Bài 73. Ta có : $\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{2a^2+2b^2-(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
Tương tự với các biểu thức còn lại ta suy ra :
\[\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}-(a+b+c)=\sum \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\]
Mặt khác theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ thì :
\[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)=\frac{\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}\leq \frac{\sum (a-b)^2}{2(a+b+c)}\]
Do đó ta cần chứng minh :
\[\sum (a-b)^2(\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{2(a+b+c)})\geq 0\]
Do $a,b,c>0$ nên bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
tại sao lại nghĩ đến - (a+b/2) vậy ạ?