Chuẩn hóa abc=1 thi bdt tương đương với:
$(a+b+c)^2 \geq 4\sum\dfrac{a}{b+c} + 3$
theo BDT co si ta có:
$ 4\sum\dfrac{a}{b+c} \leq \sum \dfrac{a}{2\sqrt{bc}} = \dfrac{1}{2}\sum a\sqrt{a}$
ta sẽ chứng minh :
$(a+b+c)^2 \geq 2\sum a\sqrt{a}+ 3$
Theo BDT cô si:
$\sum \sqrt{a} \geq 3 \Rightarrow 6\sum a\sqrt{a} + 9 \leq 2\sum\sqrt{a}\sum a\sqrt{a} + 3\sum\sqrt{a}$
ta chỉ cần chứng minh:
$(a+b+c)^2 \geq 2\sum\sqrt{a}\sum a\sqrt{a} + 3\sum\sqrt{a}$
$ \Leftrightarrow \sum a(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 + \sum (\sqrt{b}-\sqrt{c})^4 \geq 0 $
BDT  gié

<a href="https://www.fodey.co...atext.asp"><imgsrc="https://r11.fodey.com/2404/e9fdcb5b32d9466dbb18c705777aaf00.1.gif" border=0 width="749" height="117" alt=""></a>

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

ai giải bài này đi

ANH NHÂME SAI ĐIỂM RƠI RỒI ANH ƠI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

C2 :
$2(\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{2ab} + \dfrac{1}{2bc} + \dfrac{1}{2ac})$ $2(\dfrac{1,5 + 3}{(a + b + c)^2}) = 40,5$

Mặt khác $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{a^2 + b^2 + c^2}$ $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{1}{3}} = 10,5$

Trừ 2 vế OK

Điểm rơi sai bét kìa 

Bài 198. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),H$ là trực tâm của tam giác. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $CH$ tại $P,$ kẻ phân giác $AD,PD$ cắt $AB$ tại $K.$ Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $AD.$

Tiếp với một bài nữa    ! ủng hộ Topic Thầy Hùng nào mọi người '' chém nhiệt tình'' nào !     

Bài 82. Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M là điểm nằm trong tam  giác ABC sao cho $\widehat{BMC}=\widehat{BIC}$. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Các đường thẳng qua m song song với AB, AC cắt BC tại D và E

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, Q, C, D đồng viên

b) Gọi N là giao điểm của PD và QE. Chứng minh rằng khi M thay đổi thì N luôn chạy trên một đường tròn cố định.

                                                                       (Trích đề thi thử chuyên KHTN-Hà Nội năm 2015 Lần 2 môn toán Chuyên)

Xin đóng góp một bài tiếp theo cũng rất hay. Cố gắng được hơn 100 bài nào Topic     

Bài 80. (THTT T4/411) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Gọi P, Q, R, H, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác MBC, MAC, MAB, PQR, ABC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, G thẳng hàng.

Bạn xài sketchpad (tải bản full c*rack , hình như bên mathscope có link full c*rack ). Sau khi vẽ hình (có thể điều chỉnh độ dày đường thẳng, màu sau cho đẹp là ok ). Vẽ xong hình Ctrl + A rồi bấm Ctrl +C vào paint dán ra (Ctrl + C) rồi lưu lại. Còn vế geogebra đừng nên cut ra paint vào chỗ xuất bản ảnh vào lưu lại thôi. 

Bạn vào xuất dưới dạng hình png rồi chỉnh size thường thì để to thì 1:1,5 hoặc 1:2 tùy vào người chỉnh.

Bài toán đề xuất tiếp theo:

Bài 83: (Tăng)

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $BB_{1}; CC_{1}$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$. Gọi $M = B_{1}C_{1} \cap BC$; $ P = (BOC_{1}) \cap (COB_{1}) $.Chứng minh rằng $MP; BB_{1}; CC_{1}$ đồng quy tại $1$ điểm.

Đây là $1$ tính chất mình thấy được khi làm $1$ bài không biết bài này có trùng với bài nào không nữa, nếu trùng xin hãy nhắn tin để tôi sửa lại nguồn.
 

83.png

Cấu hình bài này giống IMO 2014

Hai bạn đừng spam nữa nhé loãng topic ở đây là đăng bài ko phải để tranh luận nếu có thắc mắc xin hãy trao đổi qua tin nhắn đừng nên đăng ở đây. 

Về việc bạn  Uchiha Sisui nhắc nhở các thành viên gửi kèm hình theo đó là việc không thể bắt buộc. Người khác tham gia đóng góp cho Topic đã là quý rồi việc họ đăng hình hay không là việc của họ mình không có quyền bắt buộc (Nội quy topic cũng không bắt buộc) tùy vào mỗi cá nhân thôi. Thầy Hùng không onl thường xuyên nên mình là người quản lí topic này. Nếu có thắc mắc xin vui lòng gửi qua tin nhắn mình sẽ giải đáp hoặc trao đổi lại với thầy Hùng sau.
Nhắc thêm Uchiha Sisui  em ghi nguồn vào các bài toán đề xuất nhé anh thấy em đăng vài bài mà không ghi nguồn. Nếu không biết hãy để sưu tầm

 

Bài toán đề xuất tiếp theo :

Bài 78:  (Czech-Slovak-Polish  2013)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ .$P$ là điểm chính giữa cung có chứa điểm $A$ .$(X)$ là đường tròn đường kính $PC$ .$K,L$ lần lượt là giao điểm của phân giác trong góc $BAC$ với ($K$ gần $A$).$M$ là điểm đối xứng của $L$ qua $BC$ . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKM$ đi qua trung điểm của $BC$ .

AOPS.png

P/s: Chưa ai giải bài $74$ nhỉ? 

chắc bạn ảo tưởng bạn hơn tuổi mình? Hơn nữa bạn nói về việc ghi nguồn? bạn có nhầm , phiền bạn xem lại mỗi bài toán tôi đều có ghi trích từ đề thi nào đó, khi nhắc nhở ai đó nên xem lại mình ! Bạn hãy xem topic mà tôi muốn nói 

Tiếp tục luyện công nào       !

Bài 86. (IMO Shortlist 2007) Cho năm điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD là hình bình hành, BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn. Đường thẳng (d) qua A cắt DC và BC tại F và G thỏa mãn $EF=EG=EC$. Chứng minh rằng (d) là phân giác góc A.

Bài 95. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại E và D. BD cắt CE tại H, các tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau tại K, $AK\cap BC={M}$, $MH\cap BK={N}$. Vẽ tiếp tuyến AS của (O) với S thuộc cung nhỏ CD, $KD\cap AH={I}$, $MH\cap OA={L}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK tại T.

a) Chứng minh tứ giác TKBD, BELO nội tiếp

b) Ba điểm N, E, I thằng hàng.

c) Ba điểm M, E, D thẳng hàng

d) Ba điểm M, S, H thẳng hàng.

Mình xin đề xuất bài toán tiếp theo (bài này ảo)

Bài 87(EGMO 2017):

Cho tam giác $ABC$ với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và trọng tâm $G$. Gọi $O_{1};O_{2};O_{3}$ là điểm đối xứng của $O$ lần lượt qua $BC;AC;AB$; $G_{1};G_{2};G_{3}$ là điểm đối xứng của $G$ qua $BC;CA;AB$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $O_{1}O_{2}C; O_{2}O_{3}A; O_{3}O_{1}B; G_{1}G_{2}C; G_{2}G_{3}A; G_{1}G_{3}B$ và $ABC$ có một điểm chung.

geogebra-export (4).png

P/s: bạn Uchiha sisui sửa bài 84 thành 86 nhé.

Thanks bạn mình sửa rồi :V

Bài 77:

a,Ta có : $\widehat{ENC}=\widehat{PNA }=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{COE}=180^\circ -\widehat{BOC}=180^\circ -(180^\circ -\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2})=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Suy ra $\widehat{COE}=\widehat{CNE}$$\Rightarrow CONE nội tiếp$ 

$\Rightarrow \widehat{OEN}=\widehat{OCA}$

b,Vì OCEN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ONC}=90^\circ =\widehat{OPB}=\widehat{OFB}$

Suy ra BFEC nội tiếp

c,Kẻ đường kính OI .Vì E thuôc đường tròn đường kính OI $\Rightarrow \widehat{OEI}=\widehat{OEC}=90^\circ$

Suy ra I,E,C thẳng hàng.

Mặt khác:$\widehat{OIE}=\widehat{OFE}$ do OFIE nội tiếp

$\widehat{BFP}=\widehat{BCE}$ do BFEC nội tiếp

Mà $\widehat{BFP}+\widehat{OFE}=90^\circ$

Suy ra$\widehat{OIE}+\widehat{BCI}=90^\circ$

suy ra OI vuông góc với BC

Mà OM vuông góc với BC

Suy ra O,M,K thẳng hàng 

Cảm ơn bạn khi nào giải nhớ vẽ hình nhé   

Chỗ này dùng Brocard hơi quá tay, hơn nữa Brocard không được học ở chương trình toán THCS! (chứng minh định lý này cũng không đơn giản) Để giải quyết chỗ này ta nên dùng ý tưởng trục đẳng phương thì hay hơn (mình biết là khái niệm này không được học, nhưng về ý tưởng thì đơn giản và sáng sủa hơn rất nhiều!).

Đúng là vậy nhưng tuy nhiên để có lời giải của THCS thì Brocard là hợp lí anh à! Nếu học sinh THCS mà biết được khái niệm trục đẳng phương thì hơi quá ạ !

Xin đề xuất bài toán tiếp theo!   

Bài 84. ( Sưu tầm) Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại K , ( (O') nằm trong (O) ) . Điểm A nằm trên (O) sao cho A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD, AE của (O') cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng BC, DE, FK đồng quy.

Xiên nốt bài 69 cho nó lành

Lời giải bài 69

Dễ thấy rằng $DB^2=DI.DC$

mà $DA=DB$ nên $DA^2=DI.DC\Rightarrow \Delta DAI\sim \Delta DCA \Rightarrow\hat{DIA}=\hat{DAC}$

Lại có $\hat{OEC}=2\hat{OAC}=\hat{BAC}=\hat{DAC}$ nên $\hat{DIA}=\hat{OEC}\Rightarrow 180^0-\hat{DIA}=180^0-\hat{OEC}\Rightarrow \hat{AEC}=\hat{AIC}\Rightarrow$ AEIC nội tiếp.

P/s:Ai cân bài 64 đê

Bài này nếu khai thác giả thiết khác một chút sẽ có cách chứng minh khác mà không cần sử dụng phương tích ~~

Rất cám ơn các em đã đóng góp nhiệt tình cho topic với đặc biệt là nhiều đề hình hay của THPT chuyên KHTN. Vừa qua mình bị một số việc quan trọng phải xử lý nên không thường xuyên qua được. Giờ mọi việc tạm ổn, mình sẽ cố gắng quay lại thường xuyên hơn. Xin đóng góp một bài hình khá mới cho THCS của mình

 

Bài toán 51. Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$. $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$. $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$. $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$. $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$.

 

Figure5451.png

cố gắng từ giờ đến lúc thi được hơn 100 bài thầy ah     

Bài toán 12 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 trường Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP Hồ Chí Minh, năm 2015-2016). Cho tam giác $ABC$ ( $AB<AC$) có các góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $E$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$, $F$ là điểm đối xứng của $E$ qua $M$. 

a) Chứng minh rằng $EB^{2}=EF.EO$

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AE$ và $BC$. Chứng minh các điểm $A, D, O, F$ cùng thuộc một đường tròn. 

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $P$ là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ sao cho $P, O, F$ không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $POF$ đi qua một điểm cố định.

a) ý tưởng của câu này là sử dụng tính chất của đường trung trực để chứng minh MX vuông góc với BF Dễ thấy MF=MB do tam giác BEC vuông , M là trung điểm của BC ! Ta cần chứng minh XF=XB, hay $\angle XFB = \angle XBF$ mà góc XBF = góc ACB nên ta cần chứng minh góc XFB= gÓC ACB hay góc AFE bằng góc ACB ( hiển nhiên vì tứ giác EFCB nội tiếp)

b) Dễ thấy MX vuông góc với AB, HF vuông góc với AB nên MX//HF MS vuông góc với BC, HD vuông góc với BC nên MS//HD Mặt khác tứ giác CAFD nội tiếp và SB tiếp xúc với (O) tại B nên $\angle SBD=\angle BAC=\angle BDF$ Suy ra SX//DF. Do đó tam giác MXS đồng dạng với HFD ( các cặp cạnh tương ứng)

c) Ta có: $\angle OAE=\frac{180-\angle AOC}{2}=90-\angle ABC=90-\angle AEF$ Suy ra OA vuông góc với EF. Dễ dàng chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC; Tam giác AFY đồng dạng với Tam giác ACD. Suy ra$\frac{FY}{CD}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}\rightarrow \frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}$

@Uchiha sisui Em cố gắng edit cho tất cả ký hiệu toán vào latex đi rồi xóa dòng này đi (QH).

Mình xin đóng góp 1 bài :

Bài toán 11 (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016). Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC), M$ là trung điểm của $BC, O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp . Các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H.$ Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S.$ Gọi $X, Y$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $EF$ với các đường thẳng $BS, AO.$ Chứng minh rằng

a) $MX$ vuông góc với $BF.$

b) Tam giác $SMX$ đồng dạng với Tam giác $DHF.$

c) $\frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}.$
 

-------------------------------
Hi thầy Hùng , em góp ý với thầy và các bạn là ở mỗi bài toán chúng ta giải thì chúng ta nên nêu ý tưởng giải để giúp người đọc hiểu ý nghĩa hơn ! Cũng như kinh nghiệm của nhau, chứ cứ giải ào ào mà người đọc khó hiểu thì cũng không nên ! Một lời giải bài toán nó có ý nghĩa khi ai cũng hiểu được !

Bài của thầy Hùng hay thật ! 

Tôi xin đề xuất bài tiếp theo !    Do bận việc học nên không tham gia được topic của thầy Hùng, từ nay tôi sẽ cố gắng tham gia nhiêu hơn!

Bài 68. Cho đoạn thẳng AB, trên đó lấy điểm M. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD và BMFE. Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AC và AF lần lượt tại G và H.

Chứng minh rằng: A, H, G, B cùng thuộc một đường tròn.

Chưa thấy ai làm nên em chém vậy   !

 

Bài 65.

 

a) Vì M, N đối xứng với nhau qua AB $\LARGE \Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{NKB} (1)$

 

Cũng do M, N đối xứng với nhau qua AB $\LARGE \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KFM}=\widehat{BFC}$

 

Từ đó C, F, N thẳng hàng. 

 

$\LARGE \Rightarrow \widehat{NCB}=\widehat{NKB} (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE \Rightarrow MK=MB$

 

Lại có vì Tam giác ABC cân nên MB=MC

 

Vậy MK=MB=MC hay M là tâm (KBC)  mà K thuộc (NBC). Suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC

 

b) Dễ thấy EB=EC, Ta sẽ chứng minh EB+EN=EM. Thật vậy ta có

 

Từ câu a dễ dàng suy ra tam giác BMN đều.

 

Lại có $\LARGE \widehat{NMB}=2\widehat{NCB}$

 

$\LARGE \widehat{NEB}=2\widehat{NCB}$

 

$\LARGE \Rightarrow \widehat{NMB}=\widehat{NEB}\Rightarrow$ Tứ giác NMEB nội tiếp.

 

Vì tam giác BMN đều và E thuộc (BMN). Áp dụng định lý Shooten ta có điều phải chứng minh

 

* Nhận xét: Câu cuối bài ta có thể chứng minh bằng nhiều cách, có thể sử dụng p tô lê mê hoặc tách đoạn thẳng nhưng bản chất chính là chứng minh định lý shooten! Bài toán không quá khó nhưng cái khó nhất của bài có lẽ là vẽ hình !     

Nhân tiện đây mình xin lỗi là mình gõ làm cho lệnh latex nó to quá, mình cũng chả hiểu tại sao ! Bạn nào rảnh thì chỉnh sửa giúp mình nhé !

Bài 69. Cho (O; R) và điểm A sao cho OA > 2R. Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Gọi E và D lần lượt là trung điểm của AO và AB. DC cắt đường tròn (O) tại I ( khác C). Chứng minh rằng bốn điểm A, E, I, C cùng thuộc một đường tròn 

Mình tiếp bài nữa này (cũng khá hay đấy)

Bài 65 (thi thử Ams vòng 2 năm 2016-2017):

Cho $\Delta ABC$ cân (góc BAC nhọn), D là trung điểm của cạnh đáy BC. Trên đoạn AD lấy điểm M và trên cạnh AB lấy điểm F sao cho $\angle{AFM}=\angle{BFC}$, $\angle{MBF}=\angle{BCF}$. Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB và $(BCN)$ cắt AB ở K

a) Chứng minh M là tâm $(BNC)$

b)  AD cắt CF tại E. Chứng minh: $EN-EC=EM$.

Chưa thấy ai làm nên em chém vậy   !

Bài 65.

a) Vì M, N đối xứng với nhau qua AB $\LARGE \Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{NKB} (1)$

Cũng do M, N đối xứng với nhau qua AB $\LARGE \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KFM}=\widehat{BFC}$

Từ đó C, F, N thẳng hàng. 

$\LARGE \Rightarrow \widehat{NCB}=\widehat{NKB} (2)$

Từ (1) và (2) $\LARGE \Rightarrow MK=MB$

Lại có vì Tam giác ABC cân nên MB=MC

Vậy MK=MB=MC hay M là tâm (KBC)  mà K thuộc (NBC). Suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC

b) Dễ thấy EB=EC, Ta sẽ chứng minh EB+EN=EM. Thật vậy ta có

Từ câu a dễ dàng suy ra tam giác BMN đều.

Lại có $\LARGE \widehat{NMB}=2\widehat{NCB}$

$\LARGE \widehat{NEB}=2\widehat{NCB}$

$\LARGE \Rightarrow \widehat{NMB}=\widehat{NEB}\Rightarrow$ Tứ giác NMEB nội tiếp.

Vì tam giác BMN đều và E thuộc (BMN). Áp dụng định lý Shooten ta có điều phải chứng minh

* Nhận xét: Câu cuối bài ta có thể chứng minh bằng nhiều cách, có thể sử dụng p tô lê mê hoặc tách đoạn thẳng nhưng bản chất chính là chứng minh định lý shooten! Bài toán không quá khó nhưng cái khó nhất của bài có lẽ là vẽ hình !     

 Xin tiếp tục với một bài toán tiếp theo, mỗi ngày tôi sẽ cố gắng up 1 bài để giữ lửa cho topic của thầy Hùng! Nhất là ở thời điểm '' nhạy cảm '' này khi kì thi chuyên toán đang đến rất gần, hi vọng các bạn up nhiều bài tập hơn nữa !    

Bài 77. Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P;  đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh rằng: $\widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.

2) Chứng minh rằng: B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng.

                                       (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Thành Phố Hà Nội 2013-2014)