Ý tưởng của em là chỉ cần xét khoảng $[0;1)$. Xét tập $D_n=\left \{ [0;\frac{1}{2^n});...[1-\frac{1}{2^n};1) \right \}$ và hàm trên $D_n$: $h_n(X)=\bigcup_{A\subset X}f(X),A\subset H$. Ta chứng minh được $h_n$ tăng, theo bổ đề 3 ta được các tập $X_1,X_2,...$ sao cho $h_k(X_k)=X_k$. Ta cũng chứng minh được $X_{k+1}\subset X_k$. Theo bổ đề về dãy các đoạn thẳng lồng nhau, ta chứng minh được tồn tại tập $X$ sao cho $f(X)=X$.
Tại em không biết trình bày mấy cái này, nên em ghi tắt (chắc em cũng lập luận sai ở đâu đó).
Anh học mấy cái này ở đâu vậy?