqrt{2009}>a$
Suy ra a là các số thực thỏa: $a<6+5\sqrt{2009}$

98=2.7.7 chia hết cho 7.
Ta có: x nguyên.=>$x^3$ chia 7 dư -1;0;1.
$19x^3$ chia 7 dư 0 hoặc 2.
=> $19x^3-98y^2$ chia 7 dư 0 hoặc 2. Mà 1998 chia 7 dư 3.
=> Pt vô nghiệm nguyên.

Không biết khi thi được dùng đồng dư thức không ạ? Nếu được thì em định giải câu b) thế này:
b. Ta có $2009^{2010} \equiv 2^{2010}=4^{1005} \equiv 1 (mod 3)$
Xét các số dư của a và $a^2+a+1$ ta được $a(a^2+a+1)$ chia 3 dư 0 hoặc 2.
Mà $2009^{2010}$ chia 3 dư 1.
=>Đpcm.

2/ Chú ý rằng $3=|x-2006|+|x-2007|+|x-2009| \geq |x-2006|+|x-2007+2009-x|=2+|x-2006|$
$1 \geq |x-2006|$
Do đó:
$x \leq 2007.$
Có $|x-2009| \leq 3 <=> x \geq 2006$
Từ đó ta có $2006 \leq x \leq 2007$
$<=> |x-2009| \geq 2; |x-2006|+|x-2007| \geq |x-2006+2007-x|=1$
$<=> |x-2009|+|x-2007|+|x-2006| \geq 3.$(1)
Chú ý rằng $|y-2008| \geq 0$. Vì vậy đẳng thức ở (1) phải xảy ra<=> x=2007
Khi đó y-2008=0 <=> y=2008

Do $2^n$ không chia hết cho 3; $3162 \vdots 3$ nên $n^2 \equiv 1(mod 3)$
$\rightarrow 2^n \equiv -1 (mod 3)$
Suy ra n lẻ.
Do đó VT lẻ (trong khi VP chẵn)
Vậy PT vô nghiệm nguyên.