Cho biết tọa độ 3 đỉnh A,B,C.   Nêu các hướng để xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. (càng nhiều hướng càng tốt)

- giả sử B theo 1 ẩn, suy ra A (theo 1 ẩn dùng vecto). sau đó tìm diện tích

Bạn giải thích rõ hơn cho mình dòng này đc không? nó cho B rồi thì đâu cần tham số hóa nữa

Bài 47:

cho P(x) thỏa mãn P(x)/(x+3) dư 1, P(x)/(x-4) dư 8, P(x)/(x+3)(x-4) được thương là 3x và còn dư, tìm P(x)

Hướng dẫn cả cách giải những dạng như thế này nha

Đặt số dư của phép chia là $ax+b$

Ta có: $P(-3)=1; P(4)=8$

Ta có: $P(x)=3x(x+3)(x-4)+ax+b$

Thay $x=-3; x=4$ vào ta có: 

$\iff \begin{cases} &  -3a+b=1 \\  &  4a+b=8 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  a=1 \\  &  b=4 \end{cases}$

Vậy $P(x)=3x(x+3)(x-4)+x+4$

Bài 2: Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn 4x+9y+16z=49. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  $\frac{1}{x}+\frac{25}{y}+\frac{64}{z}$

 

Ta có: $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z}).49=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z}).(4x+9y+16z) \geq (1.2+5.3+8.4)^2=2401$

$\rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{25}{y}+\dfrac{64}{z} \geq 49$ (bđt Bu-nhi-a)

Dấu "=" $\iff \dfrac{1}{2x}=\dfrac{5}{3y}=\dfrac{2}{z}$

Giải hpt

$\left\{\begin{matrix} \frac{1+4(x-y+1)^2}{\sqrt{2(x-y+2)}}=1+\frac{3}{2(x-y+1)} & \\ (x+2)(\sqrt{x+y+3}-2\sqrt{y+1})=1-\sqrt{x^2+y^2+5x+3}& \end{matrix}\right.$

$\iff \dfrac{1+4(x-y+1)^2}{\sqrt{2(x-y+2)}}=\dfrac{2(x-y+1)+3}{2(x-y+1)}$

$\iff \dfrac{1+4(x-y+1)^2}{\sqrt{2(x-y+2)}}=\dfrac{2(x-y+2)+1}{2(x-y+1)}$

$\iff 8(x-y+1)^3+2(x-y+1)=2(x-y+2)\sqrt{2(x-y+2)}+\sqrt{2(x-y+2)}$

$\iff [2(x-y+1)]^3+2(x-y+1)=(\sqrt{2(x-y+2)})^3+\sqrt{2(x-y+2)}$

$\iff 2(x-y+1)=\sqrt{2(x-y+2)}$

$\iff 2(x-y+2)-\sqrt{2(x-y+2)}-2=0$

$\iff (\sqrt{2(x-y+2)}-2)(\sqrt{2(x-y+2)}+1)=0$

$\iff \sqrt{2(x-y+2)}=2$

$\iff x=y$

Đến đây ta thay xuống pt(2)

giải tiếp cho mjk với bạn....

Thay xuống ta được pt:

$(x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})=1-\sqrt{2x^2+5x+3}$

$\iff [(2x+3)-(x+1)](\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})=(2x+3)-2(x+1)-\sqrt{(2x+3)(x+1)}$

Đặt $\sqrt{2x+3}=a; \sqrt{x+1}=b$

$\iff (a^2-b^2)(a-2b)=a^2-2b^2-ab$

$\iff (a-b)(a+b)(a-2b)=(a-2b)(a+b)$

$\iff (a+b)(a-2b)(a-b-1)=0$

Đến đây bài toán đã được giải quyết

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(4;3;4)$ và song song đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-6}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}$, đồng thời tiếp xúc mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$

GS phương trình mặt phẳng là: $ax+by+cz+d=0$

(P) đi qua M nên ta có: $4a+3b+4c+d=0$ (1)

(P) có $\vec n$ là: $\vec n=(a;b;c)$ mà $(P) \\ \Delta \rightarrow \vec n.\vec u=0 \rightarrow -3a+2b+2c=0$

$\rightarrow c=\dfrac{3a-2b}{2}$

Thê $c$ vào $(1)$ ta có: $d=2b-10a$

Ta có: $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và $R=3$

Mà mp tiếp xúc mặt cầu nên: $d(I,(S))=R$

$\rightarrow 3=\dfrac{|a+2b+\dfrac{3}{2}(3a-2b)+2b-10|}{\sqrt{a^2+b^2+(\dfrac{3a-2b}{2})^2}}$

Đến đây chuyển vế bình phương, bạn sẽ đưa pt về dạng đẳng cấp đôi với $a,b$ và tìm ra quan hệ của chúng rồi chọn $a,b$ thích hợp

Bài toán: Cho đường thẳng $d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{-3}$ và $(P): 7x+9y+2z-7=0$ cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ cách $d$ một khoảng $\dfrac{3}{\sqrt{42}}$

p/s: Gợi ý cho mình về dữ kiện khoảng cách

Cho tam giác ABC có tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là d:3x-4y+14=0.Đường cao của tam giác ABC kẻ từ B là 2x-y+1=0. hình.chiếu của C lên AB là C'(-12/5,-4/5). Viết phương trình đường thẳng BC.

Giả sử $Ax$ là tiếp tuyến của đường tròn

Ta sẽ cm $C'K // Ax$

Thật vậy: tứ giác $C'KBC$ là tứ giác nội tiếp $\rightarrow \widehat{AKC'}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{xAK}=\widehat{ABC}$ (t/c tiếp tuyến)

$\rightarrow \widehat{xAK}=\widehat{AKC'}$

$\rightarrow Ax // C'K$ ,do đó vt pháp tuyến $Ax$ cũng là vt pt của $C'K$

-Viết ptđt C'K $\rightarrow$ K (cho giao với $BK$)

- Viết ptđt $AC$ đi qua $K$ và đường cao $BK$ là vtpt $\rightarrow$ điểm A

-Viết ptđt $AB$ đi qua $A,C'$ $\rightarrow B$ (cho giao với $BK$)

-Viết ptđt $CC'$ đi qua C' và ptđt $AB \rightarrow C$ (cho giao với ptđt AC)

-Viết ptđt $BC$

Bài toán 1: Cho (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Viết pt mặt phẳng (P) chứa Ox và cắt $(S)$ theo một đường tròn bán kính $R=3$

Bài toán 2: Viết phương trình $(P)$ qua O, vuông góc với (Q): $x+y+z=0$ và cách điểm $M(1;2;-1)$ một khoảng bằng $\sqrt{2}$

Mk mới học dạng này nên mong mọi người nêu hướng giải, hướng tư duy để mk có thể làm các bài tương tự

Bài 15: Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=a$, $AC=BD=b$, $AB=CD=c$. Tính thể tích tứ diện theo $x,y$.

 

Đây là tứ diện gần đều, và có tổng 5 cách giải, sau đây là 1 cách giải của bài toán này:

 

 

Bài 14: Cho chóp S.ABC có $SA=x,BC=y$, các cạnh còn lại bằng 1. Tính thể tích chóp theo $x,y$.

 

Lấy $K$ là trung điểm của $BC$ 

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $S$ xuống đáy $ABC$, Vì $SB=SC$ nên $HB=HC$ hay $H$ nằm trên đường trung trực $BC$

Dễ tính được $AK=SK=\dfrac{\sqrt{4-y^2}}{2} \rightarrow S_{ABC}=\dfrac{y\sqrt{4-y^2}}{4}$

Để tính chiều cao ta cần tính diện tích $SAK$ mà $\Delta SAK$ cân tại K và có $SK=AK=\dfrac{\sqrt{4-y^2}}{2}; SA=x$

$\rightarrow S_{SAK}=\dfrac{x\sqrt{4-y^2-x^2}}{4} \rightarrow SH=\dfrac{2S_{SAK}}{AK}=\dfrac{x\sqrt{4-y^2-x^2}}{\sqrt{4-y^2}}$

$\rightarrow V_{SABC}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\dfrac{xy\sqrt{4-y^2-x^2}}{12}$ 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x-2)²+ (y-2)²=4 và đường thẳng (d): 3x+y-10=0. Viết phương trình đường tròn (C') có tâm nằm trên đường thẳng x=y và tâm có hoành độ âm,(C') tiếp xúc với (d) và cắt (C) tại A,B sao cho AB= $2\sqrt{2}$

GS tâm đường tròn (C') có tọa độ $I'(i;i) \ (i<0)$

Ta có: (C) có tâm $I(2;2)$ ; $R=2 \rightarrow I'H=\sqrt{(i-2)^2+(i-2)^2}=(2-i)\sqrt{2}$

Gọi giao $AB$ và $II'$ là $H \rightarrow AH=\sqrt{2}$

$\rightarrow IH=\sqrt{2} \rightarrow I'H=(1-i)\sqrt{2} \rightarrow I'A^2=2(1-i)^2+2=2i^2-4i+4=R'^2$ (1)

Lại có: $d_{(I'/d)}=R'=\dfrac{|3i+i-10|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{|4i+10|}{\sqrt{10}}$ (2)

Đến đây cho $(1)=(2)^2 \rightarrow 2i^2-4i+4=(\dfrac{|4i+10|}{\sqrt{10}})^2$

Đến đây tìm đc $a \rightarrow R' \rightarrow$ pt đường tròn...

cho $ \overrightarrow{BM}$ vuông góc vs $ \overrightarrow{{U_{BM}}^{}}$(1pt)

 

Do $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$ suy ra tọa độ C theo D

Sau đó bn cho $ \overrightarrow{AM}$ cùng phương vs $ \overrightarrow{AC}$(1pt nữa)

Giải hệ trên suy ra t/độ D

Chỗ màu đỏ này bn thử xem lại xem, mk tham số hóa $M$ rồi nhân tích vô hướng ra $0=0$ (luôn đúng)

Điểm $E$ tìm ra quả là xuất sắc

Mình có cách cm khác này nhưng hơi dài không đặc sắc như của bn

Phần chứng minh: 

-$BK$ vuông góc $AC$, lấy $I$ là trung điểm $CD$ 

-Ta chứng minh được $\Delta ABK=\Delta CIM$ (cạnh huyền- góc nhọn) $\rightarrow AK=MC=MH \rightarrow AH=KM$

-Dễ cm đc $\Delta AHD \sim BKA \rightarrow \dfrac{BK}{AK}=\dfrac{AH}{HD} \rightarrow \dfrac{DH}{HM}=\dfrac{AH}{BK}$

$\rightarrow \Delta BKM \sim \Delta MHD \rightarrow$ góc BMK = góc MDH suy ra DM vuông góc BM 

... 

Bài toán: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm $H$ thuộc đường thẳng $d:3x-y-4=0; M(2;3)$ là trung điểm AB, đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ có phương trình $(S): x^2+y^2-x-5y+4=0$. Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$

Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

       (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Kéo dài AH cắt (I) tại A'.

Có: Phép đối xứng trục BC biến ABC thành A'BC nên biến (O) thành (I) do đó bán kính 2 đường tròn bằng nhau.

Ta tìm tọa độ điểm H;I

Gọi tọa độ B theo ẩn t

M là trung điểm AB nên suy ra A theo t 

Viết phương trình BC theo t; với vecto AH là pháp tuyến.

Suy ra tọa độ O theo t

Lấy OM vuông góc AB suy ra t

Sau đó tìm các điểm còn lại.

Đoạn gọi tọa độ B theo ẩn t  có phải là anh gọi theo pt đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ ?

E cũng làm hướng như thế nhưng đến đoạn tọa độ B a làm có vẻ không khả thi cho lắm vì pt đường tròn là bậc 2 mà B lại không thuộc bất cứ đường thẳng nào

5)$\left\{\begin{matrix}2x^3+y(x+1)=4x^2 &  & \\ 5x^4-4x^6=y^2 &  & \end{matrix}\right.$

 

 

(1) $\iff 2x^3+y=4x^2-xy$

$\iff 4x^6+y^2=16x^4-12x^3y+x^2y^2$

(2)$\iff 5x^4=4x^6+y^2$

$\iff 5x^4=16x^4-12x^3y+x^2y^2=0$

$\iff 11x^4-12x^3y+x^2y^2=0$

$\iff (x^2-xy)(11x^2-xy)=0$

$\iff x^2(x-y)(11x-y)=0$

$\iff x=0$  v  $x=y$  v  $11x=y$

....

B 65: $$c^3+c^3+64 \geq 3\sqrt[3]{c^6.64}=12c^2$$

$$2(b^2+16) \geq 16b$$

$$2(a^2+4) \geq 8a$$

Cộng vế với vế: $$2(a^2+b^2+c^3)+104 \geq 4(2a+4b+3c^2)=272$$

$$\rightarrow a^2+b^2+c^3 \geq 84$$

Dấu "=" $\iff (a,b,c)=(2;4;4)$

Bổ sung thêm các bài tập các bạn chưa giải được trong topic

2)$\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+282}+x}{x}} - \sqrt{x\sqrt{x^{2}+282}-x^{2}}=3$

             

Đã có ở trang 19

Bài 239: $\frac{9}{3\sqrt{x-1}+6}-1-\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-6x+6}+1}=0$

ĐK: $x \geq 1$

Ta có: $\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}+1-\dfrac{9}{3\sqrt{x-1}+6}=0$

$\iff  (\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}-\dfrac{1}{5})+(\dfrac{6}{5}-\dfrac{9}{3\sqrt{x-1}+6})=0$

$\iff \dfrac{5x-6-\sqrt{x^2-6x+6}}{5(\sqrt{x^2-6x+6}+1)}+\dfrac{18\sqrt{x-1}-9}{5(3\sqrt{x-1}+6)}=0$

Xét $x=1$ thì $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6}=0$ và khi đó $x=1$ cũng không phải nghiệm của phương trình.

Vậy $x>1$, khi đó ta có: $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6}=5(x-1)+\sqrt{x^2-6x+6}-1=5(x-1)+\dfrac{(x-5)(x-1)}{\sqrt{x^2-6x+6}+1}=(x-1)(5+\dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-6x+6}+1})=(x-1)\dfrac{5\sqrt{x^2-6x+6}+x}{\sqrt{x^2-6x+6}+1} >0$ 

Vậy $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6} >0$

$\iff \dfrac{6(4x-5)(x-1)}{5(\sqrt{x^2-6x+6}+1)(5x-6+\sqrt{x^2-6x+6})}+\dfrac{9(4x-5)}{5(3\sqrt{x-1}+6)(2\sqrt{x-1}+1)}=0$

$\iff 4x-5=0$    v    $\dfrac{6(x-1)}{5(\sqrt{x^2-6x+6}+1)(5x-6+\sqrt{x^2-6x+6})}+\dfrac{9}{5(3\sqrt{x-1}+6)(2\sqrt{x-1}+1)}=0$ (*)

(*) >0 với mọi $x >1$ và $5x-6+\sqrt{x^2-6x+6} >0$

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình: $x=\dfrac{5}{4}$

Hỏi chút là làm thế nào bạn tìm được nhân tử $x^2 + 2x +3$ vậy, vì nó vô nghiệm ấy ?

Uhm, tại mình nhận thấy ở nó xuất hiện ở vế phải $(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$ nên mình có hướng tách $x^3+x^2+x-3=(x^2+2x+3)(x-1)$  tạo nhân tử để nhóm vừa khéo cho việc liên hợp

làm như thế nghiệm sẽ rất lẻ mình không giải được a,b

Mình nghĩ cách như vậy là hợp lí rồi, Có thể số 282 sửa thành 289 không nhỉ?

Bài 47: $\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}=\dfrac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

ĐK: $0< x \leq 1$

Ta có: $\iff \sqrt{\dfrac{1}{x}-1}=\dfrac{\dfrac{2}{x}+1}{\dfrac{1}{x^2}+1}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=a (a \geq 1)$

$\iff \sqrt{a-1}=\dfrac{2a+1}{a^2+1}$

$\iff (a^2+1)\sqrt{a-1}=2a+1$

$\iff (a^2+1)(\sqrt{a-1}-1)+a^2-2a=0$

$\iff \dfrac{(a^2+1)(a-2)}{\sqrt{a-1}+1}+a(a-2)=0$

$\iff (a-2)(\dfrac{a^2+1}{\sqrt{a-1}+1}+a)=0$

$\iff a=2$ ( vì phần trong ngoặc dương)

$\iff \dfrac{1}{x}=2$

$\iff x=\dfrac{1}{2}$

Bài 90: $x^{2}-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

$\iff 3x^2-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^2+3}=0$

$\iff 3(x-1)^2+(\sqrt{3x^4+3x^2+3}-3x)=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3x^4-6x^2+3}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3(x-1)^2(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2[1+\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}]=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

..